MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ruclem4 Unicode version

Theorem ruclem4 12528
Description: Lemma for ruc 12537. Initial value of the interval sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ruc.1  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
ruc.2  |-  ( ph  ->  D  =  ( x  e.  ( RR  X.  RR ) ,  y  e.  RR  |->  [_ ( ( ( 1st `  x )  +  ( 2nd `  x
) )  /  2
)  /  m ]_ if ( m  <  y ,  <. ( 1st `  x
) ,  m >. , 
<. ( ( m  +  ( 2nd `  x ) )  /  2 ) ,  ( 2nd `  x
) >. ) ) )
ruc.4  |-  C  =  ( { <. 0 ,  <. 0 ,  1
>. >. }  u.  F
)
ruc.5  |-  G  =  seq  0 ( D ,  C )
Assertion
Ref Expression
ruclem4  |-  ( ph  ->  ( G `  0
)  =  <. 0 ,  1 >. )
Distinct variable groups:    x, m, y, F    m, G, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, m)    C( x, y, m)    D( x, y, m)

Proof of Theorem ruclem4
StepHypRef Expression
1 ruc.5 . . 3  |-  G  =  seq  0 ( D ,  C )
21fveq1i 5542 . 2  |-  ( G `
 0 )  =  (  seq  0 ( D ,  C ) `
 0 )
3 0z 10051 . . 3  |-  0  e.  ZZ
4 ruc.4 . . . . . 6  |-  C  =  ( { <. 0 ,  <. 0 ,  1
>. >. }  u.  F
)
5 dfn2 9994 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( NN0  \  { 0 } )
65reseq2i 4968 . . . . . . . 8  |-  ( F  |`  NN )  =  ( F  |`  ( NN0  \  { 0 } ) )
7 ruc.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
8 ffn 5405 . . . . . . . . 9  |-  ( F : NN --> RR  ->  F  Fn  NN )
9 fnresdm 5369 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  NN  ->  ( F  |`  NN )  =  F )
107, 8, 93syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  |`  NN )  =  F )
116, 10syl5reqr 2343 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  =  ( F  |`  ( NN0  \  {
0 } ) ) )
1211uneq2d 3342 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( { <. 0 ,  <. 0 ,  1
>. >. }  u.  F
)  =  ( {
<. 0 ,  <. 0 ,  1 >. >. }  u.  ( F  |`  ( NN0  \  {
0 } ) ) ) )
134, 12syl5eq 2340 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  =  ( {
<. 0 ,  <. 0 ,  1 >. >. }  u.  ( F  |`  ( NN0  \  {
0 } ) ) ) )
1413fveq1d 5543 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C `  0
)  =  ( ( { <. 0 ,  <. 0 ,  1 >. >. }  u.  ( F  |`  ( NN0  \  {
0 } ) ) ) `  0 ) )
15 c0ex 8848 . . . . 5  |-  0  e.  _V
16 opex 4253 . . . . 5  |-  <. 0 ,  1 >.  e.  _V
17 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( {
<. 0 ,  <. 0 ,  1 >. >. }  u.  ( F  |`  ( NN0  \  {
0 } ) ) )  =  ( {
<. 0 ,  <. 0 ,  1 >. >. }  u.  ( F  |`  ( NN0  \  {
0 } ) ) )
1815, 16, 17fvsnun1 5731 . . . 4  |-  ( ( { <. 0 ,  <. 0 ,  1 >. >. }  u.  ( F  |`  ( NN0  \  {
0 } ) ) ) `  0 )  =  <. 0 ,  1
>.
1914, 18syl6eq 2344 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C `  0
)  =  <. 0 ,  1 >. )
203, 19seq1i 11076 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  0 ( D ,  C ) `
 0 )  = 
<. 0 ,  1
>. )
212, 20syl5eq 2340 1  |-  ( ph  ->  ( G `  0
)  =  <. 0 ,  1 >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632   [_csb 3094    \ cdif 3162    u. cun 3163   ifcif 3578   {csn 3653   <.cop 3656   class class class wbr 4039    X. cxp 4703    |` cres 4707    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   1stc1st 6136   2ndc2nd 6137   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    < clt 8883    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   NN0cn0 9981    seq cseq 11062
This theorem is referenced by:  ruclem6  12529  ruclem8  12531  ruclem11  12534
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-seq 11063
  Copyright terms: Public domain W3C validator