MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadcom Structured version   Unicode version

Theorem sadcom 12975
Description: The adder sequence function is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
sadcom  |-  ( ( A  C_  NN0  /\  B  C_ 
NN0 )  ->  ( A sadd  B )  =  ( B sadd  A ) )

Proof of Theorem sadcom
Dummy variables  k 
c  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hadcoma 1397 . . . 4  |-  (hadd ( k  e.  A , 
k  e.  B ,  (/) 
e.  (  seq  0
( ( c  e.  2o ,  m  e. 
NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 k ) )  <-> hadd ( k  e.  B ,  k  e.  A ,  (/)  e.  (  seq  0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 k ) ) )
21a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  C_  NN0  /\  B  C_ 
NN0 )  ->  (hadd ( k  e.  A ,  k  e.  B ,  (/)  e.  (  seq  0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 k ) )  <-> hadd ( k  e.  B ,  k  e.  A ,  (/)  e.  (  seq  0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 k ) ) ) )
32rabbidv 2948 . 2  |-  ( ( A  C_  NN0  /\  B  C_ 
NN0 )  ->  { k  e.  NN0  | hadd (
k  e.  A , 
k  e.  B ,  (/) 
e.  (  seq  0
( ( c  e.  2o ,  m  e. 
NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 k ) ) }  =  { k  e.  NN0  | hadd (
k  e.  B , 
k  e.  A ,  (/) 
e.  (  seq  0
( ( c  e.  2o ,  m  e. 
NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 k ) ) } )
4 simpl 444 . . 3  |-  ( ( A  C_  NN0  /\  B  C_ 
NN0 )  ->  A  C_ 
NN0 )
5 simpr 448 . . 3  |-  ( ( A  C_  NN0  /\  B  C_ 
NN0 )  ->  B  C_ 
NN0 )
6 eqid 2436 . . 3  |-  seq  0
( ( c  e.  2o ,  m  e. 
NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )  =  seq  0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) )
74, 5, 6sadfval 12964 . 2  |-  ( ( A  C_  NN0  /\  B  C_ 
NN0 )  ->  ( A sadd  B )  =  {
k  e.  NN0  | hadd ( k  e.  A ,  k  e.  B ,  (/)  e.  (  seq  0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 k ) ) } )
8 cadcoma 1404 . . . . . . 7  |-  (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c )  <-> cadd ( m  e.  B ,  m  e.  A ,  (/)  e.  c ) )
98a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( c  e.  2o  /\  m  e.  NN0 )  -> 
(cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c )  <-> cadd ( m  e.  B ,  m  e.  A ,  (/)  e.  c ) ) )
109ifbid 3757 . . . . 5  |-  ( ( c  e.  2o  /\  m  e.  NN0 )  ->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) )  =  if (cadd ( m  e.  B ,  m  e.  A ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) )
1110mpt2eq3ia 6139 . . . 4  |-  ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) )  =  ( c  e.  2o ,  m  e. 
NN0  |->  if (cadd ( m  e.  B ,  m  e.  A ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) )
12 seqeq2 11327 . . . 4  |-  ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) )  =  ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  B ,  m  e.  A ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) )  ->  seq  0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )  =  seq  0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  B ,  m  e.  A ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) ) )
1311, 12ax-mp 8 . . 3  |-  seq  0
( ( c  e.  2o ,  m  e. 
NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )  =  seq  0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  B ,  m  e.  A ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) )
145, 4, 13sadfval 12964 . 2  |-  ( ( A  C_  NN0  /\  B  C_ 
NN0 )  ->  ( B sadd  A )  =  {
k  e.  NN0  | hadd ( k  e.  B ,  k  e.  A ,  (/)  e.  (  seq  0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 k ) ) } )
153, 7, 143eqtr4d 2478 1  |-  ( ( A  C_  NN0  /\  B  C_ 
NN0 )  ->  ( A sadd  B )  =  ( B sadd  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359  haddwhad 1387  caddwcad 1388    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2709    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ifcif 3739    e. cmpt 4266   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    e. cmpt2 6083   1oc1o 6717   2oc2o 6718   0cc0 8990   1c1 8991    - cmin 9291   NN0cn0 10221    seq cseq 11323   sadd csad 12932
This theorem is referenced by:  sadid2  12981
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-xor 1314  df-tru 1328  df-had 1389  df-cad 1390  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-nn 10001  df-n0 10222  df-seq 11324  df-sad 12963
  Copyright terms: Public domain W3C validator