Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ruclem6 Unicode version

Theorem ruclem6 12529
 Description: Lemma for ruc 12537. Domain and range of the interval sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ruc.1
ruc.2
ruc.4
ruc.5
Assertion
Ref Expression
ruclem6
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem ruclem6
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ruc.5 . . . . . . 7
21fveq1i 5542 . . . . . 6
3 0z 10051 . . . . . . 7
4 seq1 11075 . . . . . . 7
53, 4ax-mp 8 . . . . . 6
62, 5eqtri 2316 . . . . 5
7 ruc.1 . . . . . 6
8 ruc.2 . . . . . 6
9 ruc.4 . . . . . 6
107, 8, 9, 1ruclem4 12528 . . . . 5
116, 10syl5eqr 2342 . . . 4
12 0re 8854 . . . . 5
13 1re 8853 . . . . 5
14 opelxpi 4737 . . . . 5
1512, 13, 14mp2an 653 . . . 4
1611, 15syl6eqel 2384 . . 3
17 1st2nd2 6175 . . . . . 6
1817ad2antrl 708 . . . . 5
1918oveq1d 5889 . . . 4
207adantr 451 . . . . . 6
218adantr 451 . . . . . 6
22 xp1st 6165 . . . . . . 7
2322ad2antrl 708 . . . . . 6
24 xp2nd 6166 . . . . . . 7
2524ad2antrl 708 . . . . . 6
26 simprr 733 . . . . . 6
27 eqid 2296 . . . . . 6
28 eqid 2296 . . . . . 6
2920, 21, 23, 25, 26, 27, 28ruclem1 12525 . . . . 5
3029simp1d 967 . . . 4
3119, 30eqeltrd 2370 . . 3
32 nn0uz 10278 . . 3
333a1i 10 . . 3
34 0p1e1 9855 . . . . . . 7
3534fveq2i 5544 . . . . . 6
36 nnuz 10279 . . . . . 6
3735, 36eqtr4i 2319 . . . . 5
3837eleq2i 2360 . . . 4
399equncomi 3334 . . . . . . . 8
4039fveq1i 5542 . . . . . . 7
41 nnne0 9794 . . . . . . . . 9
4241necomd 2542 . . . . . . . 8
43 fvunsn 5728 . . . . . . . 8
4442, 43syl 15 . . . . . . 7
4540, 44syl5eq 2340 . . . . . 6
4645adantl 452 . . . . 5
47 ffvelrn 5679 . . . . . 6
487, 47sylan 457 . . . . 5
4946, 48eqeltrd 2370 . . . 4
5038, 49sylan2b 461 . . 3
5116, 31, 32, 33, 50seqf2 11081 . 2
521feq1i 5399 . 2
5351, 52sylibr 203 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  csb 3094   cun 3163  cif 3578  csn 3653  cop 3656   class class class wbr 4039   cxp 4703  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874   cmpt2 5876  c1st 6136  c2nd 6137  cr 8752  cc0 8753  c1 8754   caddc 8756   clt 8883   cdiv 9439  cn 9762  c2 9811  cn0 9981  cz 10040  cuz 10246   cseq 11062 This theorem is referenced by:  ruclem8  12531  ruclem9  12532  ruclem10  12533  ruclem11  12534  ruclem12  12535 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-seq 11063
 Copyright terms: Public domain W3C validator