Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ruclem12 Structured version   Unicode version

Theorem ruclem12 12830
 Description: Lemma for ruc 12832. The supremum of the increasing sequence is a real number that is not in the range of . (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ruc.1
ruc.2
ruc.4
ruc.5
ruc.6
Assertion
Ref Expression
ruclem12
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem ruclem12
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ruc.6 . . 3
2 ruc.1 . . . . . 6
3 ruc.2 . . . . . 6
4 ruc.4 . . . . . 6
5 ruc.5 . . . . . 6
62, 3, 4, 5ruclem11 12829 . . . . 5
76simp1d 969 . . . 4
86simp2d 970 . . . 4
9 1re 9080 . . . . 5
106simp3d 971 . . . . 5
11 breq2 4208 . . . . . . 7
1211ralbidv 2717 . . . . . 6
1312rspcev 3044 . . . . 5
149, 10, 13sylancr 645 . . . 4
15 suprcl 9958 . . . 4
167, 8, 14, 15syl3anc 1184 . . 3
171, 16syl5eqel 2519 . 2
182adantr 452 . . . . . . . . 9
193adantr 452 . . . . . . . . 9
202, 3, 4, 5ruclem6 12824 . . . . . . . . . . 11
21 nnm1nn0 10251 . . . . . . . . . . 11
22 ffvelrn 5860 . . . . . . . . . . 11
2320, 21, 22syl2an 464 . . . . . . . . . 10
24 xp1st 6368 . . . . . . . . . 10
2523, 24syl 16 . . . . . . . . 9
26 xp2nd 6369 . . . . . . . . . 10
2723, 26syl 16 . . . . . . . . 9
282ffvelrnda 5862 . . . . . . . . 9
29 eqid 2435 . . . . . . . . 9
30 eqid 2435 . . . . . . . . 9
312, 3, 4, 5ruclem8 12826 . . . . . . . . . 10
3221, 31sylan2 461 . . . . . . . . 9
3318, 19, 25, 27, 28, 29, 30, 32ruclem3 12822 . . . . . . . 8
342, 3, 4, 5ruclem7 12825 . . . . . . . . . . . . 13
3521, 34sylan2 461 . . . . . . . . . . . 12
36 nncn 9998 . . . . . . . . . . . . . . 15
3736adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14
38 ax-1cn 9038 . . . . . . . . . . . . . 14
39 npcan 9304 . . . . . . . . . . . . . 14
4037, 38, 39sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13
4140fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . 12
42 1st2nd2 6378 . . . . . . . . . . . . . 14
4323, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
4440fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . 13
4543, 44oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . 12
4635, 41, 453eqtr3d 2475 . . . . . . . . . . 11
4746fveq2d 5724 . . . . . . . . . 10
4847breq2d 4216 . . . . . . . . 9
4946fveq2d 5724 . . . . . . . . . 10
5049breq1d 4214 . . . . . . . . 9
5148, 50orbi12d 691 . . . . . . . 8
5233, 51mpbird 224 . . . . . . 7
537adantr 452 . . . . . . . . . . 11
548adantr 452 . . . . . . . . . . 11
5514adantr 452 . . . . . . . . . . 11
56 nnnn0 10218 . . . . . . . . . . . . 13
57 fvco3 5792 . . . . . . . . . . . . 13
5820, 56, 57syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12
5920adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14
60 1stcof 6366 . . . . . . . . . . . . . 14
61 ffn 5583 . . . . . . . . . . . . . 14
6259, 60, 613syl 19 . . . . . . . . . . . . 13
6356adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13
64 fnfvelrn 5859 . . . . . . . . . . . . 13
6562, 63, 64syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12
6658, 65eqeltrrd 2510 . . . . . . . . . . 11
67 suprub 9959 . . . . . . . . . . 11
6853, 54, 55, 66, 67syl31anc 1187 . . . . . . . . . 10
6968, 1syl6breqr 4244 . . . . . . . . 9
70 ffvelrn 5860 . . . . . . . . . . . 12
7120, 56, 70syl2an 464 . . . . . . . . . . 11
72 xp1st 6368 . . . . . . . . . . 11
7371, 72syl 16 . . . . . . . . . 10
7417adantr 452 . . . . . . . . . 10
75 ltletr 9156 . . . . . . . . . 10
7628, 73, 74, 75syl3anc 1184 . . . . . . . . 9
7769, 76mpan2d 656 . . . . . . . 8
78 fvco3 5792 . . . . . . . . . . . . . . 15
7959, 78sylan 458 . . . . . . . . . . . . . 14
8059ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . . . . . . 16
81 xp1st 6368 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8280, 81syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
83 xp2nd 6369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8471, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8584adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
8618adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8719adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16
88 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8963adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9086, 87, 4, 5, 88, 89ruclem10 12828 . . . . . . . . . . . . . . 15
9182, 85, 90ltled 9211 . . . . . . . . . . . . . 14
9279, 91eqbrtrd 4224 . . . . . . . . . . . . 13
9392ralrimiva 2781 . . . . . . . . . . . 12
94 breq1 4207 . . . . . . . . . . . . . 14
9594ralrn 5865 . . . . . . . . . . . . 13
9662, 95syl 16 . . . . . . . . . . . 12
9793, 96mpbird 224 . . . . . . . . . . 11
98 suprleub 9962 . . . . . . . . . . . 12
9953, 54, 55, 84, 98syl31anc 1187 . . . . . . . . . . 11
10097, 99mpbird 224 . . . . . . . . . 10
1011, 100syl5eqbr 4237 . . . . . . . . 9
102 lelttr 9155 . . . . . . . . . 10
10374, 84, 28, 102syl3anc 1184 . . . . . . . . 9
104101, 103mpand 657 . . . . . . . 8
10577, 104orim12d 812 . . . . . . 7
10652, 105mpd 15 . . . . . 6
10728, 74lttri2d 9202 . . . . . 6
108106, 107mpbird 224 . . . . 5
109108neneqd 2614 . . . 4
110109nrexdv 2801 . . 3
111 risset 2745 . . . 4
112 ffn 5583 . . . . 5
113 eqeq1 2441 . . . . . 6
114113rexrn 5864 . . . . 5
1152, 112, 1143syl 19 . . . 4
116111, 115syl5bb 249 . . 3
117110, 116mtbird 293 . 2
11817, 117eldifd 3323 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wo 358   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wral 2697  wrex 2698  csb 3243   cdif 3309   cun 3310   wss 3312  c0 3620  cif 3731  csn 3806  cop 3809   class class class wbr 4204   cxp 4868   crn 4871   ccom 4874   wfn 5441  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073   cmpt2 6075  c1st 6339  c2nd 6340  csup 7437  cc 8978  cr 8979  cc0 8980  c1 8981   caddc 8983   clt 9110   cle 9111   cmin 9281   cdiv 9667  cn 9990  c2 10039  cn0 10211   cseq 11313 This theorem is referenced by:  ruclem13  12831 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-fz 11034  df-seq 11314
 Copyright terms: Public domain W3C validator