MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  s1cl Structured version   Unicode version

Theorem s1cl 11755
Description: A singleton word is a word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Assertion
Ref Expression
s1cl  |-  ( A  e.  B  ->  <" A ">  e. Word  B )

Proof of Theorem s1cl
StepHypRef Expression
1 0nn0 10236 . . . . . . 7  |-  0  e.  NN0
2 f1osng 5716 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  A  e.  B )  ->  { <. 0 ,  A >. } : { 0 } -1-1-onto-> { A } )
31, 2mpan 652 . . . . . 6  |-  ( A  e.  B  ->  { <. 0 ,  A >. } : { 0 } -1-1-onto-> { A } )
4 f1of 5674 . . . . . 6  |-  ( {
<. 0 ,  A >. } : { 0 } -1-1-onto-> { A }  ->  {
<. 0 ,  A >. } : { 0 } --> { A }
)
53, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  B  ->  { <. 0 ,  A >. } : { 0 } --> { A } )
6 snssi 3942 . . . . 5  |-  ( A  e.  B  ->  { A }  C_  B )
7 fss 5599 . . . . 5  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. } : { 0 } --> { A }  /\  { A }  C_  B )  ->  { <. 0 ,  A >. } : { 0 } --> B )
85, 6, 7syl2anc 643 . . . 4  |-  ( A  e.  B  ->  { <. 0 ,  A >. } : { 0 } --> B )
9 s1val 11752 . . . . 5  |-  ( A  e.  B  ->  <" A ">  =  { <. 0 ,  A >. } )
109feq1d 5580 . . . 4  |-  ( A  e.  B  ->  ( <" A "> : { 0 } --> B  <->  { <. 0 ,  A >. } : {
0 } --> B ) )
118, 10mpbird 224 . . 3  |-  ( A  e.  B  ->  <" A "> : { 0 } --> B )
12 fzo01 11182 . . . 4  |-  ( 0..^ 1 )  =  {
0 }
1312feq2i 5586 . . 3  |-  ( <" A "> : ( 0..^ 1 ) --> B  <->  <" A "> : { 0 } --> B )
1411, 13sylibr 204 . 2  |-  ( A  e.  B  ->  <" A "> : ( 0..^ 1 ) --> B )
15 iswrdi 11731 . 2  |-  ( <" A "> : ( 0..^ 1 ) --> B  ->  <" A ">  e. Word  B )
1614, 15syl 16 1  |-  ( A  e.  B  ->  <" A ">  e. Word  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725    C_ wss 3320   {csn 3814   <.cop 3817   -->wf 5450   -1-1-onto->wf1o 5453  (class class class)co 6081   0cc0 8990   1c1 8991   NN0cn0 10221  ..^cfzo 11135  Word cword 11717   <"cs1 11719
This theorem is referenced by:  s1cld  11756  s1cli  11757  wrdexb  11763  cats1un  11790  s2prop  11861  gsumws2  14788  vrmdfval  14801  vrmdval  14802  vrmdf  14803  psgnpmtr  27410
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-word 11723  df-s1 11725
  Copyright terms: Public domain W3C validator