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Theorem sbcom 2042
Description: A commutativity law for substitution. (Contributed by NM, 27-May-1997.)
Assertion
Ref Expression
sbcom  |-  ( [ y  /  z ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph )

Proof of Theorem sbcom
StepHypRef Expression
1 drsb1 1975 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( [ y  /  x ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  z ] [
y  /  x ] ph ) )
2 nfae 1907 . . . . . . 7  |-  F/ x A. x  x  =  z
3 drsb1 1975 . . . . . . 7  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  z ] ph ) )
42, 3sbbid 2031 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( [ y  /  x ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
51, 4bitr3d 246 . . . . 5  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( [ y  / 
z ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
65adantr 451 . . . 4  |-  ( ( A. x  x  =  z  /\  ( -. 
A. x  x  =  y  /\  -.  A. z  z  =  y
) )  ->  ( [ y  /  z ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
7 nfnae 1909 . . . . . . . . 9  |-  F/ z  -.  A. x  x  =  z
8 nfnae 1909 . . . . . . . . 9  |-  F/ z  -.  A. x  x  =  y
97, 8nfan 1783 . . . . . . . 8  |-  F/ z ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )
10 nfeqf 1911 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  F/ x  z  =  y )
11 19.21t 1802 . . . . . . . . 9  |-  ( F/ x  z  =  y  ->  ( A. x
( z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ph ) )  <-> 
( z  =  y  ->  A. x ( x  =  y  ->  ph )
) ) )
1210, 11syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  ( A. x ( z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ph )
)  <->  ( z  =  y  ->  A. x
( x  =  y  ->  ph ) ) ) )
139, 12albid 1764 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  ( A. z A. x ( z  =  y  ->  (
x  =  y  ->  ph ) )  <->  A. z
( z  =  y  ->  A. x ( x  =  y  ->  ph )
) ) )
1413adantrr 697 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. z  z  =  y
) )  ->  ( A. z A. x ( z  =  y  -> 
( x  =  y  ->  ph ) )  <->  A. z
( z  =  y  ->  A. x ( x  =  y  ->  ph )
) ) )
15 alcom 1723 . . . . . . . 8  |-  ( A. z A. x ( z  =  y  ->  (
x  =  y  ->  ph ) )  <->  A. x A. z ( z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ph )
) )
16 nfnae 1909 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x  -.  A. x  x  =  z
17 nfnae 1909 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x  -.  A. z  z  =  y
1816, 17nfan 1783 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. z  z  =  y )
19 bi2.04 350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  =  y  -> 
( x  =  y  ->  ph ) )  <->  ( x  =  y  ->  ( z  =  y  ->  ph )
) )
2019albii 1556 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z ( z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ph )
)  <->  A. z ( x  =  y  ->  (
z  =  y  ->  ph ) ) )
21 aecom 1899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z  z  =  x  ->  A. x  x  =  z )
2221con3i 127 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  -.  A. z 
z  =  x )
23 nfeqf 1911 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  F/ z  x  =  y )
2422, 23sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  F/ z  x  =  y )
25 19.21t 1802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F/ z  x  =  y  ->  ( A. z
( x  =  y  ->  ( z  =  y  ->  ph ) )  <-> 
( x  =  y  ->  A. z ( z  =  y  ->  ph )
) ) )
2624, 25syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( A. z ( x  =  y  ->  ( z  =  y  ->  ph )
)  <->  ( x  =  y  ->  A. z
( z  =  y  ->  ph ) ) ) )
2720, 26syl5bb 248 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( A. z ( z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ph )
)  <->  ( x  =  y  ->  A. z
( z  =  y  ->  ph ) ) ) )
2818, 27albid 1764 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( A. x A. z ( z  =  y  ->  (
x  =  y  ->  ph ) )  <->  A. x
( x  =  y  ->  A. z ( z  =  y  ->  ph )
) ) )
2915, 28syl5bb 248 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( A. z A. x ( z  =  y  ->  (
x  =  y  ->  ph ) )  <->  A. x
( x  =  y  ->  A. z ( z  =  y  ->  ph )
) ) )
3029adantrl 696 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. z  z  =  y
) )  ->  ( A. z A. x ( z  =  y  -> 
( x  =  y  ->  ph ) )  <->  A. x
( x  =  y  ->  A. z ( z  =  y  ->  ph )
) ) )
3114, 30bitr3d 246 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. z  z  =  y
) )  ->  ( A. z ( z  =  y  ->  A. x
( x  =  y  ->  ph ) )  <->  A. x
( x  =  y  ->  A. z ( z  =  y  ->  ph )
) ) )
32 sb4b 2007 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. z  z  =  y  ->  ( [
y  /  z ] [ y  /  x ] ph  <->  A. z ( z  =  y  ->  [ y  /  x ] ph ) ) )
33 sb4b 2007 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( [
y  /  x ] ph 
<-> 
A. x ( x  =  y  ->  ph )
) )
3433imbi2d 307 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( (
z  =  y  ->  [ y  /  x ] ph )  <->  ( z  =  y  ->  A. x
( x  =  y  ->  ph ) ) ) )
358, 34albid 1764 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( A. z ( z  =  y  ->  [ y  /  x ] ph )  <->  A. z ( z  =  y  ->  A. x
( x  =  y  ->  ph ) ) ) )
3632, 35sylan9bbr 681 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( [
y  /  z ] [ y  /  x ] ph  <->  A. z ( z  =  y  ->  A. x
( x  =  y  ->  ph ) ) ) )
3736adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. z  z  =  y
) )  ->  ( [ y  /  z ] [ y  /  x ] ph  <->  A. z ( z  =  y  ->  A. x
( x  =  y  ->  ph ) ) ) )
38 sb4b 2007 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( [
y  /  x ] [ y  /  z ] ph  <->  A. x ( x  =  y  ->  [ y  /  z ] ph ) ) )
39 sb4b 2007 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. z  z  =  y  ->  ( [
y  /  z ]
ph 
<-> 
A. z ( z  =  y  ->  ph )
) )
4039imbi2d 307 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. z  z  =  y  ->  ( (
x  =  y  ->  [ y  /  z ] ph )  <->  ( x  =  y  ->  A. z
( z  =  y  ->  ph ) ) ) )
4117, 40albid 1764 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. z  z  =  y  ->  ( A. x ( x  =  y  ->  [ y  /  z ] ph ) 
<-> 
A. x ( x  =  y  ->  A. z
( z  =  y  ->  ph ) ) ) )
4238, 41sylan9bb 680 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( [
y  /  x ] [ y  /  z ] ph  <->  A. x ( x  =  y  ->  A. z
( z  =  y  ->  ph ) ) ) )
4342adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. z  z  =  y
) )  ->  ( [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph  <->  A. x ( x  =  y  ->  A. z
( z  =  y  ->  ph ) ) ) )
4431, 37, 433bitr4d 276 . . . 4  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. z  z  =  y
) )  ->  ( [ y  /  z ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
456, 44pm2.61ian 765 . . 3  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( [
y  /  z ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
4645ex 423 . 2  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( -.  A. z  z  =  y  ->  ( [ y  /  z ] [
y  /  x ] ph 
<->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) ) )
47 nfae 1907 . . . 4  |-  F/ z A. x  x  =  y
48 sbequ12 1872 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  [ y  /  x ] ph ) )
4948sps 1751 . . . 4  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( ph  <->  [ y  /  x ] ph )
)
5047, 49sbbid 2031 . . 3  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( [ y  / 
z ] ph  <->  [ y  /  z ] [
y  /  x ] ph ) )
51 sbequ12 1872 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( [ y  /  z ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
5251sps 1751 . . 3  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( [ y  / 
z ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
5350, 52bitr3d 246 . 2  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( [ y  / 
z ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
54 sbequ12 1872 . . . 4  |-  ( z  =  y  ->  ( [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  z ] [ y  /  x ] ph ) )
5554sps 1751 . . 3  |-  ( A. z  z  =  y  ->  ( [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  z ] [
y  /  x ] ph ) )
56 nfae 1907 . . . 4  |-  F/ x A. z  z  =  y
57 sbequ12 1872 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  ( ph 
<->  [ y  /  z ] ph ) )
5857sps 1751 . . . 4  |-  ( A. z  z  =  y  ->  ( ph  <->  [ y  /  z ] ph ) )
5956, 58sbbid 2031 . . 3  |-  ( A. z  z  =  y  ->  ( [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
6055, 59bitr3d 246 . 2  |-  ( A. z  z  =  y  ->  ( [ y  / 
z ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
6146, 53, 60pm2.61ii 157 1  |-  ( [ y  /  z ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1530   F/wnf 1534   [wsb 1638
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639
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