Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ruclem9 Structured version   Unicode version

Theorem ruclem9 12837
 Description: Lemma for ruc 12842. The first components of the sequence are increasing, and the second components are decreasing. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ruc.1
ruc.2
ruc.4
ruc.5
ruclem9.6
ruclem9.7
Assertion
Ref Expression
ruclem9
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem ruclem9
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ruclem9.7 . 2
2 fveq2 5728 . . . . . . 7
32fveq2d 5732 . . . . . 6
43breq2d 4224 . . . . 5
52fveq2d 5732 . . . . . 6
65breq1d 4222 . . . . 5
74, 6anbi12d 692 . . . 4
87imbi2d 308 . . 3
9 fveq2 5728 . . . . . . 7
109fveq2d 5732 . . . . . 6
1110breq2d 4224 . . . . 5
129fveq2d 5732 . . . . . 6
1312breq1d 4222 . . . . 5
1411, 13anbi12d 692 . . . 4
1514imbi2d 308 . . 3
16 fveq2 5728 . . . . . . 7
1716fveq2d 5732 . . . . . 6
1817breq2d 4224 . . . . 5
1916fveq2d 5732 . . . . . 6
2019breq1d 4222 . . . . 5
2118, 20anbi12d 692 . . . 4
2221imbi2d 308 . . 3
23 fveq2 5728 . . . . . . 7
2423fveq2d 5732 . . . . . 6
2524breq2d 4224 . . . . 5
2623fveq2d 5732 . . . . . 6
2726breq1d 4222 . . . . 5
2825, 27anbi12d 692 . . . 4
2928imbi2d 308 . . 3
30 ruc.1 . . . . . . . . 9
31 ruc.2 . . . . . . . . 9
32 ruc.4 . . . . . . . . 9
33 ruc.5 . . . . . . . . 9
3430, 31, 32, 33ruclem6 12834 . . . . . . . 8
35 ruclem9.6 . . . . . . . 8
3634, 35ffvelrnd 5871 . . . . . . 7
37 xp1st 6376 . . . . . . 7
3836, 37syl 16 . . . . . 6
3938leidd 9593 . . . . 5
40 xp2nd 6377 . . . . . . 7
4136, 40syl 16 . . . . . 6
4241leidd 9593 . . . . 5
4339, 42jca 519 . . . 4
4443a1i 11 . . 3
4530adantr 452 . . . . . . . . . 10
4631adantr 452 . . . . . . . . . 10
4734adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
48 eluznn0 10546 . . . . . . . . . . . . 13
4935, 48sylan 458 . . . . . . . . . . . 12
5047, 49ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . . 11
51 xp1st 6376 . . . . . . . . . . 11
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . 10
53 xp2nd 6377 . . . . . . . . . . 11
5450, 53syl 16 . . . . . . . . . 10
55 nn0p1nn 10259 . . . . . . . . . . . 12
5649, 55syl 16 . . . . . . . . . . 11
5745, 56ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . 10
58 eqid 2436 . . . . . . . . . 10
59 eqid 2436 . . . . . . . . . 10
6030, 31, 32, 33ruclem8 12836 . . . . . . . . . . 11
6149, 60syldan 457 . . . . . . . . . 10
6245, 46, 52, 54, 57, 58, 59, 61ruclem2 12831 . . . . . . . . 9
6362simp1d 969 . . . . . . . 8
6430, 31, 32, 33ruclem7 12835 . . . . . . . . . . 11
6549, 64syldan 457 . . . . . . . . . 10
66 1st2nd2 6386 . . . . . . . . . . . 12
6750, 66syl 16 . . . . . . . . . . 11
6867oveq1d 6096 . . . . . . . . . 10
6965, 68eqtrd 2468 . . . . . . . . 9
7069fveq2d 5732 . . . . . . . 8
7163, 70breqtrrd 4238 . . . . . . 7
7238adantr 452 . . . . . . . 8
73 peano2nn0 10260 . . . . . . . . . . 11
7449, 73syl 16 . . . . . . . . . 10
7547, 74ffvelrnd 5871 . . . . . . . . 9
76 xp1st 6376 . . . . . . . . 9
7775, 76syl 16 . . . . . . . 8
78 letr 9167 . . . . . . . 8
7972, 52, 77, 78syl3anc 1184 . . . . . . 7
8071, 79mpan2d 656 . . . . . 6
8169fveq2d 5732 . . . . . . . 8
8262simp3d 971 . . . . . . . 8
8381, 82eqbrtrd 4232 . . . . . . 7
84 xp2nd 6377 . . . . . . . . 9
8575, 84syl 16 . . . . . . . 8
8641adantr 452 . . . . . . . 8
87 letr 9167 . . . . . . . 8
8885, 54, 86, 87syl3anc 1184 . . . . . . 7
8983, 88mpand 657 . . . . . 6
9080, 89anim12d 547 . . . . 5
9190expcom 425 . . . 4
9291a2d 24 . . 3
938, 15, 22, 29, 44, 92uzind4 10534 . 2
941, 93mpcom 34 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  csb 3251   cun 3318  cif 3739  csn 3814  cop 3817   class class class wbr 4212   cxp 4876  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081   cmpt2 6083  c1st 6347  c2nd 6348  cr 8989  cc0 8990  c1 8991   caddc 8993   clt 9120   cle 9121   cdiv 9677  cn 10000  c2 10049  cn0 10221  cz 10282  cuz 10488   cseq 11323 This theorem is referenced by:  ruclem10  12838 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-seq 11324
 Copyright terms: Public domain W3C validator