Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ruclem10 Unicode version

Theorem ruclem10 12564
 Description: Lemma for ruc 12568. Every first component of the sequence is less than every second component. That is, the sequences form a chain a1 a2 ... b2 b1, where ai are the first components and bi are the second components. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ruc.1
ruc.2
ruc.4
ruc.5
ruclem10.6
ruclem10.7
Assertion
Ref Expression
ruclem10
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem ruclem10
StepHypRef Expression
1 ruc.1 . . . . 5
2 ruc.2 . . . . 5
3 ruc.4 . . . . 5
4 ruc.5 . . . . 5
51, 2, 3, 4ruclem6 12560 . . . 4
6 ruclem10.6 . . . 4
7 ffvelrn 5701 . . . 4
85, 6, 7syl2anc 642 . . 3
9 xp1st 6191 . . 3
108, 9syl 15 . 2
11 ruclem10.7 . . . . 5
12 ifcl 3635 . . . . 5
1311, 6, 12syl2anc 642 . . . 4
14 ffvelrn 5701 . . . 4
155, 13, 14syl2anc 642 . . 3
16 xp1st 6191 . . 3
1715, 16syl 15 . 2
18 ffvelrn 5701 . . . 4
195, 11, 18syl2anc 642 . . 3
20 xp2nd 6192 . . 3
2119, 20syl 15 . 2
226nn0red 10066 . . . . . 6
2311nn0red 10066 . . . . . 6
24 max1 10561 . . . . . 6
2522, 23, 24syl2anc 642 . . . . 5
266nn0zd 10162 . . . . . 6
2713nn0zd 10162 . . . . . 6
28 eluz 10288 . . . . . 6
2926, 27, 28syl2anc 642 . . . . 5
3025, 29mpbird 223 . . . 4
311, 2, 3, 4, 6, 30ruclem9 12563 . . 3
3231simpld 445 . 2
33 xp2nd 6192 . . . 4
3415, 33syl 15 . . 3
351, 2, 3, 4ruclem8 12562 . . . 4
3613, 35mpdan 649 . . 3
37 max2 10563 . . . . . . 7
3822, 23, 37syl2anc 642 . . . . . 6
3911nn0zd 10162 . . . . . . 7
40 eluz 10288 . . . . . . 7
4139, 27, 40syl2anc 642 . . . . . 6
4238, 41mpbird 223 . . . . 5
431, 2, 3, 4, 11, 42ruclem9 12563 . . . 4
4443simprd 449 . . 3
4517, 34, 21, 36, 44ltletrd 9021 . 2
4610, 17, 21, 32, 45lelttrd 9019 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wceq 1633   wcel 1701  csb 3115   cun 3184  cif 3599  csn 3674  cop 3677   class class class wbr 4060   cxp 4724  wf 5288  cfv 5292  (class class class)co 5900   cmpt2 5902  c1st 6162  c2nd 6163  cr 8781  cc0 8782  c1 8783   caddc 8785   clt 8912   cle 8913   cdiv 9468  cn 9791  c2 9840  cn0 10012  cz 10071  cuz 10277   cseq 11093 This theorem is referenced by:  ruclem11  12565  ruclem12  12566 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-fz 10830  df-seq 11094
 Copyright terms: Public domain W3C validator