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Theorem sbcssVD 28170
Description: Virtual deduction proof of sbcss 3598. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. sbcss 3598 is sbcssVD 28170 without virtual deductions and was automatically derived from sbcssVD 28170.
1::  |-  (. A  e.  B  ->.  A  e.  B ).
2:1:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. y  e.  C  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ).
3:1:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. y  e.  D  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) ).
4:2,3:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( ( [. A  /  x ]. y  e.  C  ->  [. A  /  x ]. y  e.  D )  <->  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  ->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D  ) ) ).
5:1:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. ( y  e.  C  ->  y  e.  D )  <->  ( [. A  /  x ]. y  e.  C  ->  [. A  /  x ]. y  e.  D ) ) ).
6:4,5:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. ( y  e.  C  ->  y  e.  D )  <->  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  ->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) ) ).
7:6:  |-  (. A  e.  B  ->.  A. y ( [. A  /  x ]. ( y  e.  C  ->  y  e.  D )  <->  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  ->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) ) ).
8:7:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( A. y [. A  /  x ]. ( y  e.  C  ->  y  e.  D )  <->  A. y ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  ->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D )  ) ).
9:1:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. A. y ( y  e.  C  ->  y  e.  D )  <->  A. y [. A  /  x ]. ( y  e.  C  ->  y  e.  D ) ) ).
10:8,9:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. A. y ( y  e.  C  ->  y  e.  D )  <->  A. y ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  ->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D )  ) ).
11::  |-  ( C  C_  D  <->  A. y ( y  e.  C  ->  y  e.  D ) )
110:11:  |-  A. x ( C  C_  D  <->  A. y ( y  e.  C  ->  y  e.  D ) )
12:1,110:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. C  C_  D  <->  [. A  /  x ]. A. y ( y  e.  C  ->  y  e.  D ) ) ).
13:10,12:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. C  C_  D  <->  A. y ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  ->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) ) ).
14::  |-  ( [_ A  /  x ]_ C  C_  [_ A  /  x ]_ D  <->  A.  y ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  ->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) )
15:13,14:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. C  C_  D  <->  [_ A  /  x ]_ C  C_  [_ A  /  x ]_ D ) ).
qed:15:  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. C  C_  D  <->  [_  A  /  x ]_ C  C_  [_ A  /  x ]_ D ) )
(Contributed by Alan Sare, 22-Jul-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
sbcssVD  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. C  C_  D  <->  [_ A  /  x ]_ C  C_  [_ A  /  x ]_ D ) )

Proof of Theorem sbcssVD
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idn1 27836 . . . . . . . . . 10  |-  (. A  e.  B  ->.  A  e.  B ).
2 sbcel2g 3136 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  C  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) )
31, 2e1_ 27899 . . . . . . . . 9  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. y  e.  C  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ C
) ).
4 sbcel2g 3136 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  D  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) )
51, 4e1_ 27899 . . . . . . . . 9  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. y  e.  D  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D
) ).
6 imbi12 27776 . . . . . . . . 9  |-  ( (
[. A  /  x ]. y  e.  C  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ C )  -> 
( ( [. A  /  x ]. y  e.  D  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D
)  ->  ( ( [. A  /  x ]. y  e.  C  ->  [. A  /  x ]. y  e.  D
)  <->  ( y  e. 
[_ A  /  x ]_ C  ->  y  e. 
[_ A  /  x ]_ D ) ) ) )
73, 5, 6e11 27960 . . . . . . . 8  |-  (. A  e.  B  ->.  ( ( [. A  /  x ]. y  e.  C  ->  [. A  /  x ]. y  e.  D )  <->  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  ->  y  e. 
[_ A  /  x ]_ D ) ) ).
8 sbcimg 3066 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. ( y  e.  C  ->  y  e.  D )  <-> 
( [. A  /  x ]. y  e.  C  ->  [. A  /  x ]. y  e.  D
) ) )
91, 8e1_ 27899 . . . . . . . 8  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. ( y  e.  C  ->  y  e.  D )  <->  ( [. A  /  x ]. y  e.  C  ->  [. A  /  x ]. y  e.  D ) ) ).
10 bibi1 317 . . . . . . . . 9  |-  ( (
[. A  /  x ]. ( y  e.  C  ->  y  e.  D )  <-> 
( [. A  /  x ]. y  e.  C  ->  [. A  /  x ]. y  e.  D
) )  ->  (
( [. A  /  x ]. ( y  e.  C  ->  y  e.  D )  <-> 
( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  ->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) )  <->  ( ( [. A  /  x ]. y  e.  C  ->  [. A  /  x ]. y  e.  D )  <->  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  ->  y  e. 
[_ A  /  x ]_ D ) ) ) )
1110biimprcd 216 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( [. A  /  x ]. y  e.  C  ->  [. A  /  x ]. y  e.  D
)  <->  ( y  e. 
[_ A  /  x ]_ C  ->  y  e. 
[_ A  /  x ]_ D ) )  -> 
( ( [. A  /  x ]. ( y  e.  C  ->  y  e.  D )  <->  ( [. A  /  x ]. y  e.  C  ->  [. A  /  x ]. y  e.  D ) )  -> 
( [. A  /  x ]. ( y  e.  C  ->  y  e.  D )  <-> 
( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  ->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) ) ) )
127, 9, 11e11 27960 . . . . . . 7  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. ( y  e.  C  ->  y  e.  D )  <->  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  ->  y  e. 
[_ A  /  x ]_ D ) ) ).
1312gen11 27888 . . . . . 6  |-  (. A  e.  B  ->.  A. y ( [. A  /  x ]. (
y  e.  C  -> 
y  e.  D )  <-> 
( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  ->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) ) ).
14 albi 1555 . . . . . 6  |-  ( A. y ( [. A  /  x ]. ( y  e.  C  ->  y  e.  D )  <->  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  ->  y  e. 
[_ A  /  x ]_ D ) )  -> 
( A. y [. A  /  x ]. (
y  e.  C  -> 
y  e.  D )  <->  A. y ( y  e. 
[_ A  /  x ]_ C  ->  y  e. 
[_ A  /  x ]_ D ) ) )
1513, 14e1_ 27899 . . . . 5  |-  (. A  e.  B  ->.  ( A. y [. A  /  x ]. ( y  e.  C  ->  y  e.  D )  <->  A. y ( y  e. 
[_ A  /  x ]_ C  ->  y  e. 
[_ A  /  x ]_ D ) ) ).
16 sbcalg 3073 . . . . . 6  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. A. y ( y  e.  C  ->  y  e.  D )  <->  A. y [. A  /  x ]. ( y  e.  C  ->  y  e.  D ) ) )
171, 16e1_ 27899 . . . . 5  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. A. y
( y  e.  C  ->  y  e.  D )  <->  A. y [. A  /  x ]. ( y  e.  C  ->  y  e.  D ) ) ).
18 bibi1 317 . . . . . 6  |-  ( (
[. A  /  x ]. A. y ( y  e.  C  ->  y  e.  D )  <->  A. y [. A  /  x ]. ( y  e.  C  ->  y  e.  D ) )  ->  ( ( [. A  /  x ]. A. y ( y  e.  C  ->  y  e.  D )  <->  A. y
( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  ->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) )  <->  ( A. y [. A  /  x ]. ( y  e.  C  ->  y  e.  D )  <->  A. y ( y  e. 
[_ A  /  x ]_ C  ->  y  e. 
[_ A  /  x ]_ D ) ) ) )
1918biimprcd 216 . . . . 5  |-  ( ( A. y [. A  /  x ]. ( y  e.  C  ->  y  e.  D )  <->  A. y
( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  ->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) )  ->  ( ( [. A  /  x ]. A. y ( y  e.  C  ->  y  e.  D )  <->  A. y [. A  /  x ]. ( y  e.  C  ->  y  e.  D ) )  ->  ( [. A  /  x ]. A. y ( y  e.  C  ->  y  e.  D )  <->  A. y
( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  ->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) ) ) )
2015, 17, 19e11 27960 . . . 4  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. A. y
( y  e.  C  ->  y  e.  D )  <->  A. y ( y  e. 
[_ A  /  x ]_ C  ->  y  e. 
[_ A  /  x ]_ D ) ) ).
21 dfss2 3203 . . . . . 6  |-  ( C 
C_  D  <->  A. y
( y  e.  C  ->  y  e.  D ) )
2221ax-gen 1537 . . . . 5  |-  A. x
( C  C_  D  <->  A. y ( y  e.  C  ->  y  e.  D ) )
23 sbcbi 27797 . . . . 5  |-  ( A  e.  B  ->  ( A. x ( C  C_  D 
<-> 
A. y ( y  e.  C  ->  y  e.  D ) )  -> 
( [. A  /  x ]. C  C_  D  <->  [. A  /  x ]. A. y ( y  e.  C  -> 
y  e.  D ) ) ) )
241, 22, 23e10 27967 . . . 4  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. C  C_  D 
<-> 
[. A  /  x ]. A. y ( y  e.  C  ->  y  e.  D ) ) ).
25 bibi1 317 . . . . 5  |-  ( (
[. A  /  x ]. C  C_  D  <->  [. A  /  x ]. A. y ( y  e.  C  -> 
y  e.  D ) )  ->  ( ( [. A  /  x ]. C  C_  D  <->  A. y
( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  ->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) )  <->  ( [. A  /  x ]. A. y
( y  e.  C  ->  y  e.  D )  <->  A. y ( y  e. 
[_ A  /  x ]_ C  ->  y  e. 
[_ A  /  x ]_ D ) ) ) )
2625biimprcd 216 . . . 4  |-  ( (
[. A  /  x ]. A. y ( y  e.  C  ->  y  e.  D )  <->  A. y
( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  ->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) )  ->  ( ( [. A  /  x ]. C  C_  D  <->  [. A  /  x ]. A. y ( y  e.  C  -> 
y  e.  D ) )  ->  ( [. A  /  x ]. C  C_  D  <->  A. y ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  ->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) ) ) )
2720, 24, 26e11 27960 . . 3  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. C  C_  D 
<-> 
A. y ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  ->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) ) ).
28 dfss2 3203 . . 3  |-  ( [_ A  /  x ]_ C  C_ 
[_ A  /  x ]_ D  <->  A. y ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  ->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) )
29 biantr 897 . . . 4  |-  ( ( ( [. A  /  x ]. C  C_  D  <->  A. y ( y  e. 
[_ A  /  x ]_ C  ->  y  e. 
[_ A  /  x ]_ D ) )  /\  ( [_ A  /  x ]_ C  C_  [_ A  /  x ]_ D  <->  A. y
( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  ->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) ) )  ->  ( [. A  /  x ]. C  C_  D  <->  [_ A  /  x ]_ C  C_  [_ A  /  x ]_ D ) )
3029ex 423 . . 3  |-  ( (
[. A  /  x ]. C  C_  D  <->  A. y
( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  ->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) )  ->  ( ( [_ A  /  x ]_ C  C_  [_ A  /  x ]_ D  <->  A. y
( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  ->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) )  ->  ( [. A  /  x ]. C  C_  D  <->  [_ A  /  x ]_ C  C_  [_ A  /  x ]_ D ) ) )
3127, 28, 30e10 27967 . 2  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. C  C_  D 
<-> 
[_ A  /  x ]_ C  C_  [_ A  /  x ]_ D ) ).
3231in1 27833 1  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. C  C_  D  <->  [_ A  /  x ]_ C  C_  [_ A  /  x ]_ D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176   A.wal 1531    e. wcel 1701   [.wsbc 3025   [_csb 3115    C_ wss 3186
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-in 3193  df-ss 3200  df-vd1 27832
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