Theorem sbcrexg 1985

Description: Interchange class substitution and restricted existential quantifier.

Assertion

Ref	Expression
sbcrexg	|- (A e. C -> ([A / x]E.y e. B ph <-> E.y e. B [A / x]ph))

Distinct variable groups:   y,A   x,B   x,y

Proof of Theorem sbcrexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elisset 1808	. 2 |- (A e. C -> A e. V)
2		ax-17 968	. . . 4 |- (z e. A -> A.y z e. A)
3	2	ax-gen 960	. . 3 |- A.z(z e. A -> A.y z e. A)
4		ax-17 968	. . . . 5 |- (A e. V -> A.y A e. V)
5	3	hbth 998	. . . . 5 |- (A.z(z e. A -> A.y z e. A) -> A.yA.z(z e. A -> A.y z e. A))
6	4, 5	hban 1006	. . . 4 |- ((A e. V /\ A.z(z e. A -> A.y z e. A)) -> A.y(A e. V /\ A.z(z e. A -> A.y z e. A)))
7		sbcrext 1981	. . . 4 |- (A.y(A e. V /\ A.z(z e. A -> A.y z e. A)) -> ([A / x]E.y e. B ph <-> E.y e. B [A / x]ph))
8	6, 7	syl 10	. . 3 |- ((A e. V /\ A.z(z e. A -> A.y z e. A)) -> ([A / x]E.y e. B ph <-> E.y e. B [A / x]ph))
9	3, 8	mpan2 694	. 2 |- (A e. V -> ([A / x]E.y e. B ph <-> E.y e. B [A / x]ph))
10	1, 9	syl 10	1 |- (A e. C -> ([A / x]E.y e. B ph <-> E.y e. B [A / x]ph))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 951   e. wcel 955  [wsbc 1166  E.wrex 1638  Vcvv 1802

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-sbc 1932

Copyright terms: Public domain