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Theorem sbcrext 3248
Description: Interchange class substitution and restricted existential quantifier. (Contributed by NM, 1-Mar-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Oct-2016.) (Revised by NM, 18-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
sbcrext  |-  ( F/_ y A  ->  ( [. A  /  x ]. E. y  e.  B  ph  <->  E. y  e.  B  [. A  /  x ]. ph ) )
Distinct variable groups:    x, y    x, B
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( x, y)    B( y)

Proof of Theorem sbcrext
StepHypRef Expression
1 sbcng 3207 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  ( [. A  /  x ].  -.  A. y  e.  B  -.  ph  <->  -.  [. A  /  x ]. A. y  e.  B  -.  ph )
)
21adantr 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  F/_ y A )  -> 
( [. A  /  x ].  -.  A. y  e.  B  -.  ph  <->  -.  [. A  /  x ]. A. y  e.  B  -.  ph )
)
3 sbcralt 3246 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  F/_ y A )  -> 
( [. A  /  x ]. A. y  e.  B  -.  ph  <->  A. y  e.  B  [. A  /  x ].  -.  ph ) )
4 nfnfc1 2581 . . . . . . . . 9  |-  F/ y
F/_ y A
5 id 21 . . . . . . . . . 10  |-  ( F/_ y A  ->  F/_ y A )
6 nfcvd 2579 . . . . . . . . . 10  |-  ( F/_ y A  ->  F/_ y _V )
75, 6nfeld 2593 . . . . . . . . 9  |-  ( F/_ y A  ->  F/ y  A  e.  _V )
84, 7nfan1 1847 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( F/_ y A  /\  A  e.  _V )
9 sbcng 3207 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  _V  ->  ( [. A  /  x ].  -.  ph  <->  -.  [. A  /  x ]. ph ) )
109adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( (
F/_ y A  /\  A  e.  _V )  ->  ( [. A  /  x ].  -.  ph  <->  -.  [. A  /  x ]. ph )
)
118, 10ralbid 2729 . . . . . . 7  |-  ( (
F/_ y A  /\  A  e.  _V )  ->  ( A. y  e.  B  [. A  /  x ].  -.  ph  <->  A. y  e.  B  -.  [. A  /  x ]. ph )
)
1211ancoms 441 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  F/_ y A )  -> 
( A. y  e.  B  [. A  /  x ].  -.  ph  <->  A. y  e.  B  -.  [. A  /  x ]. ph )
)
133, 12bitrd 246 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  F/_ y A )  -> 
( [. A  /  x ]. A. y  e.  B  -.  ph  <->  A. y  e.  B  -.  [. A  /  x ]. ph ) )
1413notbid 287 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  F/_ y A )  -> 
( -.  [. A  /  x ]. A. y  e.  B  -.  ph  <->  -.  A. y  e.  B  -.  [. A  /  x ]. ph )
)
152, 14bitrd 246 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  F/_ y A )  -> 
( [. A  /  x ].  -.  A. y  e.  B  -.  ph  <->  -.  A. y  e.  B  -.  [. A  /  x ]. ph )
)
16 dfrex2 2724 . . . 4  |-  ( E. y  e.  B  ph  <->  -. 
A. y  e.  B  -.  ph )
1716sbcbii 3225 . . 3  |-  ( [. A  /  x ]. E. y  e.  B  ph  <->  [. A  /  x ].  -.  A. y  e.  B  -.  ph )
18 dfrex2 2724 . . 3  |-  ( E. y  e.  B  [. A  /  x ]. ph  <->  -.  A. y  e.  B  -.  [. A  /  x ]. ph )
1915, 17, 183bitr4g 281 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  F/_ y A )  -> 
( [. A  /  x ]. E. y  e.  B  ph  <->  E. y  e.  B  [. A  /  x ]. ph )
)
20 sbcex 3176 . . . . 5  |-  ( [. A  /  x ]. E. y  e.  B  ph  ->  A  e.  _V )
2120con3i 130 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  -. 
[. A  /  x ]. E. y  e.  B  ph )
2221adantr 453 . . 3  |-  ( ( -.  A  e.  _V  /\ 
F/_ y A )  ->  -.  [. A  /  x ]. E. y  e.  B  ph )
23 sbcex 3176 . . . . . . 7  |-  ( [. A  /  x ]. ph  ->  A  e.  _V )
2423a1ii 26 . . . . . 6  |-  ( F/_ y A  ->  ( y  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. ph  ->  A  e.  _V ) ) )
254, 7, 24rexlimd2 2834 . . . . 5  |-  ( F/_ y A  ->  ( E. y  e.  B  [. A  /  x ]. ph  ->  A  e.  _V ) )
2625con3rr3 131 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
F/_ y A  ->  -.  E. y  e.  B  [. A  /  x ]. ph ) )
2726imp 420 . . 3  |-  ( ( -.  A  e.  _V  /\ 
F/_ y A )  ->  -.  E. y  e.  B  [. A  /  x ]. ph )
2822, 272falsed 342 . 2  |-  ( ( -.  A  e.  _V  /\ 
F/_ y A )  ->  ( [. A  /  x ]. E. y  e.  B  ph  <->  E. y  e.  B  [. A  /  x ]. ph ) )
2919, 28pm2.61ian 767 1  |-  ( F/_ y A  ->  ( [. A  /  x ]. E. y  e.  B  ph  <->  E. y  e.  B  [. A  /  x ]. ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    e. wcel 1727   F/_wnfc 2565   A.wral 2711   E.wrex 2712   _Vcvv 2962   [.wsbc 3167
This theorem is referenced by:  sbcrex  3250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ral 2716  df-rex 2717  df-v 2964  df-sbc 3168
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