Theorem sbcrext 1994

Description: Interchange class substitution and restricted existential quantifier.

Assertion

Ref	Expression
sbcrext	|- (A.y(A e. C /\ A.z(z e. A -> A.y z e. A)) -> ([A / x]E.y e. B ph <-> E.y e. B [A / x]ph))

Distinct variable groups:   z,A   x,B   z,C   x,y,z

Proof of Theorem sbcrext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrex2 1659	. . . . . . 7 |- (E.y e. B ph <-> -. A.y e. B -. ph)
2	1	sbcbii 1981	. . . . . 6 |- (A e. C -> ([A / x]E.y e. B ph <-> [A / x] -. A.y e. B -. ph))
3		sbcng 1972	. . . . . 6 |- (A e. C -> ([A / x] -. A.y e. B -. ph <-> -. [A / x]A.y e. B -. ph))
4	2, 3	bitrd 530	. . . . 5 |- (A e. C -> ([A / x]E.y e. B ph <-> -. [A / x]A.y e. B -. ph))
5	4	adantr 391	. . . 4 |- ((A e. C /\ A.z(z e. A -> A.y z e. A)) -> ([A / x]E.y e. B ph <-> -. [A / x]A.y e. B -. ph))
6	5	a4s 986	. . 3 |- (A.y(A e. C /\ A.z(z e. A -> A.y z e. A)) -> ([A / x]E.y e. B ph <-> -. [A / x]A.y e. B -. ph))
7		sbcralt 1993	. . . . 5 |- (A.y(A e. C /\ A.z(z e. A -> A.y z e. A)) -> ([A / x]A.y e. B -. ph <-> A.y e. B [A / x] -. ph))
8		hba1 1005	. . . . . 6 |- (A.y(A e. C /\ A.z(z e. A -> A.y z e. A)) -> A.yA.y(A e. C /\ A.z(z e. A -> A.y z e. A)))
9		sbcng 1972	. . . . . . . 8 |- (A e. C -> ([A / x] -. ph <-> -. [A / x]ph))
10	9	adantr 391	. . . . . . 7 |- ((A e. C /\ A.z(z e. A -> A.y z e. A)) -> ([A / x] -. ph <-> -. [A / x]ph))
11	10	a4s 986	. . . . . 6 |- (A.y(A e. C /\ A.z(z e. A -> A.y z e. A)) -> ([A / x] -. ph <-> -. [A / x]ph))
12	8, 11	ralbid 1664	. . . . 5 |- (A.y(A e. C /\ A.z(z e. A -> A.y z e. A)) -> (A.y e. B [A / x] -. ph <-> A.y e. B -. [A / x]ph))
13	7, 12	bitrd 530	. . . 4 |- (A.y(A e. C /\ A.z(z e. A -> A.y z e. A)) -> ([A / x]A.y e. B -. ph <-> A.y e. B -. [A / x]ph))
14	13	negbid 613	. . 3 |- (A.y(A e. C /\ A.z(z e. A -> A.y z e. A)) -> (-. [A / x]A.y e. B -. ph <-> -. A.y e. B -. [A / x]ph))
15	6, 14	bitrd 530	. 2 |- (A.y(A e. C /\ A.z(z e. A -> A.y z e. A)) -> ([A / x]E.y e. B ph <-> -. A.y e. B -. [A / x]ph))
16		dfrex2 1659	. 2 |- (E.y e. B [A / x]ph <-> -. A.y e. B -. [A / x]ph)
17	15, 16	syl6bbr 540	1 |- (A.y(A e. C /\ A.z(z e. A -> A.y z e. A)) -> ([A / x]E.y e. B ph <-> E.y e. B [A / x]ph))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 956   e. wcel 960  [wsbc 1172  A.wral 1648  E.wrex 1649

This theorem is referenced by:  sbcrexg 1998

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-sbc 1945

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