Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ruclem2 Structured version   Unicode version

Theorem ruclem2 12831
 Description: Lemma for ruc 12842. Ordering property for the input to . (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ruc.1
ruc.2
ruclem1.3
ruclem1.4
ruclem1.5
ruclem1.6
ruclem1.7
ruclem2.8
Assertion
Ref Expression
ruclem2
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem ruclem2
StepHypRef Expression
1 ruclem1.3 . . . . 5
21leidd 9593 . . . 4
3 ruclem1.4 . . . . . . . . 9
41, 3readdcld 9115 . . . . . . . 8
54rehalfcld 10214 . . . . . . 7
65, 3readdcld 9115 . . . . . 6
76rehalfcld 10214 . . . . 5
8 ruclem2.8 . . . . . . 7
9 avglt1 10205 . . . . . . . 8
101, 3, 9syl2anc 643 . . . . . . 7
118, 10mpbid 202 . . . . . 6
12 avglt2 10206 . . . . . . . . 9
131, 3, 12syl2anc 643 . . . . . . . 8
148, 13mpbid 202 . . . . . . 7
15 avglt1 10205 . . . . . . . 8
165, 3, 15syl2anc 643 . . . . . . 7
1714, 16mpbid 202 . . . . . 6
181, 5, 7, 11, 17lttrd 9231 . . . . 5
191, 7, 18ltled 9221 . . . 4
20 breq2 4216 . . . . 5
21 breq2 4216 . . . . 5
2220, 21ifboth 3770 . . . 4
232, 19, 22syl2anc 643 . . 3
24 ruc.1 . . . . 5
25 ruc.2 . . . . 5
26 ruclem1.5 . . . . 5
27 ruclem1.6 . . . . 5
28 ruclem1.7 . . . . 5
2924, 25, 1, 3, 26, 27, 28ruclem1 12830 . . . 4
3029simp2d 970 . . 3
3123, 30breqtrrd 4238 . 2
32 iftrue 3745 . . . . . 6
33 iftrue 3745 . . . . . 6
3432, 33breq12d 4225 . . . . 5
3511, 34syl5ibrcom 214 . . . 4
36 avglt2 10206 . . . . . . 7
375, 3, 36syl2anc 643 . . . . . 6
3814, 37mpbid 202 . . . . 5
39 iffalse 3746 . . . . . 6
40 iffalse 3746 . . . . . 6
4139, 40breq12d 4225 . . . . 5
4238, 41syl5ibrcom 214 . . . 4
4335, 42pm2.61d 152 . . 3
4429simp3d 971 . . 3
4543, 30, 443brtr4d 4242 . 2
465, 3, 14ltled 9221 . . . 4
473leidd 9593 . . . 4
48 breq1 4215 . . . . 5
49 breq1 4215 . . . . 5
5048, 49ifboth 3770 . . . 4
5146, 47, 50syl2anc 643 . . 3
5244, 51eqbrtrd 4232 . 2
5331, 45, 523jca 1134 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  csb 3251  cif 3739  cop 3817   class class class wbr 4212   cxp 4876  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081   cmpt2 6083  c1st 6347  c2nd 6348  cr 8989   caddc 8993   clt 9120   cle 9121   cdiv 9677  cn 10000  c2 10049 This theorem is referenced by:  ruclem8  12836  ruclem9  12837 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-2 10058
 Copyright terms: Public domain W3C validator