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Theorem sbcrext 3064
Description: Interchange class substitution and restricted existential quantifier. (Contributed by NM, 1-Mar-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Oct-2016.)
Assertion
Ref Expression
sbcrext  |-  ( ( A  e.  V  /\  F/_ y A )  -> 
( [. A  /  x ]. E. y  e.  B  ph  <->  E. y  e.  B  [. A  /  x ]. ph )
)
Distinct variable groups:    x, y    x, B
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( x, y)    B( y)    V( x, y)

Proof of Theorem sbcrext
StepHypRef Expression
1 elex 2796 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  _V )
2 sbcng 3031 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  ( [. A  /  x ].  -.  A. y  e.  B  -.  ph  <->  -.  [. A  /  x ]. A. y  e.  B  -.  ph )
)
32adantr 451 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  F/_ y A )  -> 
( [. A  /  x ].  -.  A. y  e.  B  -.  ph  <->  -.  [. A  /  x ]. A. y  e.  B  -.  ph )
)
4 sbcralt 3063 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  F/_ y A )  -> 
( [. A  /  x ]. A. y  e.  B  -.  ph  <->  A. y  e.  B  [. A  /  x ].  -.  ph ) )
5 nfnfc1 2422 . . . . . . . . 9  |-  F/ y
F/_ y A
6 id 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( F/_ y A  ->  F/_ y A )
7 nfcvd 2420 . . . . . . . . . 10  |-  ( F/_ y A  ->  F/_ y _V )
86, 7nfeld 2434 . . . . . . . . 9  |-  ( F/_ y A  ->  F/ y  A  e.  _V )
95, 8nfan1 1822 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( F/_ y A  /\  A  e.  _V )
10 sbcng 3031 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  _V  ->  ( [. A  /  x ].  -.  ph  <->  -.  [. A  /  x ]. ph ) )
1110adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
F/_ y A  /\  A  e.  _V )  ->  ( [. A  /  x ].  -.  ph  <->  -.  [. A  /  x ]. ph )
)
129, 11ralbid 2561 . . . . . . 7  |-  ( (
F/_ y A  /\  A  e.  _V )  ->  ( A. y  e.  B  [. A  /  x ].  -.  ph  <->  A. y  e.  B  -.  [. A  /  x ]. ph )
)
1312ancoms 439 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  F/_ y A )  -> 
( A. y  e.  B  [. A  /  x ].  -.  ph  <->  A. y  e.  B  -.  [. A  /  x ]. ph )
)
144, 13bitrd 244 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  F/_ y A )  -> 
( [. A  /  x ]. A. y  e.  B  -.  ph  <->  A. y  e.  B  -.  [. A  /  x ]. ph ) )
1514notbid 285 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  F/_ y A )  -> 
( -.  [. A  /  x ]. A. y  e.  B  -.  ph  <->  -.  A. y  e.  B  -.  [. A  /  x ]. ph )
)
163, 15bitrd 244 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  F/_ y A )  -> 
( [. A  /  x ].  -.  A. y  e.  B  -.  ph  <->  -.  A. y  e.  B  -.  [. A  /  x ]. ph )
)
17 dfrex2 2556 . . . 4  |-  ( E. y  e.  B  ph  <->  -. 
A. y  e.  B  -.  ph )
1817sbcbii 3046 . . 3  |-  ( [. A  /  x ]. E. y  e.  B  ph  <->  [. A  /  x ].  -.  A. y  e.  B  -.  ph )
19 dfrex2 2556 . . 3  |-  ( E. y  e.  B  [. A  /  x ]. ph  <->  -.  A. y  e.  B  -.  [. A  /  x ]. ph )
2016, 18, 193bitr4g 279 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  F/_ y A )  -> 
( [. A  /  x ]. E. y  e.  B  ph  <->  E. y  e.  B  [. A  /  x ]. ph )
)
211, 20sylan 457 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  F/_ y A )  -> 
( [. A  /  x ]. E. y  e.  B  ph  <->  E. y  e.  B  [. A  /  x ]. ph )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1684   F/_wnfc 2406   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788   [.wsbc 2991
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ral 2548  df-rex 2549  df-v 2790  df-sbc 2992
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