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Theorem sbcom 2166
Description: A commutativity law for substitution. (Contributed by NM, 27-May-1997.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 24-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
sbcom  |-  ( [ y  /  z ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph )

Proof of Theorem sbcom
StepHypRef Expression
1 drsb1 2114 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( [ y  /  x ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  z ] [
y  /  x ] ph ) )
2 nfae 2043 . . . . . . 7  |-  F/ x A. x  x  =  z
3 drsb1 2114 . . . . . . 7  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  z ] ph ) )
42, 3sbbid 2145 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( [ y  /  x ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
51, 4bitr3d 248 . . . . 5  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( [ y  / 
z ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
65adantr 453 . . . 4  |-  ( ( A. x  x  =  z  /\  ( -. 
A. x  x  =  y  /\  -.  A. z  z  =  y
) )  ->  ( [ y  /  z ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
7 alcom 1753 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x A. z ( x  =  y  ->  (
z  =  y  ->  ph ) )  <->  A. z A. x ( x  =  y  ->  ( z  =  y  ->  ph )
) )
8 bi2.04 352 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  y  -> 
( z  =  y  ->  ph ) )  <->  ( z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ph )
) )
982albii 1577 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z A. x ( x  =  y  ->  (
z  =  y  ->  ph ) )  <->  A. z A. x ( z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ph )
) )
107, 9bitri 242 . . . . . . . 8  |-  ( A. x A. z ( x  =  y  ->  (
z  =  y  ->  ph ) )  <->  A. z A. x ( z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ph )
) )
11 nfnae 2045 . . . . . . . . . 10  |-  F/ z  -.  A. x  x  =  z
12 nfnae 2045 . . . . . . . . . 10  |-  F/ z  -.  A. x  x  =  y
1311, 12nfan 1847 . . . . . . . . 9  |-  F/ z ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )
14 nfeqf 2010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  F/ x  z  =  y )
15 19.21t 1814 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F/ x  z  =  y  ->  ( A. x
( z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ph ) )  <-> 
( z  =  y  ->  A. x ( x  =  y  ->  ph )
) ) )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  ( A. x ( z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ph )
)  <->  ( z  =  y  ->  A. x
( x  =  y  ->  ph ) ) ) )
17 sb4b 2096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( [
y  /  x ] ph 
<-> 
A. x ( x  =  y  ->  ph )
) )
1817adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  ( [
y  /  x ] ph 
<-> 
A. x ( x  =  y  ->  ph )
) )
1918imbi2d 309 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  ( (
z  =  y  ->  [ y  /  x ] ph )  <->  ( z  =  y  ->  A. x
( x  =  y  ->  ph ) ) ) )
2016, 19bitr4d 249 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  ( A. x ( z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ph )
)  <->  ( z  =  y  ->  [ y  /  x ] ph )
) )
2113, 20albid 1789 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  ( A. z A. x ( z  =  y  ->  (
x  =  y  ->  ph ) )  <->  A. z
( z  =  y  ->  [ y  /  x ] ph ) ) )
2210, 21syl5bb 250 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  ( A. x A. z ( x  =  y  ->  (
z  =  y  ->  ph ) )  <->  A. z
( z  =  y  ->  [ y  /  x ] ph ) ) )
2322adantrr 699 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. z  z  =  y
) )  ->  ( A. x A. z ( x  =  y  -> 
( z  =  y  ->  ph ) )  <->  A. z
( z  =  y  ->  [ y  /  x ] ph ) ) )
24 nfnae 2045 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  -.  A. x  x  =  z
25 nfnae 2045 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  -.  A. z  z  =  y
2624, 25nfan 1847 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. z  z  =  y )
27 ax10 2026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z  z  =  x  ->  A. x  x  =  z )
2827con3i 130 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  -.  A. z 
z  =  x )
29 nfeqf 2010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  F/ z  x  =  y )
3028, 29sylan 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  F/ z  x  =  y )
31 19.21t 1814 . . . . . . . . . 10  |-  ( F/ z  x  =  y  ->  ( A. z
( x  =  y  ->  ( z  =  y  ->  ph ) )  <-> 
( x  =  y  ->  A. z ( z  =  y  ->  ph )
) ) )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( A. z ( x  =  y  ->  ( z  =  y  ->  ph )
)  <->  ( x  =  y  ->  A. z
( z  =  y  ->  ph ) ) ) )
33 sb4b 2096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. z  z  =  y  ->  ( [
y  /  z ]
ph 
<-> 
A. z ( z  =  y  ->  ph )
) )
3433imbi2d 309 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
A. z  z  =  y  ->  ( (
x  =  y  ->  [ y  /  z ] ph )  <->  ( x  =  y  ->  A. z
( z  =  y  ->  ph ) ) ) )
3534adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( (
x  =  y  ->  [ y  /  z ] ph )  <->  ( x  =  y  ->  A. z
( z  =  y  ->  ph ) ) ) )
3632, 35bitr4d 249 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( A. z ( x  =  y  ->  ( z  =  y  ->  ph )
)  <->  ( x  =  y  ->  [ y  /  z ] ph ) ) )
3726, 36albid 1789 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( A. x A. z ( x  =  y  ->  (
z  =  y  ->  ph ) )  <->  A. x
( x  =  y  ->  [ y  / 
z ] ph )
) )
3837adantrl 698 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. z  z  =  y
) )  ->  ( A. x A. z ( x  =  y  -> 
( z  =  y  ->  ph ) )  <->  A. x
( x  =  y  ->  [ y  / 
z ] ph )
) )
3923, 38bitr3d 248 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. z  z  =  y
) )  ->  ( A. z ( z  =  y  ->  [ y  /  x ] ph )  <->  A. x ( x  =  y  ->  [ y  /  z ] ph ) ) )
40 sb4b 2096 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. z  z  =  y  ->  ( [
y  /  z ] [ y  /  x ] ph  <->  A. z ( z  =  y  ->  [ y  /  x ] ph ) ) )
4140ad2antll 711 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. z  z  =  y
) )  ->  ( [ y  /  z ] [ y  /  x ] ph  <->  A. z ( z  =  y  ->  [ y  /  x ] ph ) ) )
42 sb4b 2096 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( [
y  /  x ] [ y  /  z ] ph  <->  A. x ( x  =  y  ->  [ y  /  z ] ph ) ) )
4342ad2antrl 710 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. z  z  =  y
) )  ->  ( [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph  <->  A. x ( x  =  y  ->  [ y  /  z ] ph ) ) )
4439, 41, 433bitr4d 278 . . . 4  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. z  z  =  y
) )  ->  ( [ y  /  z ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
456, 44pm2.61ian 767 . . 3  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( [
y  /  z ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
4645ex 425 . 2  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( -.  A. z  z  =  y  ->  ( [ y  /  z ] [
y  /  x ] ph 
<->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) ) )
47 nfae 2043 . . . 4  |-  F/ z A. x  x  =  y
48 sbequ12 1945 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  [ y  /  x ] ph ) )
4948sps 1771 . . . 4  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( ph  <->  [ y  /  x ] ph )
)
5047, 49sbbid 2145 . . 3  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( [ y  / 
z ] ph  <->  [ y  /  z ] [
y  /  x ] ph ) )
51 sbequ12 1945 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( [ y  /  z ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
5251sps 1771 . . 3  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( [ y  / 
z ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
5350, 52bitr3d 248 . 2  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( [ y  / 
z ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
54 sbequ12 1945 . . . 4  |-  ( z  =  y  ->  ( [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  z ] [ y  /  x ] ph ) )
5554sps 1771 . . 3  |-  ( A. z  z  =  y  ->  ( [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  z ] [
y  /  x ] ph ) )
56 nfae 2043 . . . 4  |-  F/ x A. z  z  =  y
57 sbequ12 1945 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  ( ph 
<->  [ y  /  z ] ph ) )
5857sps 1771 . . . 4  |-  ( A. z  z  =  y  ->  ( ph  <->  [ y  /  z ] ph ) )
5956, 58sbbid 2145 . . 3  |-  ( A. z  z  =  y  ->  ( [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
6055, 59bitr3d 248 . 2  |-  ( A. z  z  =  y  ->  ( [ y  / 
z ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
6146, 53, 60pm2.61ii 160 1  |-  ( [ y  /  z ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1550   F/wnf 1554   [wsb 1659
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660
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