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Theorem sb9i 2172
Description: Commutation of quantification and substitution variables. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)
Assertion
Ref Expression
sb9i  |-  ( A. x [ x  /  y ] ph  ->  A. y [ y  /  x ] ph )

Proof of Theorem sb9i
StepHypRef Expression
1 drsb1 2114 . . . . 5  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( [ y  / 
y ] ph  <->  [ y  /  x ] ph )
)
2 drsb2 2115 . . . . 5  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( [ y  / 
y ] ph  <->  [ x  /  y ] ph ) )
31, 2bitr3d 248 . . . 4  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( [ y  /  x ] ph  <->  [ x  /  y ] ph ) )
43dral1 2058 . . 3  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( A. y [ y  /  x ] ph 
<-> 
A. x [ x  /  y ] ph ) )
54biimprd 216 . 2  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( A. x [
x  /  y ]
ph  ->  A. y [ y  /  x ] ph ) )
6 nfnae 2045 . . . 4  |-  F/ x  -.  A. y  y  =  x
7 hbsb2 2097 . . . 4  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( [
x  /  y ]
ph  ->  A. y [ x  /  y ] ph ) )
86, 7alimd 1781 . . 3  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( A. x [ x  /  y ] ph  ->  A. x A. y [ x  / 
y ] ph )
)
9 stdpc4 2092 . . . . . 6  |-  ( A. x [ x  /  y ] ph  ->  [ y  /  x ] [ x  /  y ] ph )
10 sbco 2160 . . . . . 6  |-  ( [ y  /  x ] [ x  /  y ] ph  <->  [ y  /  x ] ph )
119, 10sylib 190 . . . . 5  |-  ( A. x [ x  /  y ] ph  ->  [ y  /  x ] ph )
1211alimi 1569 . . . 4  |-  ( A. y A. x [ x  /  y ] ph  ->  A. y [ y  /  x ] ph )
1312a7s 1751 . . 3  |-  ( A. x A. y [ x  /  y ] ph  ->  A. y [ y  /  x ] ph )
148, 13syl6 32 . 2  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( A. x [ x  /  y ] ph  ->  A. y [ y  /  x ] ph ) )
155, 14pm2.61i 159 1  |-  ( A. x [ x  /  y ] ph  ->  A. y [ y  /  x ] ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4   A.wal 1550   [wsb 1659
This theorem is referenced by:  sb9  2173
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660
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