MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadadd3 Unicode version

Theorem sadadd3 12652
Description: Sum of initial segments of the sadd sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadval.a  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
sadval.b  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
sadval.c  |-  C  =  seq  0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) )
sadcp1.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
sadcadd.k  |-  K  =  `' (bits  |`  NN0 )
Assertion
Ref Expression
sadadd3  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  mod  ( 2 ^ N ) )  =  ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  mod  (
2 ^ N ) ) )
Distinct variable groups:    m, c, n    A, c, m    B, c, m    n, N
Allowed substitution hints:    ph( m, n, c)    A( n)    B( n)    C( m, n, c)    K( m, n, c)    N( m, c)

Proof of Theorem sadadd3
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 9877 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN
21a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  e.  NN )
3 sadcp1.n . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
42, 3nnexpcld 11266 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  e.  NN )
54nnzd 10116 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  e.  ZZ )
6 iddvds 12542 . . . . . 6  |-  ( ( 2 ^ N )  e.  ZZ  ->  (
2 ^ N ) 
||  ( 2 ^ N ) )
75, 6syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  ||  ( 2 ^ N ) )
8 dvds0 12544 . . . . . 6  |-  ( ( 2 ^ N )  e.  ZZ  ->  (
2 ^ N ) 
||  0 )
95, 8syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  ||  0 )
10 breq2 4027 . . . . . 6  |-  ( ( 2 ^ N )  =  if ( (/)  e.  ( C `  N
) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  ->  (
( 2 ^ N
)  ||  ( 2 ^ N )  <->  ( 2 ^ N )  ||  if ( (/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
11 breq2 4027 . . . . . 6  |-  ( 0  =  if ( (/)  e.  ( C `  N
) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  ->  (
( 2 ^ N
)  ||  0  <->  ( 2 ^ N )  ||  if ( (/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
1210, 11ifboth 3596 . . . . 5  |-  ( ( ( 2 ^ N
)  ||  ( 2 ^ N )  /\  ( 2 ^ N
)  ||  0 )  ->  ( 2 ^ N )  ||  if ( (/)  e.  ( C `
 N ) ,  ( 2 ^ N
) ,  0 ) )
137, 9, 12syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  ||  if ( (/) 
e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )
14 inss1 3389 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  ( A sadd  B )
15 sadval.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
16 sadval.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
17 sadval.c . . . . . . . . . . 11  |-  C  =  seq  0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) )
1815, 16, 17sadfval 12643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A sadd  B )  =  { k  e. 
NN0  | hadd ( k  e.  A ,  k  e.  B ,  (/)  e.  ( C `  k ) ) } )
19 ssrab2 3258 . . . . . . . . . . 11  |-  { k  e.  NN0  | hadd (
k  e.  A , 
k  e.  B ,  (/) 
e.  ( C `  k ) ) } 
C_  NN0
2019a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { k  e.  NN0  | hadd ( k  e.  A ,  k  e.  B ,  (/)  e.  ( C `
 k ) ) }  C_  NN0 )
2118, 20eqsstrd 3212 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A sadd  B ) 
C_  NN0 )
2214, 21syl5ss 3190 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  NN0 )
23 fzofi 11036 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0..^ N )  e.  Fin
2423a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0..^ N )  e.  Fin )
25 inss2 3390 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  ( 0..^ N )
26 ssfi 7083 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0..^ N )  e.  Fin  /\  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  ( 0..^ N ) )  -> 
( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  e. 
Fin )
2724, 25, 26sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  e. 
Fin )
28 elfpw 7157 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin ) 
<->  ( ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) 
C_  NN0  /\  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  Fin )
)
2922, 27, 28sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin ) )
30 bitsf1o 12636 . . . . . . . . . 10  |-  (bits  |`  NN0 ) : NN0
-1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin )
31 f1ocnv 5485 . . . . . . . . . 10  |-  ( (bits  |`  NN0 ) : NN0 -1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin )  ->  `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> NN0 )
32 f1of 5472 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i  Fin ) -1-1-onto-> NN0  ->  `' (bits  |` 
NN0 ) : ( ~P NN0  i^i  Fin )
--> NN0 )
3330, 31, 32mp2b 9 . . . . . . . . 9  |-  `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i  Fin )
--> NN0
34 sadcadd.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  `' (bits  |`  NN0 )
3534feq1i 5383 . . . . . . . . 9  |-  ( K : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) --> NN0  <->  `' (bits  |` 
NN0 ) : ( ~P NN0  i^i  Fin )
--> NN0 )
3633, 35mpbir 200 . . . . . . . 8  |-  K :
( ~P NN0  i^i  Fin ) --> NN0
3736ffvelrni 5664 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  ->  ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  NN0 )
3829, 37syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  NN0 )
3938nn0cnd 10020 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  CC )
404nncnd 9762 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  e.  CC )
41 0cn 8831 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
42 ifcl 3601 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2 ^ N
)  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  if ( (/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  CC )
4340, 41, 42sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( (/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  CC )
4439, 43pncan2d 9159 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  if (
(/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  -  ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  if (
(/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )
4513, 44breqtrrd 4049 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  ||  ( (
( K `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `
 N ) ,  ( 2 ^ N
) ,  0 ) )  -  ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) ) ) )
4638nn0zd 10115 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ZZ )
475adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( 2 ^ N )  e.  ZZ )
48 0z 10035 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
4948a1i 10 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  0  e.  ZZ )
5047, 49ifclda 3592 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( (/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  ZZ )
5146, 50zaddcld 10121 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `  N
) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  e.  ZZ )
52 moddvds 12538 . . . 4  |-  ( ( ( 2 ^ N
)  e.  NN  /\  ( ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `  N
) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  e.  ZZ  /\  ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( K `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `
 N ) ,  ( 2 ^ N
) ,  0 ) )  mod  ( 2 ^ N ) )  =  ( ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) )  mod  ( 2 ^ N ) )  <-> 
( 2 ^ N
)  ||  ( (
( K `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `
 N ) ,  ( 2 ^ N
) ,  0 ) )  -  ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) ) ) ) )
534, 51, 46, 52syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( K `  ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `
 N ) ,  ( 2 ^ N
) ,  0 ) )  mod  ( 2 ^ N ) )  =  ( ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) )  mod  ( 2 ^ N ) )  <-> 
( 2 ^ N
)  ||  ( (
( K `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `
 N ) ,  ( 2 ^ N
) ,  0 ) )  -  ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) ) ) ) )
5445, 53mpbird 223 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  if (
(/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  mod  ( 2 ^ N ) )  =  ( ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  mod  ( 2 ^ N ) ) )
5515, 16, 17, 3, 34sadadd2 12651 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `  N
) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  =  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
5655oveq1d 5873 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  if (
(/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  mod  ( 2 ^ N ) )  =  ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  mod  (
2 ^ N ) ) )
5754, 56eqtr3d 2317 1  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  mod  ( 2 ^ N ) )  =  ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  mod  (
2 ^ N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358  haddwhad 1368  caddwcad 1369    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ifcif 3565   ~Pcpw 3625   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688    |` cres 4691   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   1oc1o 6472   2oc2o 6473   Fincfn 6863   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    - cmin 9037   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024  ..^cfzo 10870    mod cmo 10973    seq cseq 11046   ^cexp 11104    || cdivides 12531  bitscbits 12610   sadd csad 12611
This theorem is referenced by:  sadaddlem  12657  sadasslem  12661  sadeq  12663
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-xor 1296  df-tru 1310  df-had 1370  df-cad 1371  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-dvds 12532  df-bits 12613  df-sad 12642
  Copyright terms: Public domain W3C validator