Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ruclem12 Unicode version

Theorem ruclem12 12535
 Description: Lemma for ruc 12537. The supremum of the increasing sequence is a real number that is not in the range of . (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ruc.1
ruc.2
ruc.4
ruc.5
ruc.6
Assertion
Ref Expression
ruclem12
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem ruclem12
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ruc.6 . . 3
2 ruc.1 . . . . . 6
3 ruc.2 . . . . . 6
4 ruc.4 . . . . . 6
5 ruc.5 . . . . . 6
62, 3, 4, 5ruclem11 12534 . . . . 5
76simp1d 967 . . . 4
86simp2d 968 . . . 4
9 1re 8853 . . . . 5
106simp3d 969 . . . . 5
11 breq2 4043 . . . . . . 7
1211ralbidv 2576 . . . . . 6
1312rspcev 2897 . . . . 5
149, 10, 13sylancr 644 . . . 4
15 suprcl 9730 . . . 4
167, 8, 14, 15syl3anc 1182 . . 3
171, 16syl5eqel 2380 . 2
182adantr 451 . . . . . . . . 9
193adantr 451 . . . . . . . . 9
202, 3, 4, 5ruclem6 12529 . . . . . . . . . . 11
21 nnm1nn0 10021 . . . . . . . . . . 11
22 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11
2320, 21, 22syl2an 463 . . . . . . . . . 10
24 xp1st 6165 . . . . . . . . . 10
2523, 24syl 15 . . . . . . . . 9
26 xp2nd 6166 . . . . . . . . . 10
2723, 26syl 15 . . . . . . . . 9
28 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10
292, 28sylan 457 . . . . . . . . 9
30 eqid 2296 . . . . . . . . 9
31 eqid 2296 . . . . . . . . 9
322, 3, 4, 5ruclem8 12531 . . . . . . . . . 10
3321, 32sylan2 460 . . . . . . . . 9
3418, 19, 25, 27, 29, 30, 31, 33ruclem3 12527 . . . . . . . 8
352, 3, 4, 5ruclem7 12530 . . . . . . . . . . . . 13
3621, 35sylan2 460 . . . . . . . . . . . 12
37 nncn 9770 . . . . . . . . . . . . . . 15
3837adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14
39 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . 14
40 npcan 9076 . . . . . . . . . . . . . 14
4138, 39, 40sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13
4241fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12
43 1st2nd2 6175 . . . . . . . . . . . . . 14
4423, 43syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
4541fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13
4644, 45oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . 12
4736, 42, 463eqtr3d 2336 . . . . . . . . . . 11
4847fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10
4948breq2d 4051 . . . . . . . . 9
5047fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10
5150breq1d 4049 . . . . . . . . 9
5249, 51orbi12d 690 . . . . . . . 8
5334, 52mpbird 223 . . . . . . 7
547adantr 451 . . . . . . . . . . 11
558adantr 451 . . . . . . . . . . 11
5614adantr 451 . . . . . . . . . . 11
57 nnnn0 9988 . . . . . . . . . . . . 13
58 fvco3 5612 . . . . . . . . . . . . 13
5920, 57, 58syl2an 463 . . . . . . . . . . . 12
6020adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14
61 1stcof 6163 . . . . . . . . . . . . . 14
62 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . . 14
6360, 61, 623syl 18 . . . . . . . . . . . . 13
6457adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13
65 fnfvelrn 5678 . . . . . . . . . . . . 13
6663, 64, 65syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12
6759, 66eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . 11
68 suprub 9731 . . . . . . . . . . 11
6954, 55, 56, 67, 68syl31anc 1185 . . . . . . . . . 10
7069, 1syl6breqr 4079 . . . . . . . . 9
71 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12
7220, 57, 71syl2an 463 . . . . . . . . . . 11
73 xp1st 6165 . . . . . . . . . . 11
7472, 73syl 15 . . . . . . . . . 10
7517adantr 451 . . . . . . . . . 10
76 ltletr 8929 . . . . . . . . . 10
7729, 74, 75, 76syl3anc 1182 . . . . . . . . 9
7870, 77mpan2d 655 . . . . . . . 8
79 fvco3 5612 . . . . . . . . . . . . . . 15
8060, 79sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14
81 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8260, 81sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16
83 xp1st 6165 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8482, 83syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
85 xp2nd 6166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8672, 85syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8786adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15
8818adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8919adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16
90 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9164adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9288, 89, 4, 5, 90, 91ruclem10 12533 . . . . . . . . . . . . . . 15
9384, 87, 92ltled 8983 . . . . . . . . . . . . . 14
9480, 93eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . . . . 13
9594ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . 12
96 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . 14
9796ralrn 5684 . . . . . . . . . . . . 13
9863, 97syl 15 . . . . . . . . . . . 12
9995, 98mpbird 223 . . . . . . . . . . 11
100 suprleub 9734 . . . . . . . . . . . 12
10154, 55, 56, 86, 100syl31anc 1185 . . . . . . . . . . 11
10299, 101mpbird 223 . . . . . . . . . 10
1031, 102syl5eqbr 4072 . . . . . . . . 9
104 lelttr 8928 . . . . . . . . . 10
10575, 86, 29, 104syl3anc 1182 . . . . . . . . 9
106103, 105mpand 656 . . . . . . . 8
10778, 106orim12d 811 . . . . . . 7
10853, 107mpd 14 . . . . . 6
10929, 75lttri2d 8974 . . . . . 6
110108, 109mpbird 223 . . . . 5
111110neneqd 2475 . . . 4
112111nrexdv 2659 . . 3
113 risset 2603 . . . 4
114 ffn 5405 . . . . 5
115 eqeq1 2302 . . . . . 6
116115rexrn 5683 . . . . 5
1172, 114, 1163syl 18 . . . 4
118113, 117syl5bb 248 . . 3
119112, 118mtbird 292 . 2
120 eldif 3175 . 2
12117, 119, 120sylanbrc 645 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wo 357   wa 358   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  wrex 2557  csb 3094   cdif 3162   cun 3163   wss 3165  c0 3468  cif 3578  csn 3653  cop 3656   class class class wbr 4039   cxp 4703   crn 4706   ccom 4709   wfn 5266  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874   cmpt2 5876  c1st 6136  c2nd 6137  csup 7209  cc 8751  cr 8752  cc0 8753  c1 8754   caddc 8756   clt 8883   cle 8884   cmin 9053   cdiv 9439  cn 9762  c2 9811  cn0 9981   cseq 11062 This theorem is referenced by:  ruclem13  12536 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-seq 11063
 Copyright terms: Public domain W3C validator