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Theorem sbal2 2086
Description: Move quantifier in and out of substitution. (Contributed by NM, 2-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
sbal2  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( [
z  /  y ] A. x ph  <->  A. x [ z  /  y ] ph ) )
Distinct variable groups:    y, z    x, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)

Proof of Theorem sbal2
StepHypRef Expression
1 alcom 1723 . . 3  |-  ( A. y A. x ( y  =  z  ->  ph )  <->  A. x A. y ( y  =  z  ->  ph ) )
2 nfnae 1909 . . . 4  |-  F/ y  -.  A. x  x  =  y
3 nfnae 1909 . . . . . 6  |-  F/ x  -.  A. x  x  =  y
4 dveeq1 1971 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( y  =  z  ->  A. x  y  =  z )
)
53, 4nfd 1758 . . . . 5  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/ x  y  =  z )
6 19.21t 1802 . . . . 5  |-  ( F/ x  y  =  z  ->  ( A. x
( y  =  z  ->  ph )  <->  ( y  =  z  ->  A. x ph ) ) )
75, 6syl 15 . . . 4  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( A. x ( y  =  z  ->  ph )  <->  ( y  =  z  ->  A. x ph ) ) )
82, 7albid 1764 . . 3  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( A. y A. x ( y  =  z  ->  ph )  <->  A. y ( y  =  z  ->  A. x ph ) ) )
91, 8syl5rbbr 251 . 2  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( A. y ( y  =  z  ->  A. x ph )  <->  A. x A. y
( y  =  z  ->  ph ) ) )
10 sb6 2051 . 2  |-  ( [ z  /  y ] A. x ph  <->  A. y
( y  =  z  ->  A. x ph )
)
11 sb6 2051 . . 3  |-  ( [ z  /  y ]
ph 
<-> 
A. y ( y  =  z  ->  ph )
)
1211albii 1556 . 2  |-  ( A. x [ z  /  y ] ph  <->  A. x A. y
( y  =  z  ->  ph ) )
139, 10, 123bitr4g 279 1  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( [
z  /  y ] A. x ph  <->  A. x [ z  /  y ] ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176   A.wal 1530   F/wnf 1534   [wsb 1638
This theorem is referenced by:  2sb5ndVD  29002  2sb5ndALT  29025
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639
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