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Theorem sbcomOLD7 29755
Description: A commutativity law for substitution. (Contributed by NM, 27-May-1997.)
Assertion
Ref Expression
sbcomOLD7  |-  ( [ y  /  z ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph )

Proof of Theorem sbcomOLD7
StepHypRef Expression
1 drsb1NEW7 29506 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( [ y  /  x ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  z ] [
y  /  x ] ph ) )
2 nfa1 1806 . . . . . . 7  |-  F/ x A. x  x  =  z
3 drsb1NEW7 29506 . . . . . . 7  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  z ] ph ) )
42, 3sbbidNEW7 29574 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( [ y  /  x ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
51, 4bitr3d 247 . . . . 5  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( [ y  / 
z ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
65adantr 452 . . . 4  |-  ( ( A. x  x  =  z  /\  ( -. 
A. x  x  =  y  /\  -.  A. z  z  =  y
) )  ->  ( [ y  /  z ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
7 nfa1 1806 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z A. z  z  =  x
87nfn 1811 . . . . . . . . . 10  |-  F/ z  -.  A. z  z  =  x
9 aecomNEW7 29474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z  z  =  x  ->  A. x  x  =  z )
10 aecomNEW7 29474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  x  =  z  ->  A. z  z  =  x )
119, 10impbii 181 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z  z  =  x  <->  A. x  x  =  z )
1211notbii 288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. z  z  =  x  <->  -.  A. x  x  =  z )
1312nfbii 1578 . . . . . . . . . 10  |-  ( F/ z  -.  A. z 
z  =  x  <->  F/ z  -.  A. x  x  =  z )
148, 13mpbi 200 . . . . . . . . 9  |-  F/ z  -.  A. x  x  =  z
15 nfnaeOLD7 29711 . . . . . . . . 9  |-  F/ z  -.  A. x  x  =  y
1614, 15nfan 1846 . . . . . . . 8  |-  F/ z ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )
17 nfeqfNEW7 29486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  F/ x  z  =  y )
18 19.21t 1813 . . . . . . . . 9  |-  ( F/ x  z  =  y  ->  ( A. x
( z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ph ) )  <-> 
( z  =  y  ->  A. x ( x  =  y  ->  ph )
) ) )
1917, 18syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  ( A. x ( z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ph )
)  <->  ( z  =  y  ->  A. x
( x  =  y  ->  ph ) ) ) )
2016, 19albid 1788 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  ( A. z A. x ( z  =  y  ->  (
x  =  y  ->  ph ) )  <->  A. z
( z  =  y  ->  A. x ( x  =  y  ->  ph )
) ) )
2120adantrr 698 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. z  z  =  y
) )  ->  ( A. z A. x ( z  =  y  -> 
( x  =  y  ->  ph ) )  <->  A. z
( z  =  y  ->  A. x ( x  =  y  ->  ph )
) ) )
22 alcomOLD7 29681 . . . . . . . 8  |-  ( A. z A. x ( z  =  y  ->  (
x  =  y  ->  ph ) )  <->  A. x A. z ( z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ph )
) )
232nfn 1811 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x  -.  A. x  x  =  z
24 nfnaeOLD7 29711 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x  -.  A. z  z  =  y
2523, 24nfan 1846 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. z  z  =  y )
26 bi2.04 351 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  =  y  -> 
( x  =  y  ->  ph ) )  <->  ( x  =  y  ->  ( z  =  y  ->  ph )
) )
2726albii 1575 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z ( z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ph )
)  <->  A. z ( x  =  y  ->  (
z  =  y  ->  ph ) ) )
289con3i 129 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  -.  A. z 
z  =  x )
29 nfeqfNEW7 29486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  F/ z  x  =  y )
3028, 29sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  F/ z  x  =  y )
31 19.21t 1813 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F/ z  x  =  y  ->  ( A. z
( x  =  y  ->  ( z  =  y  ->  ph ) )  <-> 
( x  =  y  ->  A. z ( z  =  y  ->  ph )
) ) )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( A. z ( x  =  y  ->  ( z  =  y  ->  ph )
)  <->  ( x  =  y  ->  A. z
( z  =  y  ->  ph ) ) ) )
3327, 32syl5bb 249 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( A. z ( z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ph )
)  <->  ( x  =  y  ->  A. z
( z  =  y  ->  ph ) ) ) )
3425, 33albid 1788 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( A. x A. z ( z  =  y  ->  (
x  =  y  ->  ph ) )  <->  A. x
( x  =  y  ->  A. z ( z  =  y  ->  ph )
) ) )
3522, 34syl5bb 249 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( A. z A. x ( z  =  y  ->  (
x  =  y  ->  ph ) )  <->  A. x
( x  =  y  ->  A. z ( z  =  y  ->  ph )
) ) )
3635adantrl 697 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. z  z  =  y
) )  ->  ( A. z A. x ( z  =  y  -> 
( x  =  y  ->  ph ) )  <->  A. x
( x  =  y  ->  A. z ( z  =  y  ->  ph )
) ) )
3721, 36bitr3d 247 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. z  z  =  y
) )  ->  ( A. z ( z  =  y  ->  A. x
( x  =  y  ->  ph ) )  <->  A. x
( x  =  y  ->  A. z ( z  =  y  ->  ph )
) ) )
38 sb4bNEW7 29553 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. z  z  =  y  ->  ( [
y  /  z ] [ y  /  x ] ph  <->  A. z ( z  =  y  ->  [ y  /  x ] ph ) ) )
39 sb4bNEW7 29553 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( [
y  /  x ] ph 
<-> 
A. x ( x  =  y  ->  ph )
) )
4039imbi2d 308 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( (
z  =  y  ->  [ y  /  x ] ph )  <->  ( z  =  y  ->  A. x
( x  =  y  ->  ph ) ) ) )
4115, 40albid 1788 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( A. z ( z  =  y  ->  [ y  /  x ] ph )  <->  A. z ( z  =  y  ->  A. x
( x  =  y  ->  ph ) ) ) )
4238, 41sylan9bbr 682 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( [
y  /  z ] [ y  /  x ] ph  <->  A. z ( z  =  y  ->  A. x
( x  =  y  ->  ph ) ) ) )
4342adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. z  z  =  y
) )  ->  ( [ y  /  z ] [ y  /  x ] ph  <->  A. z ( z  =  y  ->  A. x
( x  =  y  ->  ph ) ) ) )
44 sb4bNEW7 29553 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( [
y  /  x ] [ y  /  z ] ph  <->  A. x ( x  =  y  ->  [ y  /  z ] ph ) ) )
45 sb4bNEW7 29553 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. z  z  =  y  ->  ( [
y  /  z ]
ph 
<-> 
A. z ( z  =  y  ->  ph )
) )
4645imbi2d 308 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. z  z  =  y  ->  ( (
x  =  y  ->  [ y  /  z ] ph )  <->  ( x  =  y  ->  A. z
( z  =  y  ->  ph ) ) ) )
4724, 46albid 1788 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. z  z  =  y  ->  ( A. x ( x  =  y  ->  [ y  /  z ] ph ) 
<-> 
A. x ( x  =  y  ->  A. z
( z  =  y  ->  ph ) ) ) )
4844, 47sylan9bb 681 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( [
y  /  x ] [ y  /  z ] ph  <->  A. x ( x  =  y  ->  A. z
( z  =  y  ->  ph ) ) ) )
4948adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. z  z  =  y
) )  ->  ( [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph  <->  A. x ( x  =  y  ->  A. z
( z  =  y  ->  ph ) ) ) )
5037, 43, 493bitr4d 277 . . . 4  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. z  z  =  y
) )  ->  ( [ y  /  z ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
516, 50pm2.61ian 766 . . 3  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( [
y  /  z ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
5251ex 424 . 2  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( -.  A. z  z  =  y  ->  ( [ y  /  z ] [
y  /  x ] ph 
<->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) ) )
53 nfaeOLD7 29709 . . . 4  |-  F/ z A. x  x  =  y
54 sbequ12 1944 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  [ y  /  x ] ph ) )
5554sps 1770 . . . 4  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( ph  <->  [ y  /  x ] ph )
)
5653, 55sbbidNEW7 29574 . . 3  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( [ y  / 
z ] ph  <->  [ y  /  z ] [
y  /  x ] ph ) )
57 sbequ12 1944 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( [ y  /  z ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
5857sps 1770 . . 3  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( [ y  / 
z ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
5956, 58bitr3d 247 . 2  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( [ y  / 
z ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
60 sbequ12 1944 . . . 4  |-  ( z  =  y  ->  ( [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  z ] [ y  /  x ] ph ) )
6160sps 1770 . . 3  |-  ( A. z  z  =  y  ->  ( [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  z ] [
y  /  x ] ph ) )
62 nfaeOLD7 29709 . . . 4  |-  F/ x A. z  z  =  y
63 sbequ12 1944 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  ( ph 
<->  [ y  /  z ] ph ) )
6463sps 1770 . . . 4  |-  ( A. z  z  =  y  ->  ( ph  <->  [ y  /  z ] ph ) )
6562, 64sbbidNEW7 29574 . . 3  |-  ( A. z  z  =  y  ->  ( [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
6661, 65bitr3d 247 . 2  |-  ( A. z  z  =  y  ->  ( [ y  / 
z ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
6752, 59, 66pm2.61ii 159 1  |-  ( [ y  /  z ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1549   F/wnf 1553   [wsb 1658
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-7v 29442  ax-7OLD7 29678
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-an 361  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659
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