MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sbal1 Structured version   Unicode version

Theorem sbal1 2205
Description: A theorem used in elimination of disjoint variable restriction on  x and  y by replacing it with a distinctor  -.  A. x x  =  z. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)
Assertion
Ref Expression
sbal1  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  ( [
z  /  y ] A. x ph  <->  A. x [ z  /  y ] ph ) )
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)

Proof of Theorem sbal1
StepHypRef Expression
1 sbequ12 1945 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  ( A. x ph  <->  [ z  /  y ] A. x ph ) )
21sps 1771 . . . 4  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( A. x ph  <->  [ z  /  y ] A. x ph )
)
3 sbequ12 1945 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  ( ph 
<->  [ z  /  y ] ph ) )
43sps 1771 . . . . 5  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( ph  <->  [ z  /  y ] ph ) )
54dral2 2056 . . . 4  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( A. x ph  <->  A. x [ z  / 
y ] ph )
)
62, 5bitr3d 248 . . 3  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( [ z  / 
y ] A. x ph 
<-> 
A. x [ z  /  y ] ph ) )
76a1d 24 . 2  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( -.  A. x  x  =  z  ->  ( [ z  /  y ] A. x ph  <->  A. x [ z  /  y ] ph ) ) )
8 nfa1 1807 . . . . . . . 8  |-  F/ x A. x ph
98nfsb4 2131 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  F/ x [ z  /  y ] A. x ph )
109nfrd 1780 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  ( [
z  /  y ] A. x ph  ->  A. x [ z  / 
y ] A. x ph ) )
11 sp 1764 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ph  ->  ph )
1211sbimi 1665 . . . . . . 7  |-  ( [ z  /  y ] A. x ph  ->  [ z  /  y ]
ph )
1312alimi 1569 . . . . . 6  |-  ( A. x [ z  /  y ] A. x ph  ->  A. x [ z  / 
y ] ph )
1410, 13syl6 32 . . . . 5  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  ( [
z  /  y ] A. x ph  ->  A. x [ z  / 
y ] ph )
)
1514adantl 454 . . . 4  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( [
z  /  y ] A. x ph  ->  A. x [ z  / 
y ] ph )
)
16 sb4 2095 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( [
z  /  y ]
ph  ->  A. y ( y  =  z  ->  ph )
) )
1716al2imi 1571 . . . . . . 7  |-  ( A. x  -.  A. y  y  =  z  ->  ( A. x [ z  / 
y ] ph  ->  A. x A. y ( y  =  z  ->  ph ) ) )
1817hbnaes 2046 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( A. x [ z  /  y ] ph  ->  A. x A. y ( y  =  z  ->  ph ) ) )
19 ax-7 1750 . . . . . 6  |-  ( A. x A. y ( y  =  z  ->  ph )  ->  A. y A. x
( y  =  z  ->  ph ) )
2018, 19syl6 32 . . . . 5  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( A. x [ z  /  y ] ph  ->  A. y A. x ( y  =  z  ->  ph ) ) )
21 dveeq2 2078 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  ( y  =  z  ->  A. x  y  =  z )
)
22 alim 1568 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x ( y  =  z  ->  ph )  -> 
( A. x  y  =  z  ->  A. x ph ) )
2321, 22syl9 69 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  ( A. x ( y  =  z  ->  ph )  -> 
( y  =  z  ->  A. x ph )
) )
2423al2imi 1571 . . . . . . 7  |-  ( A. y  -.  A. x  x  =  z  ->  ( A. y A. x ( y  =  z  ->  ph )  ->  A. y
( y  =  z  ->  A. x ph )
) )
25 sb2 2091 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( y  =  z  ->  A. x ph )  ->  [ z  /  y ] A. x ph )
2624, 25syl6 32 . . . . . 6  |-  ( A. y  -.  A. x  x  =  z  ->  ( A. y A. x ( y  =  z  ->  ph )  ->  [ z  /  y ] A. x ph ) )
2726hbnaes 2046 . . . . 5  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  ( A. y A. x ( y  =  z  ->  ph )  ->  [ z  /  y ] A. x ph )
)
2820, 27sylan9 640 . . . 4  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( A. x [ z  /  y ] ph  ->  [ z  /  y ] A. x ph ) )
2915, 28impbid 185 . . 3  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( [
z  /  y ] A. x ph  <->  A. x [ z  /  y ] ph ) )
3029ex 425 . 2  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( -.  A. x  x  =  z  ->  ( [ z  /  y ] A. x ph  <->  A. x [ z  /  y ] ph ) ) )
317, 30pm2.61i 159 1  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  ( [
z  /  y ] A. x ph  <->  A. x [ z  /  y ] ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1550   [wsb 1659
This theorem is referenced by:  sbal  2206
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-an 362  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660
  Copyright terms: Public domain W3C validator