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Theorem sb9i 2143
Description: Commutation of quantification and substitution variables. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)
Assertion
Ref Expression
sb9i  |-  ( A. x [ x  /  y ] ph  ->  A. y [ y  /  x ] ph )

Proof of Theorem sb9i
StepHypRef Expression
1 drsb1 2071 . . . . 5  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( [ y  / 
y ] ph  <->  [ y  /  x ] ph )
)
2 drsb2 2110 . . . . 5  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( [ y  / 
y ] ph  <->  [ x  /  y ] ph ) )
31, 2bitr3d 247 . . . 4  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( [ y  /  x ] ph  <->  [ x  /  y ] ph ) )
43dral1 2022 . . 3  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( A. y [ y  /  x ] ph 
<-> 
A. x [ x  /  y ] ph ) )
54biimprd 215 . 2  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( A. x [
x  /  y ]
ph  ->  A. y [ y  /  x ] ph ) )
6 nfnae 2008 . . . 4  |-  F/ x  -.  A. y  y  =  x
7 hbsb2 2106 . . . 4  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( [
x  /  y ]
ph  ->  A. y [ x  /  y ] ph ) )
86, 7alimd 1776 . . 3  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( A. x [ x  /  y ] ph  ->  A. x A. y [ x  / 
y ] ph )
)
9 stdpc4 2073 . . . . . 6  |-  ( A. x [ x  /  y ] ph  ->  [ y  /  x ] [ x  /  y ] ph )
10 sbco 2132 . . . . . 6  |-  ( [ y  /  x ] [ x  /  y ] ph  <->  [ y  /  x ] ph )
119, 10sylib 189 . . . . 5  |-  ( A. x [ x  /  y ] ph  ->  [ y  /  x ] ph )
1211alimi 1565 . . . 4  |-  ( A. y A. x [ x  /  y ] ph  ->  A. y [ y  /  x ] ph )
1312a7s 1746 . . 3  |-  ( A. x A. y [ x  /  y ] ph  ->  A. y [ y  /  x ] ph )
148, 13syl6 31 . 2  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( A. x [ x  /  y ] ph  ->  A. y [ y  /  x ] ph ) )
155, 14pm2.61i 158 1  |-  ( A. x [ x  /  y ] ph  ->  A. y [ y  /  x ] ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4   A.wal 1546   [wsb 1655
This theorem is referenced by:  sb9  2144
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-an 361  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656
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