MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ruclem4 Unicode version

Theorem ruclem4 12512
Description: Lemma for ruc 12521. Initial value of the interval sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ruc.1  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
ruc.2  |-  ( ph  ->  D  =  ( x  e.  ( RR  X.  RR ) ,  y  e.  RR  |->  [_ ( ( ( 1st `  x )  +  ( 2nd `  x
) )  /  2
)  /  m ]_ if ( m  <  y ,  <. ( 1st `  x
) ,  m >. , 
<. ( ( m  +  ( 2nd `  x ) )  /  2 ) ,  ( 2nd `  x
) >. ) ) )
ruc.4  |-  C  =  ( { <. 0 ,  <. 0 ,  1
>. >. }  u.  F
)
ruc.5  |-  G  =  seq  0 ( D ,  C )
Assertion
Ref Expression
ruclem4  |-  ( ph  ->  ( G `  0
)  =  <. 0 ,  1 >. )
Distinct variable groups:    x, m, y, F    m, G, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, m)    C( x, y, m)    D( x, y, m)

Proof of Theorem ruclem4
StepHypRef Expression
1 ruc.5 . . 3  |-  G  =  seq  0 ( D ,  C )
21fveq1i 5526 . 2  |-  ( G `
 0 )  =  (  seq  0 ( D ,  C ) `
 0 )
3 0z 10035 . . 3  |-  0  e.  ZZ
4 ruc.4 . . . . . 6  |-  C  =  ( { <. 0 ,  <. 0 ,  1
>. >. }  u.  F
)
5 dfn2 9978 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( NN0  \  { 0 } )
65reseq2i 4952 . . . . . . . 8  |-  ( F  |`  NN )  =  ( F  |`  ( NN0  \  { 0 } ) )
7 ruc.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
8 ffn 5389 . . . . . . . . 9  |-  ( F : NN --> RR  ->  F  Fn  NN )
9 fnresdm 5353 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  NN  ->  ( F  |`  NN )  =  F )
107, 8, 93syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  |`  NN )  =  F )
116, 10syl5reqr 2330 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  =  ( F  |`  ( NN0  \  {
0 } ) ) )
1211uneq2d 3329 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( { <. 0 ,  <. 0 ,  1
>. >. }  u.  F
)  =  ( {
<. 0 ,  <. 0 ,  1 >. >. }  u.  ( F  |`  ( NN0  \  {
0 } ) ) ) )
134, 12syl5eq 2327 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  =  ( {
<. 0 ,  <. 0 ,  1 >. >. }  u.  ( F  |`  ( NN0  \  {
0 } ) ) ) )
1413fveq1d 5527 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C `  0
)  =  ( ( { <. 0 ,  <. 0 ,  1 >. >. }  u.  ( F  |`  ( NN0  \  {
0 } ) ) ) `  0 ) )
15 c0ex 8832 . . . . 5  |-  0  e.  _V
16 opex 4237 . . . . 5  |-  <. 0 ,  1 >.  e.  _V
17 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( {
<. 0 ,  <. 0 ,  1 >. >. }  u.  ( F  |`  ( NN0  \  {
0 } ) ) )  =  ( {
<. 0 ,  <. 0 ,  1 >. >. }  u.  ( F  |`  ( NN0  \  {
0 } ) ) )
1815, 16, 17fvsnun1 5715 . . . 4  |-  ( ( { <. 0 ,  <. 0 ,  1 >. >. }  u.  ( F  |`  ( NN0  \  {
0 } ) ) ) `  0 )  =  <. 0 ,  1
>.
1914, 18syl6eq 2331 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C `  0
)  =  <. 0 ,  1 >. )
203, 19seq1i 11060 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  0 ( D ,  C ) `
 0 )  = 
<. 0 ,  1
>. )
212, 20syl5eq 2327 1  |-  ( ph  ->  ( G `  0
)  =  <. 0 ,  1 >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623   [_csb 3081    \ cdif 3149    u. cun 3150   ifcif 3565   {csn 3640   <.cop 3643   class class class wbr 4023    X. cxp 4687    |` cres 4691    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   1stc1st 6120   2ndc2nd 6121   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    < clt 8867    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965    seq cseq 11046
This theorem is referenced by:  ruclem6  12513  ruclem8  12515  ruclem11  12518
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-seq 11047
  Copyright terms: Public domain W3C validator