Theorem sadadd2lem 12650

Description: Lemma for sadadd2 12651. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
sadval.a	|- ( ph -> A C_ NN0 )
sadval.b	|- ( ph -> B C_ NN0 )
sadval.c	|- C = seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) )
sadcp1.n	|- ( ph -> N e. NN0 )
sadcadd.k	|- K = `' (bits |` NN0 )
sadadd2lem.1	|- ( ph -> ( ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( (/) e. ( C ` N ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) = ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
sadadd2lem	|- ( ph -> ( ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) + if ( (/) e. ( C ` ( N + 1 ) ) , ( 2 ^ ( N + 1 ) ) , 0 ) ) = ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   m, c, n   A, c, m   B, c, m   n, N

Allowed substitution hints:   ph( m, n, c)   A( n)   B( n)   C( m, n, c)   K( m, n, c)   N( m, c)

Proof of Theorem sadadd2lem

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sadadd2lem.1	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( (/) e. ( C ` N ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) = ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) )
2		sadval.a	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A C_ NN0 )
3		sadval.b	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B C_ NN0 )
4		sadval.c	. . . . . . . . . 10 |- C = seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) )
5		sadcp1.n	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. NN0 )
6	2, 3, 4, 5	sadval 12647	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N e. ( A sadd B ) <-> hadd ( N e. A , N e. B , (/) e. ( C ` N ) ) ) )
7	6	ifbid 3583	. . . . . . . 8 |- ( ph -> if ( N e. ( A sadd B ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) = if (hadd ( N e. A , N e. B , (/) e. ( C ` N ) ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) )
8	2, 3, 4, 5	sadcp1 12646	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( (/) e. ( C ` ( N + 1 ) ) <-> cadd ( N e. A , N e. B , (/) e. ( C ` N ) ) ) )
9		2nn0 9982	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. NN0
10	9	a1i 10	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 2 e. NN0 )
11	10	nn0cnd 10020	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 2 e. CC )
12	11, 5	expp1d 11246	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) = ( ( 2 ^ N ) x. 2 ) )
13	10, 5	nn0expcld 11267	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 2 ^ N ) e. NN0 )
14	13	nn0cnd 10020	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 2 ^ N ) e. CC )
15	14, 11	mulcomd 8856	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 2 ^ N ) x. 2 ) = ( 2 x. ( 2 ^ N ) ) )
16	12, 15	eqtrd 2315	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) = ( 2 x. ( 2 ^ N ) ) )
17		eqidd 2284	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 = 0 )
18	8, 16, 17	ifbieq12d 3587	. . . . . . . 8 |- ( ph -> if ( (/) e. ( C ` ( N + 1 ) ) , ( 2 ^ ( N + 1 ) ) , 0 ) = if (cadd ( N e. A , N e. B , (/) e. ( C ` N ) ) , ( 2 x. ( 2 ^ N ) ) , 0 ) )
19	7, 18	oveq12d 5876	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( if ( N e. ( A sadd B ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( (/) e. ( C ` ( N + 1 ) ) , ( 2 ^ ( N + 1 ) ) , 0 ) ) = ( if (hadd ( N e. A , N e. B , (/) e. ( C ` N ) ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if (cadd ( N e. A , N e. B , (/) e. ( C ` N ) ) , ( 2 x. ( 2 ^ N ) ) , 0 ) ) )
20		sadadd2lem2 12641	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 ^ N ) e. CC -> ( if (hadd ( N e. A , N e. B , (/) e. ( C ` N ) ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if (cadd ( N e. A , N e. B , (/) e. ( C ` N ) ) , ( 2 x. ( 2 ^ N ) ) , 0 ) ) = ( ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) + if ( (/) e. ( C ` N ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) )
21	14, 20	syl 15	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( if (hadd ( N e. A , N e. B , (/) e. ( C ` N ) ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if (cadd ( N e. A , N e. B , (/) e. ( C ` N ) ) , ( 2 x. ( 2 ^ N ) ) , 0 ) ) = ( ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) + if ( (/) e. ( C ` N ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) )
22	19, 21	eqtrd 2315	. . . . . 6 |- ( ph -> ( if ( N e. ( A sadd B ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( (/) e. ( C ` ( N + 1 ) ) , ( 2 ^ ( N + 1 ) ) , 0 ) ) = ( ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) + if ( (/) e. ( C ` N ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) )
23	1, 22	oveq12d 5876	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( (/) e. ( C ` N ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) + ( if ( N e. ( A sadd B ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( (/) e. ( C ` ( N + 1 ) ) , ( 2 ^ ( N + 1 ) ) , 0 ) ) ) = ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) + if ( (/) e. ( C ` N ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) )
24		inss1 3389	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) C_ ( A sadd B )
25	2, 3, 4	sadfval 12643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A sadd B ) = { k e. NN0 | hadd ( k e. A , k e. B , (/) e. ( C ` k ) ) } )
26		ssrab2 3258	. . . . . . . . . . . 12 |- { k e. NN0 | hadd ( k e. A , k e. B , (/) e. ( C ` k ) ) } C_ NN0
27	26	a1i 10	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> { k e. NN0 | hadd ( k e. A , k e. B , (/) e. ( C ` k ) ) } C_ NN0 )
28	25, 27	eqsstrd 3212	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A sadd B ) C_ NN0 )
29	24, 28	syl5ss 3190	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) C_ NN0 )
30		fzofi 11036	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0..^ N ) e. Fin
31	30	a1i 10	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0..^ N ) e. Fin )
32		inss2 3390	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) C_ ( 0..^ N )
33		ssfi 7083	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 0..^ N ) e. Fin /\ ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) C_ ( 0..^ N ) ) -> ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) e. Fin )
34	31, 32, 33	sylancl 643	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) e. Fin )
35		elfpw 7157	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) e. ( ~P NN0 i^i Fin ) <-> ( ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) C_ NN0 /\ ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) e. Fin ) )
36	29, 34, 35	sylanbrc 645	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) e. ( ~P NN0 i^i Fin ) )
37		bitsf1o 12636	. . . . . . . . . . 11 |- (bits |` NN0 ) : NN0 -1-1-onto-> ( ~P NN0 i^i Fin )
38		f1ocnv 5485	. . . . . . . . . . 11 |- ( (bits |` NN0 ) : NN0 -1-1-onto-> ( ~P NN0 i^i Fin ) -> `' (bits |` NN0 ) : ( ~P NN0 i^i Fin ) -1-1-onto-> NN0 )
39		f1of 5472	. . . . . . . . . . 11 |- ( `' (bits |` NN0 ) : ( ~P NN0 i^i Fin ) -1-1-onto-> NN0 -> `' (bits |` NN0 ) : ( ~P NN0 i^i Fin ) --> NN0 )
40	37, 38, 39	mp2b 9	. . . . . . . . . 10 |- `' (bits |` NN0 ) : ( ~P NN0 i^i Fin ) --> NN0
41		sadcadd.k	. . . . . . . . . . 11 |- K = `' (bits |` NN0 )
42	41	feq1i 5383	. . . . . . . . . 10 |- ( K : ( ~P NN0 i^i Fin ) --> NN0 <-> `' (bits |` NN0 ) : ( ~P NN0 i^i Fin ) --> NN0 )
43	40, 42	mpbir 200	. . . . . . . . 9 |- K : ( ~P NN0 i^i Fin ) --> NN0
44	43	ffvelrni 5664	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) e. ( ~P NN0 i^i Fin ) -> ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) e. NN0 )
45	36, 44	syl 15	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) e. NN0 )
46	45	nn0cnd 10020	. . . . . 6 |- ( ph -> ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) e. CC )
47		0nn0 9980	. . . . . . . . 9 |- 0 e. NN0
48		ifcl 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 ^ N ) e. NN0 /\ 0 e. NN0 ) -> if ( N e. ( A sadd B ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) e. NN0 )
49	13, 47, 48	sylancl 643	. . . . . . . 8 |- ( ph -> if ( N e. ( A sadd B ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) e. NN0 )
50	49	nn0cnd 10020	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( N e. ( A sadd B ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) e. CC )
51		1nn0 9981	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. NN0
52	51	a1i 10	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 e. NN0 )
53	5, 52	nn0addcld 10022	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. NN0 )
54	10, 53	nn0expcld 11267	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) e. NN0 )
55		ifcl 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) e. NN0 /\ 0 e. NN0 ) -> if ( (/) e. ( C ` ( N + 1 ) ) , ( 2 ^ ( N + 1 ) ) , 0 ) e. NN0 )
56	54, 47, 55	sylancl 643	. . . . . . . 8 |- ( ph -> if ( (/) e. ( C ` ( N + 1 ) ) , ( 2 ^ ( N + 1 ) ) , 0 ) e. NN0 )
57	56	nn0cnd 10020	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( (/) e. ( C ` ( N + 1 ) ) , ( 2 ^ ( N + 1 ) ) , 0 ) e. CC )
58	50, 57	addcld 8854	. . . . . 6 |- ( ph -> ( if ( N e. ( A sadd B ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( (/) e. ( C ` ( N + 1 ) ) , ( 2 ^ ( N + 1 ) ) , 0 ) ) e. CC )
59	14	adantr 451	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) -> ( 2 ^ N ) e. CC )
60		0cn 8831	. . . . . . . 8 |- 0 e. CC
61	60	a1i 10	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. (/) e. ( C ` N ) ) -> 0 e. CC )
62	59, 61	ifclda 3592	. . . . . 6 |- ( ph -> if ( (/) e. ( C ` N ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) e. CC )
63	46, 58, 62	add32d 9034	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( if ( N e. ( A sadd B ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( (/) e. ( C ` ( N + 1 ) ) , ( 2 ^ ( N + 1 ) ) , 0 ) ) ) + if ( (/) e. ( C ` N ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) = ( ( ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( (/) e. ( C ` N ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) + ( if ( N e. ( A sadd B ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( (/) e. ( C ` ( N + 1 ) ) , ( 2 ^ ( N + 1 ) ) , 0 ) ) ) )
64		inss1 3389	. . . . . . . . . . 11 |- ( A i^i ( 0..^ N ) ) C_ A
65	64, 2	syl5ss 3190	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A i^i ( 0..^ N ) ) C_ NN0 )
66		inss2 3390	. . . . . . . . . . 11 |- ( A i^i ( 0..^ N ) ) C_ ( 0..^ N )
67		ssfi 7083	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 0..^ N ) e. Fin /\ ( A i^i ( 0..^ N ) ) C_ ( 0..^ N ) ) -> ( A i^i ( 0..^ N ) ) e. Fin )
68	31, 66, 67	sylancl 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A i^i ( 0..^ N ) ) e. Fin )
69		elfpw 7157	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A i^i ( 0..^ N ) ) e. ( ~P NN0 i^i Fin ) <-> ( ( A i^i ( 0..^ N ) ) C_ NN0 /\ ( A i^i ( 0..^ N ) ) e. Fin ) )
70	65, 68, 69	sylanbrc 645	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A i^i ( 0..^ N ) ) e. ( ~P NN0 i^i Fin ) )
71	43	ffvelrni 5664	. . . . . . . . 9 |- ( ( A i^i ( 0..^ N ) ) e. ( ~P NN0 i^i Fin ) -> ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) e. NN0 )
72	70, 71	syl 15	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) e. NN0 )
73	72	nn0cnd 10020	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) e. CC )
74		inss1 3389	. . . . . . . . . . 11 |- ( B i^i ( 0..^ N ) ) C_ B
75	74, 3	syl5ss 3190	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B i^i ( 0..^ N ) ) C_ NN0 )
76		inss2 3390	. . . . . . . . . . 11 |- ( B i^i ( 0..^ N ) ) C_ ( 0..^ N )
77		ssfi 7083	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 0..^ N ) e. Fin /\ ( B i^i ( 0..^ N ) ) C_ ( 0..^ N ) ) -> ( B i^i ( 0..^ N ) ) e. Fin )
78	31, 76, 77	sylancl 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B i^i ( 0..^ N ) ) e. Fin )
79		elfpw 7157	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B i^i ( 0..^ N ) ) e. ( ~P NN0 i^i Fin ) <-> ( ( B i^i ( 0..^ N ) ) C_ NN0 /\ ( B i^i ( 0..^ N ) ) e. Fin ) )
80	75, 78, 79	sylanbrc 645	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B i^i ( 0..^ N ) ) e. ( ~P NN0 i^i Fin ) )
81	43	ffvelrni 5664	. . . . . . . . 9 |- ( ( B i^i ( 0..^ N ) ) e. ( ~P NN0 i^i Fin ) -> ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) e. NN0 )
82	80, 81	syl 15	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) e. NN0 )
83	82	nn0cnd 10020	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) e. CC )
84	73, 83	addcld 8854	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) e. CC )
85		ifcl 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 ^ N ) e. NN0 /\ 0 e. NN0 ) -> if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) e. NN0 )
86	13, 47, 85	sylancl 643	. . . . . . . 8 |- ( ph -> if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) e. NN0 )
87	86	nn0cnd 10020	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) e. CC )
88		ifcl 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 ^ N ) e. NN0 /\ 0 e. NN0 ) -> if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) e. NN0 )
89	13, 47, 88	sylancl 643	. . . . . . . 8 |- ( ph -> if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) e. NN0 )
90	89	nn0cnd 10020	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) e. CC )
91	87, 90	addcld 8854	. . . . . 6 |- ( ph -> ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) e. CC )
92	84, 91, 62	addassd 8857	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) + if ( (/) e. ( C ` N ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) = ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) + if ( (/) e. ( C ` N ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) )
93	23, 63, 92	3eqtr4d 2325	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( if ( N e. ( A sadd B ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( (/) e. ( C ` ( N + 1 ) ) , ( 2 ^ ( N + 1 ) ) , 0 ) ) ) + if ( (/) e. ( C ` N ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) = ( ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) + if ( (/) e. ( C ` N ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) )
94	46, 58	addcld 8854	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( if ( N e. ( A sadd B ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( (/) e. ( C ` ( N + 1 ) ) , ( 2 ^ ( N + 1 ) ) , 0 ) ) ) e. CC )
95	84, 91	addcld 8854	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) e. CC )
96	94, 95, 62	addcan2d 9016	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( if ( N e. ( A sadd B ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( (/) e. ( C ` ( N + 1 ) ) , ( 2 ^ ( N + 1 ) ) , 0 ) ) ) + if ( (/) e. ( C ` N ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) = ( ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) + if ( (/) e. ( C ` N ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) <-> ( ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( if ( N e. ( A sadd B ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( (/) e. ( C ` ( N + 1 ) ) , ( 2 ^ ( N + 1 ) ) , 0 ) ) ) = ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) ) )
97	93, 96	mpbid 201	. . 3 |- ( ph -> ( ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( if ( N e. ( A sadd B ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( (/) e. ( C ` ( N + 1 ) ) , ( 2 ^ ( N + 1 ) ) , 0 ) ) ) = ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) )
98	46, 50, 57	addassd 8857	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( N e. ( A sadd B ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) + if ( (/) e. ( C ` ( N + 1 ) ) , ( 2 ^ ( N + 1 ) ) , 0 ) ) = ( ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( if ( N e. ( A sadd B ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( (/) e. ( C ` ( N + 1 ) ) , ( 2 ^ ( N + 1 ) ) , 0 ) ) ) )
99	73, 87, 83, 90	add4d 9035	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) + ( ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) = ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) )
100	97, 98, 99	3eqtr4d 2325	. 2 |- ( ph -> ( ( ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( N e. ( A sadd B ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) + if ( (/) e. ( C ` ( N + 1 ) ) , ( 2 ^ ( N + 1 ) ) , 0 ) ) = ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) + ( ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) )
101	41	bitsinvp1 12640	. . . 4 |- ( ( ( A sadd B ) C_ NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) = ( ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( N e. ( A sadd B ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) )
102	28, 5, 101	syl2anc 642	. . 3 |- ( ph -> ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) = ( ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( N e. ( A sadd B ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) )
103	102	oveq1d 5873	. 2 |- ( ph -> ( ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) + if ( (/) e. ( C ` ( N + 1 ) ) , ( 2 ^ ( N + 1 ) ) , 0 ) ) = ( ( ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( N e. ( A sadd B ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) + if ( (/) e. ( C ` ( N + 1 ) ) , ( 2 ^ ( N + 1 ) ) , 0 ) ) )
104	41	bitsinvp1 12640	. . . 4 |- ( ( A C_ NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( K ` ( A i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) = ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) )
105	2, 5, 104	syl2anc 642	. . 3 |- ( ph -> ( K ` ( A i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) = ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) )
106	41	bitsinvp1 12640	. . . 4 |- ( ( B C_ NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( K ` ( B i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) = ( ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) )
107	3, 5, 106	syl2anc 642	. . 3 |- ( ph -> ( K ` ( B i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) = ( ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) )
108	105, 107	oveq12d 5876	. 2 |- ( ph -> ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) + ( ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) )
109	100, 103, 108	3eqtr4d 2325	1 |- ( ph -> ( ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) + if ( (/) e. ( C ` ( N + 1 ) ) , ( 2 ^ ( N + 1 ) ) , 0 ) ) = ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 358  haddwhad 1368  caddwcad 1369   = wceq 1623   e. wcel 1684   {crab 2547   i^i cin 3151   C_ wss 3152   (/)c0 3455   ifcif 3565   ~Pcpw 3625   e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   |` cres 4691   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   e. cmpt2 5860   1oc1o 6472   2oc2o 6473   Fincfn 6863   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738   + caddc 8740   x. cmul 8742   - cmin 9037   2c2 9795   NN0cn0 9965  ..^cfzo 10870   seq cseq 11046   ^cexp 11104  bitscbits 12610   sadd csad 12611

This theorem is referenced by:  sadadd2  12651

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-xor 1296  df-tru 1310  df-had 1370  df-cad 1371  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-dvds 12532  df-bits 12613  df-sad 12642