Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ruclem9 Unicode version

Theorem ruclem9 12532
 Description: Lemma for ruc 12537. The first components of the sequence are increasing, and the second components are decreasing. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ruc.1
ruc.2
ruc.4
ruc.5
ruclem9.6
ruclem9.7
Assertion
Ref Expression
ruclem9
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem ruclem9
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ruclem9.7 . 2
2 fveq2 5541 . . . . . . 7
32fveq2d 5545 . . . . . 6
43breq2d 4051 . . . . 5
52fveq2d 5545 . . . . . 6
65breq1d 4049 . . . . 5
74, 6anbi12d 691 . . . 4
87imbi2d 307 . . 3
9 fveq2 5541 . . . . . . 7
109fveq2d 5545 . . . . . 6
1110breq2d 4051 . . . . 5
129fveq2d 5545 . . . . . 6
1312breq1d 4049 . . . . 5
1411, 13anbi12d 691 . . . 4
1514imbi2d 307 . . 3
16 fveq2 5541 . . . . . . 7
1716fveq2d 5545 . . . . . 6
1817breq2d 4051 . . . . 5
1916fveq2d 5545 . . . . . 6
2019breq1d 4049 . . . . 5
2118, 20anbi12d 691 . . . 4
2221imbi2d 307 . . 3
23 fveq2 5541 . . . . . . 7
2423fveq2d 5545 . . . . . 6
2524breq2d 4051 . . . . 5
2623fveq2d 5545 . . . . . 6
2726breq1d 4049 . . . . 5
2825, 27anbi12d 691 . . . 4
2928imbi2d 307 . . 3
30 ruc.1 . . . . . . . . 9
31 ruc.2 . . . . . . . . 9
32 ruc.4 . . . . . . . . 9
33 ruc.5 . . . . . . . . 9
3430, 31, 32, 33ruclem6 12529 . . . . . . . 8
35 ruclem9.6 . . . . . . . 8
36 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8
3734, 35, 36syl2anc 642 . . . . . . 7
38 xp1st 6165 . . . . . . 7
3937, 38syl 15 . . . . . 6
4039leidd 9355 . . . . 5
41 xp2nd 6166 . . . . . . 7
4237, 41syl 15 . . . . . 6
4342leidd 9355 . . . . 5
4440, 43jca 518 . . . 4
4544a1i 10 . . 3
4630adantr 451 . . . . . . . . . 10
4731adantr 451 . . . . . . . . . 10
4834adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
49 eluznn0 10304 . . . . . . . . . . . . 13
5035, 49sylan 457 . . . . . . . . . . . 12
51 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12
5248, 50, 51syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11
53 xp1st 6165 . . . . . . . . . . 11
5452, 53syl 15 . . . . . . . . . 10
55 xp2nd 6166 . . . . . . . . . . 11
5652, 55syl 15 . . . . . . . . . 10
57 nn0p1nn 10019 . . . . . . . . . . . 12
5850, 57syl 15 . . . . . . . . . . 11
59 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11
6046, 58, 59syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
61 eqid 2296 . . . . . . . . . 10
62 eqid 2296 . . . . . . . . . 10
6330, 31, 32, 33ruclem8 12531 . . . . . . . . . . 11
6450, 63syldan 456 . . . . . . . . . 10
6546, 47, 54, 56, 60, 61, 62, 64ruclem2 12526 . . . . . . . . 9
6665simp1d 967 . . . . . . . 8
6730, 31, 32, 33ruclem7 12530 . . . . . . . . . . 11
6850, 67syldan 456 . . . . . . . . . 10
69 1st2nd2 6175 . . . . . . . . . . . 12
7052, 69syl 15 . . . . . . . . . . 11
7170oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10
7268, 71eqtrd 2328 . . . . . . . . 9
7372fveq2d 5545 . . . . . . . 8
7466, 73breqtrrd 4065 . . . . . . 7
7539adantr 451 . . . . . . . 8
76 peano2nn0 10020 . . . . . . . . . . 11
7750, 76syl 15 . . . . . . . . . 10
78 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10
7948, 77, 78syl2anc 642 . . . . . . . . 9
80 xp1st 6165 . . . . . . . . 9
8179, 80syl 15 . . . . . . . 8
82 letr 8930 . . . . . . . 8
8375, 54, 81, 82syl3anc 1182 . . . . . . 7
8474, 83mpan2d 655 . . . . . 6
8572fveq2d 5545 . . . . . . . 8
8665simp3d 969 . . . . . . . 8
8785, 86eqbrtrd 4059 . . . . . . 7
88 xp2nd 6166 . . . . . . . . 9
8979, 88syl 15 . . . . . . . 8
9042adantr 451 . . . . . . . 8
91 letr 8930 . . . . . . . 8
9289, 56, 90, 91syl3anc 1182 . . . . . . 7
9387, 92mpand 656 . . . . . 6
9484, 93anim12d 546 . . . . 5
9594expcom 424 . . . 4
9695a2d 23 . . 3
978, 15, 22, 29, 45, 96uzind4 10292 . 2
981, 97mpcom 32 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1632   wcel 1696  csb 3094   cun 3163  cif 3578  csn 3653  cop 3656   class class class wbr 4039   cxp 4703  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874   cmpt2 5876  c1st 6136  c2nd 6137  cr 8752  cc0 8753  c1 8754   caddc 8756   clt 8883   cle 8884   cdiv 9439  cn 9762  c2 9811  cn0 9981  cz 10040  cuz 10246   cseq 11062 This theorem is referenced by:  ruclem10  12533 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-seq 11063
 Copyright terms: Public domain W3C validator