MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadcaddlem Unicode version

Theorem sadcaddlem 12648
Description: Lemma for sadcadd 12649. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadval.a  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
sadval.b  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
sadval.c  |-  C  =  seq  0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) )
sadcp1.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
sadcadd.k  |-  K  =  `' (bits  |`  NN0 )
sadcaddlem.1  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  ( C `  N )  <->  ( 2 ^ N )  <_  ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
sadcaddlem  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) )  <-> 
( 2 ^ ( N  +  1 ) )  <_  ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    m, c, n    A, c, m    B, c, m    n, N
Allowed substitution hints:    ph( m, n, c)    A( n)    B( n)    C( m, n, c)    K( m, n, c)    N( m, c)

Proof of Theorem sadcaddlem
StepHypRef Expression
1 cad1 1388 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  ( C `  N
)  ->  (cadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/) 
e.  ( C `  N ) )  <->  ( N  e.  A  \/  N  e.  B ) ) )
21adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  (cadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/) 
e.  ( C `  N ) )  <->  ( N  e.  A  \/  N  e.  B ) ) )
3 2nn 9877 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN
43a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  e.  NN )
5 sadcp1.n . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
64, 5nnexpcld 11266 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  e.  NN )
76nnred 9761 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  e.  RR )
87ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( N  e.  A  \/  N  e.  B ) )  -> 
( 2 ^ N
)  e.  RR )
9 inss1 3389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  A
10 sadval.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
119, 10syl5ss 3190 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) 
C_  NN0 )
12 fzofi 11036 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0..^ N )  e.  Fin
1312a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 0..^ N )  e.  Fin )
14 inss2 3390 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  (
0..^ N )
15 ssfi 7083 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 0..^ N )  e.  Fin  /\  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  (
0..^ N ) )  ->  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  Fin )
1613, 14, 15sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  e.  Fin )
17 elfpw 7157 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  <->  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  NN0  /\  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  e.  Fin ) )
1811, 16, 17sylanbrc 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin ) )
19 bitsf1o 12636 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (bits  |`  NN0 ) : NN0
-1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin )
20 f1ocnv 5485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (bits  |`  NN0 ) : NN0 -1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin )  ->  `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> NN0 )
2119, 20ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i  Fin )
-1-1-onto-> NN0
22 sadcadd.k . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  K  =  `' (bits  |`  NN0 )
23 f1oeq1 5463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  =  `' (bits  |`  NN0 )  ->  ( K : ( ~P NN0  i^i  Fin )
-1-1-onto-> NN0 
<->  `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> NN0 ) )
2422, 23ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> NN0  <->  `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> NN0 )
2521, 24mpbir 200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  K :
( ~P NN0  i^i  Fin ) -1-1-onto-> NN0
26 f1of 5472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> NN0  ->  K :
( ~P NN0  i^i  Fin ) --> NN0 )
2725, 26ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  K :
( ~P NN0  i^i  Fin ) --> NN0
2827ffvelrni 5664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  ->  ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  e.  NN0 )
2918, 28syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e. 
NN0 )
30 inss1 3389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  B
31 sadval.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
3230, 31syl5ss 3190 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) 
C_  NN0 )
33 inss2 3390 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  (
0..^ N )
34 ssfi 7083 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 0..^ N )  e.  Fin  /\  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  (
0..^ N ) )  ->  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  Fin )
3513, 33, 34sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  (
0..^ N ) )  e.  Fin )
36 elfpw 7157 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  <->  ( ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  NN0  /\  ( B  i^i  (
0..^ N ) )  e.  Fin ) )
3732, 35, 36sylanbrc 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  (
0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin ) )
3827ffvelrni 5664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  ->  ( K `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  e.  NN0 )
3937, 38syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e. 
NN0 )
4029, 39nn0addcld 10022 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  e.  NN0 )
4140nn0red 10019 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  e.  RR )
4241ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( N  e.  A  \/  N  e.  B ) )  -> 
( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  e.  RR )
43 2nn0 9982 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN0
4443a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  A )  ->  2  e.  NN0 )
455adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  A )  ->  N  e.  NN0 )
4644, 45nn0expcld 11267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  A )  ->  (
2 ^ N )  e.  NN0 )
47 0nn0 9980 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  NN0
4847a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  N  e.  A )  ->  0  e.  NN0 )
4946, 48ifclda 3592 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  NN0 )
5043a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  B )  ->  2  e.  NN0 )
515adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  B )  ->  N  e.  NN0 )
5250, 51nn0expcld 11267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  B )  ->  (
2 ^ N )  e.  NN0 )
5347a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  N  e.  B )  ->  0  e.  NN0 )
5452, 53ifclda 3592 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  NN0 )
5549, 54nn0addcld 10022 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  e. 
NN0 )
5655nn0red 10019 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  e.  RR )
5756ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( N  e.  A  \/  N  e.  B ) )  -> 
( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  e.  RR )
58 sadcaddlem.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  ( C `  N )  <->  ( 2 ^ N )  <_  ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) ) )
5958biimpa 470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( 2 ^ N )  <_ 
( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
6059adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( N  e.  A  \/  N  e.  B ) )  -> 
( 2 ^ N
)  <_  ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
616nnnn0d 10018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  e.  NN0 )
62 ifcl 3601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2 ^ N
)  e.  NN0  /\  0  e.  NN0 )  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  NN0 )
6361, 47, 62sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  NN0 )
6463nn0ge0d 10021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )
657adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  N  e.  B )  ->  (
2 ^ N )  e.  RR )
66 0re 8838 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
6766a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  N  e.  B )  ->  0  e.  RR )
6865, 67ifclda 3592 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  RR )
697, 68addge01d 9360 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  <->  ( 2 ^ N )  <_  (
( 2 ^ N
)  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) ) ) )
7064, 69mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  <_  ( (
2 ^ N )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
7170ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  N  e.  A )  ->  (
2 ^ N )  <_  ( ( 2 ^ N )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
72 iftrue 3571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  A  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  =  ( 2 ^ N ) )
7372adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  N  e.  A )  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  =  ( 2 ^ N ) )
7473oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  N  e.  A )  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  =  ( ( 2 ^ N )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
7571, 74breqtrrd 4049 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  N  e.  A )  ->  (
2 ^ N )  <_  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
76 ifcl 3601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2 ^ N
)  e.  NN0  /\  0  e.  NN0 )  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  NN0 )
7761, 47, 76sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  NN0 )
7877nn0ge0d 10021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )
797adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  N  e.  A )  ->  (
2 ^ N )  e.  RR )
8066a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  N  e.  A )  ->  0  e.  RR )
8179, 80ifclda 3592 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  RR )
827, 81addge02d 9361 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  <->  ( 2 ^ N )  <_  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  ( 2 ^ N ) ) ) )
8378, 82mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  <_  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  ( 2 ^ N ) ) )
8483ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  N  e.  B )  ->  (
2 ^ N )  <_  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  ( 2 ^ N ) ) )
85 iftrue 3571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  B  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  =  ( 2 ^ N ) )
8685adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  N  e.  B )  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  =  ( 2 ^ N ) )
8786oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  N  e.  B )  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  =  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  ( 2 ^ N ) ) )
8884, 87breqtrrd 4049 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  N  e.  B )  ->  (
2 ^ N )  <_  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
8975, 88jaodan 760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( N  e.  A  \/  N  e.  B ) )  -> 
( 2 ^ N
)  <_  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) ) )
908, 8, 42, 57, 60, 89le2addd 9390 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( N  e.  A  \/  N  e.  B ) )  -> 
( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )
9190ex 423 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( ( N  e.  A  \/  N  e.  B )  ->  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
92 ioran 476 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( N  e.  A  \/  N  e.  B
)  <->  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B ) )
93 iffalse 3572 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  N  e.  A  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  =  0 )
9493ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  =  0 )
95 iffalse 3572 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  N  e.  B  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  =  0 )
9695ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  =  0 )
9794, 96oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  =  ( 0  +  0 ) )
98 00id 8987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  +  0 )  =  0
9997, 98syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  =  0 )
10099oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  (
( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  =  ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  0 ) )
10129nn0red 10019 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  RR )
102101ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  RR )
10339nn0red 10019 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  RR )
104103ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  RR )
105102, 104readdcld 8862 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  e.  RR )
106105recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  e.  CC )
107106addid1d 9012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  (
( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  0 )  =  ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
108100, 107eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  (
( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  =  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
109 fvres 5542 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e. 
NN0  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  (bits `  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
11029, 109syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  (bits `  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
11122fveq1i 5526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  =  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )
112111fveq2i 5528 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) ) )
113 f1ocnvfv2 5793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( (bits  |`  NN0 ) : NN0
-1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin ) )  -> 
( (bits  |`  NN0 ) `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) ) )  =  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )
11419, 18, 113sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) ) )  =  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )
115112, 114syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )
116110, 115eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  (bits `  ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) ) )  =  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )
117116sseq1d 3205 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( (bits `  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  C_  ( 0..^ N )  <->  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  ( 0..^ N ) ) )
11814, 117mpbiri 224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (bits `  ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) ) )  C_  (
0..^ N ) )
11929nn0zd 10115 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ZZ )
120 bitsfzo 12626 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ZZ  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N ) )  <-> 
(bits `  ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) ) )  C_  (
0..^ N ) ) )
121119, 5, 120syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N
) )  <->  (bits `  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  C_  ( 0..^ N ) ) )
122118, 121mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N ) ) )
123 elfzolt2 10883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N ) )  ->  ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  <  ( 2 ^ N ) )
124122, 123syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  < 
( 2 ^ N
) )
125 fvres 5542 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e. 
NN0  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  (bits `  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
12639, 125syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  (bits `  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
12722fveq1i 5526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  =  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )
128127fveq2i 5528 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) ) )
129 f1ocnvfv2 5793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( (bits  |`  NN0 ) : NN0
-1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin )  /\  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin ) )  -> 
( (bits  |`  NN0 ) `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) ) )  =  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )
13019, 37, 129sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) ) )  =  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )
131128, 130syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )
132126, 131eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  (bits `  ( K `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) ) )  =  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )
133132sseq1d 3205 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( (bits `  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  C_  ( 0..^ N )  <->  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  ( 0..^ N ) ) )
13433, 133mpbiri 224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (bits `  ( K `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) ) )  C_  (
0..^ N ) )
13539nn0zd 10115 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ZZ )
136 bitsfzo 12626 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ZZ  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N ) )  <-> 
(bits `  ( K `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) ) )  C_  (
0..^ N ) ) )
137135, 5, 136syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N
) )  <->  (bits `  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  C_  ( 0..^ N ) ) )
138134, 137mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N ) ) )
139 elfzolt2 10883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N ) )  ->  ( K `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  <  ( 2 ^ N ) )
140138, 139syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  < 
( 2 ^ N
) )
141101, 103, 7, 7, 124, 140lt2addd 9394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  <  (
( 2 ^ N
)  +  ( 2 ^ N ) ) )
142141ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  <  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N
) ) )
143108, 142eqbrtrd 4043 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  (
( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  < 
( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) ) )
14481ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  RR )
14568ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  RR )
146144, 145readdcld 8862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  e.  RR )
147105, 146readdcld 8862 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  (
( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
1487ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  (
2 ^ N )  e.  RR )
149148, 148readdcld 8862 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  (
( 2 ^ N
)  +  ( 2 ^ N ) )  e.  RR )
150147, 149ltnled 8966 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  (
( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  < 
( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  <->  -.  ( (
2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  <_ 
( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
151143, 150mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  -.  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )
152151ex 423 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
)  ->  -.  (
( 2 ^ N
)  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
15392, 152syl5bi 208 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( -.  ( N  e.  A  \/  N  e.  B
)  ->  -.  (
( 2 ^ N
)  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
154153con4d 97 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( (
( 2 ^ N
)  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  ->  ( N  e.  A  \/  N  e.  B ) ) )
15591, 154impbid 183 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( ( N  e.  A  \/  N  e.  B )  <->  ( ( 2 ^ N
)  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
1562, 155bitrd 244 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  (cadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/) 
e.  ( C `  N ) )  <->  ( (
2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  <_ 
( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
157 cad0 1390 . . . . 5  |-  ( -.  (/)  e.  ( C `  N )  ->  (cadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/)  e.  ( C `
 N ) )  <-> 
( N  e.  A  /\  N  e.  B
) ) )
158157adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  (cadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/) 
e.  ( C `  N ) )  <->  ( N  e.  A  /\  N  e.  B ) ) )
15940nn0ge0d 10021 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
1607, 7readdcld 8862 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  e.  RR )
161160, 41addge02d 9361 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  <-> 
( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N
) ) ) ) )
162159, 161mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N
) ) ) )
163162ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -.  (/) 
e.  ( C `  N ) )  /\  ( N  e.  A  /\  N  e.  B
) )  ->  (
( 2 ^ N
)  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N
) ) ) )
16472, 85oveqan12d 5877 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  A  /\  N  e.  B )  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  =  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) ) )
165164adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  -.  (/) 
e.  ( C `  N ) )  /\  ( N  e.  A  /\  N  e.  B
) )  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  =  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) ) )
166165oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -.  (/) 
e.  ( C `  N ) )  /\  ( N  e.  A  /\  N  e.  B
) )  ->  (
( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  =  ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( ( 2 ^ N
)  +  ( 2 ^ N ) ) ) )
167163, 166breqtrrd 4049 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  -.  (/) 
e.  ( C `  N ) )  /\  ( N  e.  A  /\  N  e.  B
) )  ->  (
( 2 ^ N
)  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )
168167ex 423 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( ( N  e.  A  /\  N  e.  B )  ->  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
169101adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  e.  RR )
170103adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( K `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  e.  RR )
171169, 170readdcld 8862 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  e.  RR )
1727adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( 2 ^ N )  e.  RR )
1737, 41lenltd 8965 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ N )  <_  (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  <->  -.  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  <  (
2 ^ N ) ) )
17458, 173bitrd 244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  ( C `  N )  <->  -.  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  <  (
2 ^ N ) ) )
175174con2bid 319 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  <  (
2 ^ N )  <->  -.  (/)  e.  ( C `
 N ) ) )
176175biimpar 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  <  ( 2 ^ N ) )
177171, 172, 172, 176ltadd1dd 9383 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( 2 ^ N ) )  < 
( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) ) )
178171, 172readdcld 8862 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( 2 ^ N ) )  e.  RR )
179160adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( (
2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  e.  RR )
18041, 56readdcld 8862 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
181180adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
182 ltletr 8913 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( 2 ^ N ) )  e.  RR  /\  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  e.  RR  /\  ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  (
( ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( 2 ^ N ) )  < 
( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  /\  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  <_ 
( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )  ->  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( 2 ^ N ) )  < 
( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
183178, 179, 181, 182syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( (
( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( 2 ^ N ) )  <  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  /\  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )  ->  (
( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( 2 ^ N ) )  <  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
184177, 183mpand 656 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( (
( 2 ^ N
)  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  ->  ( (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( 2 ^ N ) )  < 
( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
18556adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  e.  RR )
18641adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  e.  RR )
187172, 185, 186ltadd2d 8972 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( (
2 ^ N )  <  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  <-> 
( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( 2 ^ N ) )  <  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
188184, 187sylibrd 225 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( (
( 2 ^ N
)  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  ->  ( 2 ^ N )  < 
( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )
1897, 56ltnled 8966 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ N )  <  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  <->  -.  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  <_  ( 2 ^ N ) ) )
19063nn0cnd 10020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  CC )
191190addid2d 9013 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  =  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )
1927leidd 9339 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  <_  ( 2 ^ N ) )
19361nn0ge0d 10021 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 2 ^ N ) )
194 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2 ^ N )  =  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  -> 
( ( 2 ^ N )  <_  (
2 ^ N )  <-> 
if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  <_  (
2 ^ N ) ) )
195 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  =  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  -> 
( 0  <_  (
2 ^ N )  <-> 
if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  <_  (
2 ^ N ) ) )
196194, 195ifboth 3596 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2 ^ N
)  <_  ( 2 ^ N )  /\  0  <_  ( 2 ^ N ) )  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  <_  ( 2 ^ N ) )
197192, 193, 196syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  <_  (
2 ^ N ) )
198191, 197eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  <_  (
2 ^ N ) )
19993oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  N  e.  A  -> 
( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  =  ( 0  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
200199breq1d 4033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  N  e.  A  -> 
( ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  <_  ( 2 ^ N )  <->  ( 0  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  <_  ( 2 ^ N ) ) )
201198, 200syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -.  N  e.  A  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  <_  ( 2 ^ N ) ) )
202201con1d 116 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( -.  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  <_  ( 2 ^ N )  ->  N  e.  A )
)
20377nn0cnd 10020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  CC )
204203addid1d 9012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  0 )  =  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )
205 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2 ^ N )  =  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  -> 
( ( 2 ^ N )  <_  (
2 ^ N )  <-> 
if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  <_  (
2 ^ N ) ) )
206 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  =  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  -> 
( 0  <_  (
2 ^ N )  <-> 
if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  <_  (
2 ^ N ) ) )
207205, 206ifboth 3596 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2 ^ N
)  <_  ( 2 ^ N )  /\  0  <_  ( 2 ^ N ) )  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  <_  ( 2 ^ N ) )
208192, 193, 207syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  <_  (
2 ^ N ) )
209204, 208eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  0 )  <_  (
2 ^ N ) )
21095oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  N  e.  B  -> 
( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  =  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  0 ) )
211210breq1d 4033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  N  e.  B  -> 
( ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  <_  ( 2 ^ N )  <->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  0 )  <_  ( 2 ^ N ) ) )
212209, 211syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -.  N  e.  B  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  <_  ( 2 ^ N ) ) )
213212con1d 116 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( -.  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  <_  ( 2 ^ N )  ->  N  e.  B )
)
214202, 213jcad 519 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( -.  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  <_  ( 2 ^ N )  -> 
( N  e.  A  /\  N  e.  B
) ) )
215189, 214sylbid 206 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ N )  <  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  ->  ( N  e.  A  /\  N  e.  B ) ) )
216215adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( (
2 ^ N )  <  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  ->  ( N  e.  A  /\  N  e.  B ) ) )
217188, 216syld 40 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( (
( 2 ^ N
)  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  ->  ( N  e.  A  /\  N  e.  B ) ) )
218168, 217impbid 183 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( ( N  e.  A  /\  N  e.  B )  <->  ( ( 2 ^ N
)  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
219158, 218bitrd 244 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  (cadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/) 
e.  ( C `  N ) )  <->  ( (
2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  <_ 
( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
220156, 219pm2.61dan 766 . 2  |-  ( ph  ->  (cadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/)  e.  ( C `  N ) )  <->  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N
) )  <_  (
( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
221 sadval.c . . 3  |-  C  =  seq  0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) )
22210, 31, 221, 5sadcp1 12646 . 2  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) )  <-> cadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/)  e.  ( C `
 N ) ) ) )
2234nncnd 9762 . . . . 5  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
224223, 5expp1d 11246 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ N )  x.  2 ) )
2256nncnd 9762 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  e.  CC )
226225times2d 9955 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ N )  x.  2 )  =  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) ) )
227224, 226eqtrd 2315 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) ) )
22822bitsinvp1 12640 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
22910, 5, 228syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) ) )
23022bitsinvp1 12640 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
23131, 5, 230syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( K `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) ) )
232229, 231oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  +  ( ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )
23329nn0cnd 10020 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  CC )
23439nn0cnd 10020 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  CC )
235233, 203, 234, 190add4d 9035 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  +  ( ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  =  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )
236232, 235eqtrd 2315 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )
237227, 236breq12d 4036 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  <_  (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) ) )  <-> 
( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
238220, 222, 2373bitr4d 276 1  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) )  <-> 
( 2 ^ ( N  +  1 ) )  <_  ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358  caddwcad 1369    = wceq 1623    e. wcel 1684    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ifcif 3565   ~Pcpw 3625   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688    |` cres 4691   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   1oc1o 6472   2oc2o 6473   Fincfn 6863   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024  ..^cfzo 10870    seq cseq 11046   ^cexp 11104  bitscbits 12610
This theorem is referenced by:  sadcadd  12649
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-xor 1296  df-tru 1310  df-cad 1371  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-dvds 12532  df-bits 12613
  Copyright terms: Public domain W3C validator