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Theorem sb9i 2034
Description: Commutation of quantification and substitution variables. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)
Assertion
Ref Expression
sb9i  |-  ( A. x [ x  /  y ] ph  ->  A. y [ y  /  x ] ph )

Proof of Theorem sb9i
StepHypRef Expression
1 drsb1 1962 . . . . 5  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( [ y  / 
y ] ph  <->  [ y  /  x ] ph )
)
2 drsb2 2001 . . . . 5  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( [ y  / 
y ] ph  <->  [ x  /  y ] ph ) )
31, 2bitr3d 246 . . . 4  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( [ y  /  x ] ph  <->  [ x  /  y ] ph ) )
43dral1 1905 . . 3  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( A. y [ y  /  x ] ph 
<-> 
A. x [ x  /  y ] ph ) )
54biimprd 214 . 2  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( A. x [
x  /  y ]
ph  ->  A. y [ y  /  x ] ph ) )
6 nfnae 1896 . . . 4  |-  F/ x  -.  A. y  y  =  x
7 hbsb2 1997 . . . 4  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( [
x  /  y ]
ph  ->  A. y [ x  /  y ] ph ) )
86, 7alimd 1744 . . 3  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( A. x [ x  /  y ] ph  ->  A. x A. y [ x  / 
y ] ph )
)
9 stdpc4 1964 . . . . . 6  |-  ( A. x [ x  /  y ] ph  ->  [ y  /  x ] [ x  /  y ] ph )
10 sbco 2023 . . . . . 6  |-  ( [ y  /  x ] [ x  /  y ] ph  <->  [ y  /  x ] ph )
119, 10sylib 188 . . . . 5  |-  ( A. x [ x  /  y ] ph  ->  [ y  /  x ] ph )
1211alimi 1546 . . . 4  |-  ( A. y A. x [ x  /  y ] ph  ->  A. y [ y  /  x ] ph )
1312a7s 1709 . . 3  |-  ( A. x A. y [ x  /  y ] ph  ->  A. y [ y  /  x ] ph )
148, 13syl6 29 . 2  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( A. x [ x  /  y ] ph  ->  A. y [ y  /  x ] ph ) )
155, 14pm2.61i 156 1  |-  ( A. x [ x  /  y ] ph  ->  A. y [ y  /  x ] ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4   A.wal 1527   [wsb 1629
This theorem is referenced by:  sb9  2035
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630
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