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Theorem sbcomwAUX7 29303
Description: Weak version of sbcom 2146 not requiring ax-7 1745. (Contributed by NM, 27-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
sbcomwAUX7  |-  ( [ y  /  z ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph )
Distinct variable group:    x, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)

Proof of Theorem sbcomwAUX7
StepHypRef Expression
1 drsb1NEW7 29224 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( [ y  /  x ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  z ] [
y  /  x ] ph ) )
2 nfa1 1802 . . . . . . 7  |-  F/ x A. x  x  =  z
3 drsb1NEW7 29224 . . . . . . 7  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  z ] ph ) )
42, 3sbbidNEW7 29290 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( [ y  /  x ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
51, 4bitr3d 247 . . . . 5  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( [ y  / 
z ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
65adantr 452 . . . 4  |-  ( ( A. x  x  =  z  /\  ( -. 
A. x  x  =  y  /\  -.  A. z  z  =  y
) )  ->  ( [ y  /  z ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
7 nfnaew3AUX7 29242 . . . . . . . . 9  |-  F/ z  -.  A. x  x  =  z
8 nfnaewAUX7 29200 . . . . . . . . 9  |-  F/ z  -.  A. x  x  =  y
97, 8nfan 1842 . . . . . . . 8  |-  F/ z ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )
10 nfeqfNEW7 29204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  F/ x  z  =  y )
11 19.21t 1809 . . . . . . . . 9  |-  ( F/ x  z  =  y  ->  ( A. x
( z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ph ) )  <-> 
( z  =  y  ->  A. x ( x  =  y  ->  ph )
) ) )
1210, 11syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  ( A. x ( z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ph )
)  <->  ( z  =  y  ->  A. x
( x  =  y  ->  ph ) ) ) )
139, 12albid 1784 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  ( A. z A. x ( z  =  y  ->  (
x  =  y  ->  ph ) )  <->  A. z
( z  =  y  ->  A. x ( x  =  y  ->  ph )
) ) )
1413adantrr 698 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. z  z  =  y
) )  ->  ( A. z A. x ( z  =  y  -> 
( x  =  y  ->  ph ) )  <->  A. z
( z  =  y  ->  A. x ( x  =  y  ->  ph )
) ) )
15 alcomwAUX7 29162 . . . . . . . 8  |-  ( A. z A. x ( z  =  y  ->  (
x  =  y  ->  ph ) )  <->  A. x A. z ( z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ph )
) )
16 nfnaew3AUX7 29242 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x  -.  A. x  x  =  z
17 nfnaewAUX7 29200 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x  -.  A. z  z  =  y
1816, 17nfan 1842 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. z  z  =  y )
19 bi2.04 351 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  =  y  -> 
( x  =  y  ->  ph ) )  <->  ( x  =  y  ->  ( z  =  y  ->  ph )
) )
2019albii 1572 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z ( z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ph )
)  <->  A. z ( x  =  y  ->  (
z  =  y  ->  ph ) ) )
21 aecomNEW7 29192 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z  z  =  x  ->  A. x  x  =  z )
2221con3i 129 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  -.  A. z 
z  =  x )
23 nfeqfNEW7 29204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  F/ z  x  =  y )
2422, 23sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  F/ z  x  =  y )
25 19.21t 1809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F/ z  x  =  y  ->  ( A. z
( x  =  y  ->  ( z  =  y  ->  ph ) )  <-> 
( x  =  y  ->  A. z ( z  =  y  ->  ph )
) ) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( A. z ( x  =  y  ->  ( z  =  y  ->  ph )
)  <->  ( x  =  y  ->  A. z
( z  =  y  ->  ph ) ) ) )
2720, 26syl5bb 249 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( A. z ( z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ph )
)  <->  ( x  =  y  ->  A. z
( z  =  y  ->  ph ) ) ) )
2818, 27albid 1784 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( A. x A. z ( z  =  y  ->  (
x  =  y  ->  ph ) )  <->  A. x
( x  =  y  ->  A. z ( z  =  y  ->  ph )
) ) )
2915, 28syl5bb 249 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( A. z A. x ( z  =  y  ->  (
x  =  y  ->  ph ) )  <->  A. x
( x  =  y  ->  A. z ( z  =  y  ->  ph )
) ) )
3029adantrl 697 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. z  z  =  y
) )  ->  ( A. z A. x ( z  =  y  -> 
( x  =  y  ->  ph ) )  <->  A. x
( x  =  y  ->  A. z ( z  =  y  ->  ph )
) ) )
3114, 30bitr3d 247 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. z  z  =  y
) )  ->  ( A. z ( z  =  y  ->  A. x
( x  =  y  ->  ph ) )  <->  A. x
( x  =  y  ->  A. z ( z  =  y  ->  ph )
) ) )
32 sb4bNEW7 29269 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. z  z  =  y  ->  ( [
y  /  z ] [ y  /  x ] ph  <->  A. z ( z  =  y  ->  [ y  /  x ] ph ) ) )
33 sb4bNEW7 29269 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( [
y  /  x ] ph 
<-> 
A. x ( x  =  y  ->  ph )
) )
3433imbi2d 308 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( (
z  =  y  ->  [ y  /  x ] ph )  <->  ( z  =  y  ->  A. x
( x  =  y  ->  ph ) ) ) )
358, 34albid 1784 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( A. z ( z  =  y  ->  [ y  /  x ] ph )  <->  A. z ( z  =  y  ->  A. x
( x  =  y  ->  ph ) ) ) )
3632, 35sylan9bbr 682 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( [
y  /  z ] [ y  /  x ] ph  <->  A. z ( z  =  y  ->  A. x
( x  =  y  ->  ph ) ) ) )
3736adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. z  z  =  y
) )  ->  ( [ y  /  z ] [ y  /  x ] ph  <->  A. z ( z  =  y  ->  A. x
( x  =  y  ->  ph ) ) ) )
38 sb4bNEW7 29269 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( [
y  /  x ] [ y  /  z ] ph  <->  A. x ( x  =  y  ->  [ y  /  z ] ph ) ) )
39 sb4bNEW7 29269 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. z  z  =  y  ->  ( [
y  /  z ]
ph 
<-> 
A. z ( z  =  y  ->  ph )
) )
4039imbi2d 308 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. z  z  =  y  ->  ( (
x  =  y  ->  [ y  /  z ] ph )  <->  ( x  =  y  ->  A. z
( z  =  y  ->  ph ) ) ) )
4117, 40albid 1784 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. z  z  =  y  ->  ( A. x ( x  =  y  ->  [ y  /  z ] ph ) 
<-> 
A. x ( x  =  y  ->  A. z
( z  =  y  ->  ph ) ) ) )
4238, 41sylan9bb 681 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( [
y  /  x ] [ y  /  z ] ph  <->  A. x ( x  =  y  ->  A. z
( z  =  y  ->  ph ) ) ) )
4342adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. z  z  =  y
) )  ->  ( [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph  <->  A. x ( x  =  y  ->  A. z
( z  =  y  ->  ph ) ) ) )
4431, 37, 433bitr4d 277 . . . 4  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. z  z  =  y
) )  ->  ( [ y  /  z ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
456, 44pm2.61ian 766 . . 3  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( [
y  /  z ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
4645ex 424 . 2  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( -.  A. z  z  =  y  ->  ( [ y  /  z ] [
y  /  x ] ph 
<->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) ) )
47 nfaewAUX7 29198 . . . 4  |-  F/ z A. x  x  =  y
48 sbequ12 1940 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  [ y  /  x ] ph ) )
4948sps 1766 . . . 4  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( ph  <->  [ y  /  x ] ph )
)
5047, 49sbbidNEW7 29290 . . 3  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( [ y  / 
z ] ph  <->  [ y  /  z ] [
y  /  x ] ph ) )
51 sbequ12 1940 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( [ y  /  z ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
5251sps 1766 . . 3  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( [ y  / 
z ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
5350, 52bitr3d 247 . 2  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( [ y  / 
z ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
54 sbequ12 1940 . . . 4  |-  ( z  =  y  ->  ( [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  z ] [ y  /  x ] ph ) )
5554sps 1766 . . 3  |-  ( A. z  z  =  y  ->  ( [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  z ] [
y  /  x ] ph ) )
56 nfaewAUX7 29198 . . . 4  |-  F/ x A. z  z  =  y
57 sbequ12 1940 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  ( ph 
<->  [ y  /  z ] ph ) )
5857sps 1766 . . . 4  |-  ( A. z  z  =  y  ->  ( ph  <->  [ y  /  z ] ph ) )
5956, 58sbbidNEW7 29290 . . 3  |-  ( A. z  z  =  y  ->  ( [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
6055, 59bitr3d 247 . 2  |-  ( A. z  z  =  y  ->  ( [ y  / 
z ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
6146, 53, 60pm2.61ii 159 1  |-  ( [ y  /  z ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1546   F/wnf 1550   [wsb 1655
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-6 1740  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-7v 29160
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-an 361  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656
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