MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ruclem4 Structured version   Unicode version

Theorem ruclem4 12833
Description: Lemma for ruc 12842. Initial value of the interval sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ruc.1  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
ruc.2  |-  ( ph  ->  D  =  ( x  e.  ( RR  X.  RR ) ,  y  e.  RR  |->  [_ ( ( ( 1st `  x )  +  ( 2nd `  x
) )  /  2
)  /  m ]_ if ( m  <  y ,  <. ( 1st `  x
) ,  m >. , 
<. ( ( m  +  ( 2nd `  x ) )  /  2 ) ,  ( 2nd `  x
) >. ) ) )
ruc.4  |-  C  =  ( { <. 0 ,  <. 0 ,  1
>. >. }  u.  F
)
ruc.5  |-  G  =  seq  0 ( D ,  C )
Assertion
Ref Expression
ruclem4  |-  ( ph  ->  ( G `  0
)  =  <. 0 ,  1 >. )
Distinct variable groups:    x, m, y, F    m, G, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, m)    C( x, y, m)    D( x, y, m)

Proof of Theorem ruclem4
StepHypRef Expression
1 ruc.5 . . 3  |-  G  =  seq  0 ( D ,  C )
21fveq1i 5729 . 2  |-  ( G `
 0 )  =  (  seq  0 ( D ,  C ) `
 0 )
3 0z 10293 . . 3  |-  0  e.  ZZ
4 ruc.4 . . . . . 6  |-  C  =  ( { <. 0 ,  <. 0 ,  1
>. >. }  u.  F
)
5 dfn2 10234 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( NN0  \  { 0 } )
65reseq2i 5143 . . . . . . . 8  |-  ( F  |`  NN )  =  ( F  |`  ( NN0  \  { 0 } ) )
7 ruc.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
8 ffn 5591 . . . . . . . . 9  |-  ( F : NN --> RR  ->  F  Fn  NN )
9 fnresdm 5554 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  NN  ->  ( F  |`  NN )  =  F )
107, 8, 93syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  |`  NN )  =  F )
116, 10syl5reqr 2483 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  =  ( F  |`  ( NN0  \  {
0 } ) ) )
1211uneq2d 3501 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( { <. 0 ,  <. 0 ,  1
>. >. }  u.  F
)  =  ( {
<. 0 ,  <. 0 ,  1 >. >. }  u.  ( F  |`  ( NN0  \  {
0 } ) ) ) )
134, 12syl5eq 2480 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  =  ( {
<. 0 ,  <. 0 ,  1 >. >. }  u.  ( F  |`  ( NN0  \  {
0 } ) ) ) )
1413fveq1d 5730 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C `  0
)  =  ( ( { <. 0 ,  <. 0 ,  1 >. >. }  u.  ( F  |`  ( NN0  \  {
0 } ) ) ) `  0 ) )
15 c0ex 9085 . . . . 5  |-  0  e.  _V
16 opex 4427 . . . . 5  |-  <. 0 ,  1 >.  e.  _V
17 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( {
<. 0 ,  <. 0 ,  1 >. >. }  u.  ( F  |`  ( NN0  \  {
0 } ) ) )  =  ( {
<. 0 ,  <. 0 ,  1 >. >. }  u.  ( F  |`  ( NN0  \  {
0 } ) ) )
1815, 16, 17fvsnun1 5928 . . . 4  |-  ( ( { <. 0 ,  <. 0 ,  1 >. >. }  u.  ( F  |`  ( NN0  \  {
0 } ) ) ) `  0 )  =  <. 0 ,  1
>.
1914, 18syl6eq 2484 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C `  0
)  =  <. 0 ,  1 >. )
203, 19seq1i 11337 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  0 ( D ,  C ) `
 0 )  = 
<. 0 ,  1
>. )
212, 20syl5eq 2480 1  |-  ( ph  ->  ( G `  0
)  =  <. 0 ,  1 >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652   [_csb 3251    \ cdif 3317    u. cun 3318   ifcif 3739   {csn 3814   <.cop 3817   class class class wbr 4212    X. cxp 4876    |` cres 4880    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    e. cmpt2 6083   1stc1st 6347   2ndc2nd 6348   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    < clt 9120    / cdiv 9677   NNcn 10000   2c2 10049   NN0cn0 10221    seq cseq 11323
This theorem is referenced by:  ruclem6  12834  ruclem8  12836  ruclem11  12839
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-seq 11324
  Copyright terms: Public domain W3C validator