MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadadd3 Structured version   Unicode version

Theorem sadadd3 12973
Description: Sum of initial segments of the sadd sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadval.a  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
sadval.b  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
sadval.c  |-  C  =  seq  0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) )
sadcp1.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
sadcadd.k  |-  K  =  `' (bits  |`  NN0 )
Assertion
Ref Expression
sadadd3  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  mod  ( 2 ^ N ) )  =  ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  mod  (
2 ^ N ) ) )
Distinct variable groups:    m, c, n    A, c, m    B, c, m    n, N
Allowed substitution hints:    ph( m, n, c)    A( n)    B( n)    C( m, n, c)    K( m, n, c)    N( m, c)

Proof of Theorem sadadd3
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 10133 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN
21a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  e.  NN )
3 sadcp1.n . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
42, 3nnexpcld 11544 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  e.  NN )
54nnzd 10374 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  e.  ZZ )
6 iddvds 12863 . . . . . 6  |-  ( ( 2 ^ N )  e.  ZZ  ->  (
2 ^ N ) 
||  ( 2 ^ N ) )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  ||  ( 2 ^ N ) )
8 dvds0 12865 . . . . . 6  |-  ( ( 2 ^ N )  e.  ZZ  ->  (
2 ^ N ) 
||  0 )
95, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  ||  0 )
10 breq2 4216 . . . . . 6  |-  ( ( 2 ^ N )  =  if ( (/)  e.  ( C `  N
) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  ->  (
( 2 ^ N
)  ||  ( 2 ^ N )  <->  ( 2 ^ N )  ||  if ( (/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
11 breq2 4216 . . . . . 6  |-  ( 0  =  if ( (/)  e.  ( C `  N
) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  ->  (
( 2 ^ N
)  ||  0  <->  ( 2 ^ N )  ||  if ( (/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
1210, 11ifboth 3770 . . . . 5  |-  ( ( ( 2 ^ N
)  ||  ( 2 ^ N )  /\  ( 2 ^ N
)  ||  0 )  ->  ( 2 ^ N )  ||  if ( (/)  e.  ( C `
 N ) ,  ( 2 ^ N
) ,  0 ) )
137, 9, 12syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  ||  if ( (/) 
e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )
14 inss1 3561 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  ( A sadd  B )
15 sadval.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
16 sadval.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
17 sadval.c . . . . . . . . . . 11  |-  C  =  seq  0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) )
1815, 16, 17sadfval 12964 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A sadd  B )  =  { k  e. 
NN0  | hadd ( k  e.  A ,  k  e.  B ,  (/)  e.  ( C `  k ) ) } )
19 ssrab2 3428 . . . . . . . . . 10  |-  { k  e.  NN0  | hadd (
k  e.  A , 
k  e.  B ,  (/) 
e.  ( C `  k ) ) } 
C_  NN0
2018, 19syl6eqss 3398 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A sadd  B ) 
C_  NN0 )
2114, 20syl5ss 3359 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  NN0 )
22 fzofi 11313 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0..^ N )  e.  Fin
2322a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0..^ N )  e.  Fin )
24 inss2 3562 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  ( 0..^ N )
25 ssfi 7329 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0..^ N )  e.  Fin  /\  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  ( 0..^ N ) )  -> 
( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  e. 
Fin )
2623, 24, 25sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  e. 
Fin )
27 elfpw 7408 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin ) 
<->  ( ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) 
C_  NN0  /\  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  Fin )
)
2821, 26, 27sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin ) )
29 bitsf1o 12957 . . . . . . . . . 10  |-  (bits  |`  NN0 ) : NN0
-1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin )
30 f1ocnv 5687 . . . . . . . . . 10  |-  ( (bits  |`  NN0 ) : NN0 -1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin )  ->  `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> NN0 )
31 f1of 5674 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i  Fin ) -1-1-onto-> NN0  ->  `' (bits  |` 
NN0 ) : ( ~P NN0  i^i  Fin )
--> NN0 )
3229, 30, 31mp2b 10 . . . . . . . . 9  |-  `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i  Fin )
--> NN0
33 sadcadd.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  `' (bits  |`  NN0 )
3433feq1i 5585 . . . . . . . . 9  |-  ( K : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) --> NN0  <->  `' (bits  |` 
NN0 ) : ( ~P NN0  i^i  Fin )
--> NN0 )
3532, 34mpbir 201 . . . . . . . 8  |-  K :
( ~P NN0  i^i  Fin ) --> NN0
3635ffvelrni 5869 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  ->  ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  NN0 )
3728, 36syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  NN0 )
3837nn0cnd 10276 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  CC )
394nncnd 10016 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  e.  CC )
40 0cn 9084 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
41 ifcl 3775 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2 ^ N
)  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  if ( (/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  CC )
4239, 40, 41sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( (/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  CC )
4338, 42pncan2d 9413 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  if (
(/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  -  ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  if (
(/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )
4413, 43breqtrrd 4238 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  ||  ( (
( K `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `
 N ) ,  ( 2 ^ N
) ,  0 ) )  -  ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) ) ) )
4537nn0zd 10373 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ZZ )
465adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( 2 ^ N )  e.  ZZ )
47 0z 10293 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
4847a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  0  e.  ZZ )
4946, 48ifclda 3766 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( (/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  ZZ )
5045, 49zaddcld 10379 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `  N
) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  e.  ZZ )
51 moddvds 12859 . . . 4  |-  ( ( ( 2 ^ N
)  e.  NN  /\  ( ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `  N
) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  e.  ZZ  /\  ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( K `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `
 N ) ,  ( 2 ^ N
) ,  0 ) )  mod  ( 2 ^ N ) )  =  ( ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) )  mod  ( 2 ^ N ) )  <-> 
( 2 ^ N
)  ||  ( (
( K `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `
 N ) ,  ( 2 ^ N
) ,  0 ) )  -  ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) ) ) ) )
524, 50, 45, 51syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( K `  ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `
 N ) ,  ( 2 ^ N
) ,  0 ) )  mod  ( 2 ^ N ) )  =  ( ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) )  mod  ( 2 ^ N ) )  <-> 
( 2 ^ N
)  ||  ( (
( K `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `
 N ) ,  ( 2 ^ N
) ,  0 ) )  -  ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) ) ) ) )
5344, 52mpbird 224 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  if (
(/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  mod  ( 2 ^ N ) )  =  ( ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  mod  ( 2 ^ N ) ) )
5415, 16, 17, 3, 33sadadd2 12972 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `  N
) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  =  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
5554oveq1d 6096 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  if (
(/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  mod  ( 2 ^ N ) )  =  ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  mod  (
2 ^ N ) ) )
5653, 55eqtr3d 2470 1  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  mod  ( 2 ^ N ) )  =  ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  mod  (
2 ^ N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359  haddwhad 1387  caddwcad 1388    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2709    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ifcif 3739   ~Pcpw 3799   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   `'ccnv 4877    |` cres 4880   -->wf 5450   -1-1-onto->wf1o 5453   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    e. cmpt2 6083   1oc1o 6717   2oc2o 6718   Fincfn 7109   CCcc 8988   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    - cmin 9291   NNcn 10000   2c2 10049   NN0cn0 10221   ZZcz 10282  ..^cfzo 11135    mod cmo 11250    seq cseq 11323   ^cexp 11382    || cdivides 12852  bitscbits 12931   sadd csad 12932
This theorem is referenced by:  sadaddlem  12978  sadasslem  12982  sadeq  12984
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-xor 1314  df-tru 1328  df-had 1389  df-cad 1390  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-sum 12480  df-dvds 12853  df-bits 12934  df-sad 12963
  Copyright terms: Public domain W3C validator