Theorem sbthcl 4459

Description: Schroeder-Bernstein Theorem in class form.

Assertion

Ref	Expression
sbthcl	|- ~~ = ( ~<_ i^i `' ~<_ )

Proof of Theorem sbthcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 4372	. 2 |- Rel ~~
2		reldom 4373	. . 3 |- Rel ~<_
3		relin1 3262	. . 3 |- (Rel ~<_ -> Rel ( ~<_ i^i `' ~<_ ))
4	2, 3	ax-mp 7	. 2 |- Rel ( ~<_ i^i `' ~<_ )
5		visset 1813	. . . 4 |- y e. V
6		sbthbg 4458	. . . 4 |- (y e. V -> ((x ~<_ y /\ y ~<_ x) <-> x ~~ y))
7	5, 6	ax-mp 7	. . 3 |- ((x ~<_ y /\ y ~<_ x) <-> x ~~ y)
8		df-br 2620	. . . . 5 |- (x ~<_ y <-> <.x, y>. e. ~<_ )
9		df-br 2620	. . . . . 6 |- (y ~<_ x <-> <.y, x>. e. ~<_ )
10		visset 1813	. . . . . . 7 |- x e. V
11	10, 5	opelcnv 3298	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. `' ~<_ <-> <.y, x>. e. ~<_ )
12	9, 11	bitr4 176	. . . . 5 |- (y ~<_ x <-> <.x, y>. e. `' ~<_ )
13	8, 12	anbi12i 482	. . . 4 |- ((x ~<_ y /\ y ~<_ x) <-> (<.x, y>. e. ~<_ /\ <.x, y>. e. `' ~<_ ))
14		elin 2207	. . . 4 |- (<.x, y>. e. ( ~<_ i^i `' ~<_ ) <-> (<.x, y>. e. ~<_ /\ <.x, y>. e. `' ~<_ ))
15	13, 14	bitr4 176	. . 3 |- ((x ~<_ y /\ y ~<_ x) <-> <.x, y>. e. ( ~<_ i^i `' ~<_ ))
16		df-br 2620	. . 3 |- (x ~~ y <-> <.x, y>. e. ~~ )
17	7, 15, 16	3bitr3r 182	. 2 |- (<.x, y>. e. ~~ <-> <.x, y>. e. ( ~<_ i^i `' ~<_ ))
18	1, 4, 17	eqrelriv 3251	1 |- ~~ = ( ~<_ i^i `' ~<_ )

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  Vcvv 1811   i^i cin 2046  <.cop 2411   class class class wbr 2619  `'ccnv 3169  Rel wrel 3175   ~~ cen 4364   ~<_ cdom 4365

This theorem is referenced by:  dfsdom2 4460

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-er 4261  df-en 4368  df-dom 4369

Copyright terms: Public domain