MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadcl Unicode version

Theorem sadcl 12901
Description: The sum of two sequences is a sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
sadcl  |-  ( ( A  C_  NN0  /\  B  C_ 
NN0 )  ->  ( A sadd  B )  C_  NN0 )

Proof of Theorem sadcl
Dummy variables  k 
c  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . 3  |-  ( ( A  C_  NN0  /\  B  C_ 
NN0 )  ->  A  C_ 
NN0 )
2 simpr 448 . . 3  |-  ( ( A  C_  NN0  /\  B  C_ 
NN0 )  ->  B  C_ 
NN0 )
3 eqid 2387 . . 3  |-  seq  0
( ( c  e.  2o ,  m  e. 
NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )  =  seq  0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) )
41, 2, 3sadfval 12891 . 2  |-  ( ( A  C_  NN0  /\  B  C_ 
NN0 )  ->  ( A sadd  B )  =  {
k  e.  NN0  | hadd ( k  e.  A ,  k  e.  B ,  (/)  e.  (  seq  0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 k ) ) } )
5 ssrab2 3371 . 2  |-  { k  e.  NN0  | hadd (
k  e.  A , 
k  e.  B ,  (/) 
e.  (  seq  0
( ( c  e.  2o ,  m  e. 
NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 k ) ) }  C_  NN0
64, 5syl6eqss 3341 1  |-  ( ( A  C_  NN0  /\  B  C_ 
NN0 )  ->  ( A sadd  B )  C_  NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359  haddwhad 1384  caddwcad 1385    = wceq 1649    e. wcel 1717   {crab 2653    C_ wss 3263   (/)c0 3571   ifcif 3682    e. cmpt 4207   ` cfv 5394  (class class class)co 6020    e. cmpt2 6022   1oc1o 6653   2oc2o 6654   0cc0 8923   1c1 8924    - cmin 9223   NN0cn0 10153    seq cseq 11250   sadd csad 12859
This theorem is referenced by:  saddisj  12904  sadaddlem  12905  sadadd  12906  sadasslem  12909  sadass  12910  sadeq  12911  smupf  12917
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-xor 1311  df-tru 1325  df-had 1386  df-cad 1387  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-nn 9933  df-n0 10154  df-seq 11251  df-sad 12890
  Copyright terms: Public domain W3C validator