MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  s1cl Unicode version

Theorem s1cl 11441
Description: A singleton word is a word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Assertion
Ref Expression
s1cl  |-  ( A  e.  B  ->  <" A ">  e. Word  B )

Proof of Theorem s1cl
StepHypRef Expression
1 0nn0 9980 . . . . . . 7  |-  0  e.  NN0
2 f1osng 5514 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  A  e.  B )  ->  { <. 0 ,  A >. } : { 0 } -1-1-onto-> { A } )
31, 2mpan 651 . . . . . 6  |-  ( A  e.  B  ->  { <. 0 ,  A >. } : { 0 } -1-1-onto-> { A } )
4 f1of 5472 . . . . . 6  |-  ( {
<. 0 ,  A >. } : { 0 } -1-1-onto-> { A }  ->  {
<. 0 ,  A >. } : { 0 } --> { A }
)
53, 4syl 15 . . . . 5  |-  ( A  e.  B  ->  { <. 0 ,  A >. } : { 0 } --> { A } )
6 snssi 3759 . . . . 5  |-  ( A  e.  B  ->  { A }  C_  B )
7 fss 5397 . . . . 5  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. } : { 0 } --> { A }  /\  { A }  C_  B )  ->  { <. 0 ,  A >. } : { 0 } --> B )
85, 6, 7syl2anc 642 . . . 4  |-  ( A  e.  B  ->  { <. 0 ,  A >. } : { 0 } --> B )
9 s1val 11438 . . . . 5  |-  ( A  e.  B  ->  <" A ">  =  { <. 0 ,  A >. } )
109feq1d 5379 . . . 4  |-  ( A  e.  B  ->  ( <" A "> : { 0 } --> B  <->  { <. 0 ,  A >. } : {
0 } --> B ) )
118, 10mpbird 223 . . 3  |-  ( A  e.  B  ->  <" A "> : { 0 } --> B )
12 fzo01 10913 . . . 4  |-  ( 0..^ 1 )  =  {
0 }
1312feq2i 5384 . . 3  |-  ( <" A "> : ( 0..^ 1 ) --> B  <->  <" A "> : { 0 } --> B )
1411, 13sylibr 203 . 2  |-  ( A  e.  B  ->  <" A "> : ( 0..^ 1 ) --> B )
15 iswrdi 11417 . 2  |-  ( <" A "> : ( 0..^ 1 ) --> B  ->  <" A ">  e. Word  B )
1614, 15syl 15 1  |-  ( A  e.  B  ->  <" A ">  e. Word  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684    C_ wss 3152   {csn 3640   <.cop 3643   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254  (class class class)co 5858   0cc0 8737   1c1 8738   NN0cn0 9965  ..^cfzo 10870  Word cword 11403   <"cs1 11405
This theorem is referenced by:  s1cld  11442  s1cli  11443  wrdexb  11449  cats1un  11476  gsumws2  14465  vrmdfval  14478  vrmdval  14479  vrmdf  14480  psgnpmtr  27433  s2prop  28089
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-word 11409  df-s1 11411
  Copyright terms: Public domain W3C validator