MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadcf Unicode version

Theorem sadcf 12894
Description: The carry sequence is a sequence of elements of  2o encoding a "sequence of wffs". (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadval.a  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
sadval.b  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
sadval.c  |-  C  =  seq  0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
sadcf  |-  ( ph  ->  C : NN0 --> 2o )
Distinct variable groups:    m, c, n    A, c, m    B, c, m
Allowed substitution hints:    ph( m, n, c)    A( n)    B( n)    C( m, n, c)

Proof of Theorem sadcf
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 10170 . . . . . 6  |-  0  e.  NN0
2 iftrue 3690 . . . . . . 7  |-  ( n  =  0  ->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) )  =  (/) )
3 eqid 2389 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) )
4 0ex 4282 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
52, 3, 4fvmpt 5747 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) `
 0 )  =  (/) )
61, 5ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) `
 0 )  =  (/)
74prid1 3857 . . . . . 6  |-  (/)  e.  { (/)
,  1o }
8 df2o3 6675 . . . . . 6  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
97, 8eleqtrri 2462 . . . . 5  |-  (/)  e.  2o
106, 9eqeltri 2459 . . . 4  |-  ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) `
 0 )  e.  2o
1110a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ` 
0 )  e.  2o )
12 df-ov 6025 . . . . 5  |-  ( x ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) y )  =  ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) `
 <. x ,  y
>. )
13 1on 6669 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  e.  On
1413elexi 2910 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  _V
1514prid2 3858 . . . . . . . . . 10  |-  1o  e.  {
(/) ,  1o }
1615, 8eleqtrri 2462 . . . . . . . . 9  |-  1o  e.  2o
1716, 9keepel 3741 . . . . . . . 8  |-  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) )  e.  2o
1817rgen2w 2719 . . . . . . 7  |-  A. c  e.  2o  A. m  e. 
NN0  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) )  e.  2o
19 eqid 2389 . . . . . . . 8  |-  ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) )  =  ( c  e.  2o ,  m  e. 
NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) )
2019fmpt2 6359 . . . . . . 7  |-  ( A. c  e.  2o  A. m  e.  NN0  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) )  e.  2o  <->  ( c  e.  2o ,  m  e. 
NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) : ( 2o  X.  NN0 ) --> 2o )
2118, 20mpbi 200 . . . . . 6  |-  ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) : ( 2o  X.  NN0 ) --> 2o
2221, 9f0cli 5821 . . . . 5  |-  ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) `  <. x ,  y >. )  e.  2o
2312, 22eqeltri 2459 . . . 4  |-  ( x ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) y )  e.  2o
2423a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  2o  /\  y  e. 
_V ) )  -> 
( x ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) y )  e.  2o )
25 nn0uz 10454 . . 3  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
26 0z 10227 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
2726a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
28 fvex 5684 . . . 4  |-  ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) `
 x )  e. 
_V
2928a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) `
 x )  e. 
_V )
3011, 24, 25, 27, 29seqf2 11271 . 2  |-  ( ph  ->  seq  0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) ) : NN0 --> 2o )
31 sadval.c . . 3  |-  C  =  seq  0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) )
3231feq1i 5527 . 2  |-  ( C : NN0 --> 2o  <->  seq  0
( ( c  e.  2o ,  m  e. 
NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) : NN0 --> 2o )
3330, 32sylibr 204 1  |-  ( ph  ->  C : NN0 --> 2o )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359  caddwcad 1385    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2651   _Vcvv 2901    C_ wss 3265   (/)c0 3573   ifcif 3684   {cpr 3760   <.cop 3762    e. cmpt 4209   Oncon0 4524    X. cxp 4818   -->wf 5392   ` cfv 5396  (class class class)co 6022    e. cmpt2 6024   1oc1o 6655   2oc2o 6656   0cc0 8925   1c1 8926    + caddc 8928    - cmin 9225   NN0cn0 10155   ZZcz 10216   ZZ>=cuz 10422    seq cseq 11252
This theorem is referenced by:  sadcp1  12896
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-2o 6663  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-fz 10978  df-seq 11253
  Copyright terms: Public domain W3C validator