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Theorem sbnf2 2047
Description: Two ways of expressing " x is (effectively) not free in  ph." (Contributed by Gérard Lang, 14-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2016.)
Assertion
Ref Expression
sbnf2  |-  ( F/ x ph  <->  A. y A. z ( [ y  /  x ] ph  <->  [ z  /  x ] ph ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z    ph, y, z
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem sbnf2
StepHypRef Expression
1 2albiim 1599 . 2  |-  ( A. y A. z ( [ y  /  x ] ph 
<->  [ z  /  x ] ph )  <->  ( A. y A. z ( [ y  /  x ] ph  ->  [ z  /  x ] ph )  /\  A. y A. z ( [ z  /  x ] ph  ->  [ y  /  x ] ph )
) )
2 df-nf 1532 . . . . 5  |-  ( F/ x ph  <->  A. x
( ph  ->  A. x ph ) )
3 sbhb 2046 . . . . . 6  |-  ( (
ph  ->  A. x ph )  <->  A. z ( ph  ->  [ z  /  x ] ph ) )
43albii 1553 . . . . 5  |-  ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  <->  A. x A. z ( ph  ->  [ z  /  x ] ph ) )
5 alcom 1711 . . . . 5  |-  ( A. x A. z ( ph  ->  [ z  /  x ] ph )  <->  A. z A. x ( ph  ->  [ z  /  x ] ph ) )
62, 4, 53bitri 262 . . . 4  |-  ( F/ x ph  <->  A. z A. x ( ph  ->  [ z  /  x ] ph ) )
7 nfv 1605 . . . . . . 7  |-  F/ y ( ph  ->  [ z  /  x ] ph )
87sb8 2032 . . . . . 6  |-  ( A. x ( ph  ->  [ z  /  x ] ph )  <->  A. y [ y  /  x ] (
ph  ->  [ z  /  x ] ph ) )
9 nfs1v 2045 . . . . . . . 8  |-  F/ x [ z  /  x ] ph
109sblim 2008 . . . . . . 7  |-  ( [ y  /  x ]
( ph  ->  [ z  /  x ] ph ) 
<->  ( [ y  /  x ] ph  ->  [ z  /  x ] ph ) )
1110albii 1553 . . . . . 6  |-  ( A. y [ y  /  x ] ( ph  ->  [ z  /  x ] ph )  <->  A. y ( [ y  /  x ] ph  ->  [ z  /  x ] ph ) )
128, 11bitri 240 . . . . 5  |-  ( A. x ( ph  ->  [ z  /  x ] ph )  <->  A. y ( [ y  /  x ] ph  ->  [ z  /  x ] ph ) )
1312albii 1553 . . . 4  |-  ( A. z A. x ( ph  ->  [ z  /  x ] ph )  <->  A. z A. y ( [ y  /  x ] ph  ->  [ z  /  x ] ph ) )
14 alcom 1711 . . . 4  |-  ( A. z A. y ( [ y  /  x ] ph  ->  [ z  /  x ] ph )  <->  A. y A. z ( [ y  /  x ] ph  ->  [ z  /  x ] ph ) )
156, 13, 143bitri 262 . . 3  |-  ( F/ x ph  <->  A. y A. z ( [ y  /  x ] ph  ->  [ z  /  x ] ph ) )
16 sbhb 2046 . . . . . 6  |-  ( (
ph  ->  A. x ph )  <->  A. y ( ph  ->  [ y  /  x ] ph ) )
1716albii 1553 . . . . 5  |-  ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  <->  A. x A. y ( ph  ->  [ y  /  x ] ph ) )
18 alcom 1711 . . . . 5  |-  ( A. x A. y ( ph  ->  [ y  /  x ] ph )  <->  A. y A. x ( ph  ->  [ y  /  x ] ph ) )
192, 17, 183bitri 262 . . . 4  |-  ( F/ x ph  <->  A. y A. x ( ph  ->  [ y  /  x ] ph ) )
20 nfv 1605 . . . . . . 7  |-  F/ z ( ph  ->  [ y  /  x ] ph )
2120sb8 2032 . . . . . 6  |-  ( A. x ( ph  ->  [ y  /  x ] ph )  <->  A. z [ z  /  x ] (
ph  ->  [ y  /  x ] ph ) )
22 nfs1v 2045 . . . . . . . 8  |-  F/ x [ y  /  x ] ph
2322sblim 2008 . . . . . . 7  |-  ( [ z  /  x ]
( ph  ->  [ y  /  x ] ph ) 
<->  ( [ z  /  x ] ph  ->  [ y  /  x ] ph ) )
2423albii 1553 . . . . . 6  |-  ( A. z [ z  /  x ] ( ph  ->  [ y  /  x ] ph )  <->  A. z ( [ z  /  x ] ph  ->  [ y  /  x ] ph ) )
2521, 24bitri 240 . . . . 5  |-  ( A. x ( ph  ->  [ y  /  x ] ph )  <->  A. z ( [ z  /  x ] ph  ->  [ y  /  x ] ph ) )
2625albii 1553 . . . 4  |-  ( A. y A. x ( ph  ->  [ y  /  x ] ph )  <->  A. y A. z ( [ z  /  x ] ph  ->  [ y  /  x ] ph ) )
2719, 26bitri 240 . . 3  |-  ( F/ x ph  <->  A. y A. z ( [ z  /  x ] ph  ->  [ y  /  x ] ph ) )
2815, 27anbi12i 678 . 2  |-  ( ( F/ x ph  /\  F/ x ph )  <->  ( A. y A. z ( [ y  /  x ] ph  ->  [ z  /  x ] ph )  /\  A. y A. z ( [ z  /  x ] ph  ->  [ y  /  x ] ph )
) )
29 anidm 625 . 2  |-  ( ( F/ x ph  /\  F/ x ph )  <->  F/ x ph )
301, 28, 293bitr2ri 265 1  |-  ( F/ x ph  <->  A. y A. z ( [ y  /  x ] ph  <->  [ z  /  x ] ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527   F/wnf 1531   [wsb 1629
This theorem is referenced by:  sbnfc2  3141  nfnid  4204
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630
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