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Theorem sadadd2lem 12976
Description: Lemma for sadadd2 12977. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadval.a  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
sadval.b  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
sadval.c  |-  C  =  seq  0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) )
sadcp1.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
sadcadd.k  |-  K  =  `' (bits  |`  NN0 )
sadadd2lem.1  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `  N
) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  =  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
sadadd2lem  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  + 
1 ) ) ,  0 ) )  =  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    m, c, n    A, c, m    B, c, m    n, N
Allowed substitution hints:    ph( m, n, c)    A( n)    B( n)    C( m, n, c)    K( m, n, c)    N( m, c)

Proof of Theorem sadadd2lem
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3563 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  ( A sadd  B )
2 sadval.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
3 sadval.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
4 sadval.c . . . . . . . . . . 11  |-  C  =  seq  0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) )
52, 3, 4sadfval 12969 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A sadd  B )  =  { k  e. 
NN0  | hadd ( k  e.  A ,  k  e.  B ,  (/)  e.  ( C `  k ) ) } )
6 ssrab2 3430 . . . . . . . . . 10  |-  { k  e.  NN0  | hadd (
k  e.  A , 
k  e.  B ,  (/) 
e.  ( C `  k ) ) } 
C_  NN0
75, 6syl6eqss 3400 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A sadd  B ) 
C_  NN0 )
81, 7syl5ss 3361 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  NN0 )
9 fzofi 11318 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0..^ N )  e.  Fin
109a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0..^ N )  e.  Fin )
11 inss2 3564 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  ( 0..^ N )
12 ssfi 7332 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0..^ N )  e.  Fin  /\  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  ( 0..^ N ) )  -> 
( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  e. 
Fin )
1310, 11, 12sylancl 645 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  e. 
Fin )
14 elfpw 7411 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin ) 
<->  ( ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) 
C_  NN0  /\  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  Fin )
)
158, 13, 14sylanbrc 647 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin ) )
16 bitsf1o 12962 . . . . . . . . . 10  |-  (bits  |`  NN0 ) : NN0
-1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin )
17 f1ocnv 5690 . . . . . . . . . 10  |-  ( (bits  |`  NN0 ) : NN0 -1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin )  ->  `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> NN0 )
18 f1of 5677 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i  Fin ) -1-1-onto-> NN0  ->  `' (bits  |` 
NN0 ) : ( ~P NN0  i^i  Fin )
--> NN0 )
1916, 17, 18mp2b 10 . . . . . . . . 9  |-  `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i  Fin )
--> NN0
20 sadcadd.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  `' (bits  |`  NN0 )
2120feq1i 5588 . . . . . . . . 9  |-  ( K : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) --> NN0  <->  `' (bits  |` 
NN0 ) : ( ~P NN0  i^i  Fin )
--> NN0 )
2219, 21mpbir 202 . . . . . . . 8  |-  K :
( ~P NN0  i^i  Fin ) --> NN0
2322ffvelrni 5872 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  ->  ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  NN0 )
2415, 23syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  NN0 )
2524nn0cnd 10281 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  CC )
26 2nn0 10243 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  NN0
2726a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  2  e.  NN0 )
28 sadcp1.n . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2927, 28nn0expcld 11550 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  e.  NN0 )
30 0nn0 10241 . . . . . . . 8  |-  0  e.  NN0
31 ifcl 3777 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2 ^ N
)  e.  NN0  /\  0  e.  NN0 )  ->  if ( N  e.  ( A sadd  B ) ,  ( 2 ^ N
) ,  0 )  e.  NN0 )
3229, 30, 31sylancl 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  ( A sadd  B ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  NN0 )
3332nn0cnd 10281 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  ( A sadd  B ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  CC )
34 1nn0 10242 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  NN0
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  NN0 )
3628, 35nn0addcld 10283 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
3727, 36nn0expcld 11550 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  e.  NN0 )
38 ifcl 3777 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  e.  NN0  /\  0  e.  NN0 )  ->  if ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ,  0 )  e.  NN0 )
3937, 30, 38sylancl 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ,  0 )  e.  NN0 )
4039nn0cnd 10281 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ,  0 )  e.  CC )
4133, 40addcld 9112 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( if ( N  e.  ( A sadd  B
) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( (/)  e.  ( C `
 ( N  + 
1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ,  0 ) )  e.  CC )
4225, 41addcld 9112 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( if ( N  e.  ( A sadd 
B ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ,  0 ) ) )  e.  CC )
43 inss1 3563 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  A
4443, 2syl5ss 3361 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) 
C_  NN0 )
45 inss2 3564 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  (
0..^ N )
46 ssfi 7332 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 0..^ N )  e.  Fin  /\  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  (
0..^ N ) )  ->  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  Fin )
4710, 45, 46sylancl 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  e.  Fin )
48 elfpw 7411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  <->  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  NN0  /\  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  e.  Fin ) )
4944, 47, 48sylanbrc 647 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin ) )
5022ffvelrni 5872 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  ->  ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  e.  NN0 )
5149, 50syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e. 
NN0 )
5251nn0cnd 10281 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  CC )
53 inss1 3563 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  B
5453, 3syl5ss 3361 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) 
C_  NN0 )
55 inss2 3564 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  (
0..^ N )
56 ssfi 7332 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 0..^ N )  e.  Fin  /\  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  (
0..^ N ) )  ->  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  Fin )
5710, 55, 56sylancl 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  (
0..^ N ) )  e.  Fin )
58 elfpw 7411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  <->  ( ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  NN0  /\  ( B  i^i  (
0..^ N ) )  e.  Fin ) )
5954, 57, 58sylanbrc 647 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  (
0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin ) )
6022ffvelrni 5872 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  ->  ( K `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  e.  NN0 )
6159, 60syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e. 
NN0 )
6261nn0cnd 10281 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  CC )
6352, 62addcld 9112 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  e.  CC )
64 ifcl 3777 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2 ^ N
)  e.  NN0  /\  0  e.  NN0 )  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  NN0 )
6529, 30, 64sylancl 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  NN0 )
6665nn0cnd 10281 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  CC )
67 ifcl 3777 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2 ^ N
)  e.  NN0  /\  0  e.  NN0 )  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  NN0 )
6829, 30, 67sylancl 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  NN0 )
6968nn0cnd 10281 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  CC )
7066, 69addcld 9112 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  e.  CC )
7163, 70addcld 9112 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  e.  CC )
7229nn0cnd 10281 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  e.  CC )
7372adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( 2 ^ N )  e.  CC )
74 0cn 9089 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
7574a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  0  e.  CC )
7673, 75ifclda 3768 . . . 4  |-  ( ph  ->  if ( (/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  CC )
77 sadadd2lem.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `  N
) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  =  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
782, 3, 4, 28sadval 12973 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  e.  ( A sadd  B )  <-> hadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/)  e.  ( C `  N ) ) ) )
7978ifbid 3759 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  ( A sadd  B ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  =  if (hadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/)  e.  ( C `
 N ) ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )
802, 3, 4, 28sadcp1 12972 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) )  <-> cadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/)  e.  ( C `
 N ) ) ) )
8127nn0cnd 10281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
8281, 28expp1d 11529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ N )  x.  2 ) )
8372, 81mulcomd 9114 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ N )  x.  2 )  =  ( 2  x.  ( 2 ^ N ) ) )
8482, 83eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  =  ( 2  x.  ( 2 ^ N ) ) )
85 eqidd 2439 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  =  0 )
8680, 84, 85ifbieq12d 3763 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ,  0 )  =  if (cadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/)  e.  ( C `
 N ) ) ,  ( 2  x.  ( 2 ^ N
) ) ,  0 ) )
8779, 86oveq12d 6102 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( if ( N  e.  ( A sadd  B
) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( (/)  e.  ( C `
 ( N  + 
1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ,  0 ) )  =  ( if (hadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/)  e.  ( C `  N ) ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if (cadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/)  e.  ( C `
 N ) ) ,  ( 2  x.  ( 2 ^ N
) ) ,  0 ) ) )
88 sadadd2lem2 12967 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2 ^ N )  e.  CC  ->  ( if (hadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/)  e.  ( C `  N ) ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if (cadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/)  e.  ( C `
 N ) ) ,  ( 2  x.  ( 2 ^ N
) ) ,  0 ) )  =  ( ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
8972, 88syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( if (hadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/) 
e.  ( C `  N ) ) ,  ( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if (cadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/) 
e.  ( C `  N ) ) ,  ( 2  x.  (
2 ^ N ) ) ,  0 ) )  =  ( ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `
 N ) ,  ( 2 ^ N
) ,  0 ) ) )
9087, 89eqtrd 2470 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( if ( N  e.  ( A sadd  B
) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( (/)  e.  ( C `
 ( N  + 
1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ,  0 ) )  =  ( ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `
 N ) ,  ( 2 ^ N
) ,  0 ) ) )
9177, 90oveq12d 6102 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  if (
(/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  +  ( if ( N  e.  ( A sadd 
B ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )
9225, 41, 76add32d 9293 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( if ( N  e.  ( A sadd  B ) ,  ( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  + 
1 ) ) ,  0 ) ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `  N
) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  =  ( ( ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  if (
(/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  +  ( if ( N  e.  ( A sadd 
B ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ,  0 ) ) ) )
9363, 70, 76addassd 9115 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  +  if (
(/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  =  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  +  if (
(/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )
9491, 92, 933eqtr4d 2480 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( if ( N  e.  ( A sadd  B ) ,  ( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  + 
1 ) ) ,  0 ) ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `  N
) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  =  ( ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  +  if (
(/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
9542, 71, 76, 94addcan2ad 9277 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( if ( N  e.  ( A sadd 
B ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )
9625, 33, 40addassd 9115 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  ( A sadd 
B ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  + 
1 ) ) ,  0 ) )  =  ( ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( if ( N  e.  ( A sadd 
B ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ,  0 ) ) ) )
9752, 66, 62, 69add4d 9294 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  +  ( ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  =  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )
9895, 96, 973eqtr4d 2480 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  ( A sadd 
B ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  + 
1 ) ) ,  0 ) )  =  ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  +  ( ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )
9920bitsinvp1 12966 . . . 4  |-  ( ( ( A sadd  B ) 
C_  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  ->  ( K `  ( ( A sadd  B )  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( K `  ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  ( A sadd  B ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
1007, 28, 99syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( K `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  ( A sadd  B ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
101100oveq1d 6099 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  + 
1 ) ) ,  0 ) )  =  ( ( ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  ( A sadd 
B ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  + 
1 ) ) ,  0 ) ) )
10220bitsinvp1 12966 . . . 4  |-  ( ( A  C_  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
1032, 28, 102syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) ) )
10420bitsinvp1 12966 . . . 4  |-  ( ( B  C_  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
1053, 28, 104syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( K `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) ) )
106103, 105oveq12d 6102 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  +  ( ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )
10798, 101, 1063eqtr4d 2480 1  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  + 
1 ) ) ,  0 ) )  =  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360  haddwhad 1388  caddwcad 1389    = wceq 1653    e. wcel 1726   {crab 2711    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   ifcif 3741   ~Pcpw 3801    e. cmpt 4269   `'ccnv 4880    |` cres 4883   -->wf 5453   -1-1-onto->wf1o 5456   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    e. cmpt2 6086   1oc1o 6720   2oc2o 6721   Fincfn 7112   CCcc 8993   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998    x. cmul 9000    - cmin 9296   2c2 10054   NN0cn0 10226  ..^cfzo 11140    seq cseq 11328   ^cexp 11387  bitscbits 12936   sadd csad 12937
This theorem is referenced by:  sadadd2  12977
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-xor 1315  df-tru 1329  df-had 1390  df-cad 1391  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-disj 4186  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-mod 11256  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-sum 12485  df-dvds 12858  df-bits 12939  df-sad 12968
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