Theorem sbthlem10 4456

Description: Lemma for sbth 4457.

Hypotheses

Ref	Expression
sbthlem.1	|- A e. V
sbthlem.2	|- D = {x | (x (_ A /\ (g"(B \ (f"x))) (_ (A \ x))}
sbthlem.3	|- H = ((f |` U.D) u. (`'g |` (A \ U.D)))
sbthlem.4	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
sbthlem10	|- ((A ~<_ B /\ B ~<_ A) -> A ~~ B)

Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,D   x,f,g   x,H   f,g,A   B,f,g

Proof of Theorem sbthlem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbthlem.4	. . . . 5 |- B e. V
2	1	brdom 4378	. . . 4 |- (A ~<_ B <-> E.f f:A-1-1->B)
3		sbthlem.1	. . . . 5 |- A e. V
4	3	brdom 4378	. . . 4 |- (B ~<_ A <-> E.g g:B-1-1->A)
5	2, 4	anbi12i 482	. . 3 |- ((A ~<_ B /\ B ~<_ A) <-> (E.f f:A-1-1->B /\ E.g g:B-1-1->A))
6		eeanv 1323	. . 3 |- (E.fE.g(f:A-1-1->B /\ g:B-1-1->A) <-> (E.f f:A-1-1->B /\ E.g g:B-1-1->A))
7	5, 6	bitr4 176	. 2 |- ((A ~<_ B /\ B ~<_ A) <-> E.fE.g(f:A-1-1->B /\ g:B-1-1->A))
8		sbthlem.2	. . . . 5 |- D = {x | (x (_ A /\ (g"(B \ (f"x))) (_ (A \ x))}
9		sbthlem.3	. . . . 5 |- H = ((f |` U.D) u. (`'g |` (A \ U.D)))
10	3, 8, 9	sbthlem9 4455	. . . 4 |- ((f:A-1-1->B /\ g:B-1-1->A) -> H:A-1-1-onto->B)
11	3	f1oen 4398	. . . 4 |- (H:A-1-1-onto->B -> A ~~ B)
12	10, 11	syl 10	. . 3 |- ((f:A-1-1->B /\ g:B-1-1->A) -> A ~~ B)
13	12	19.23aivv 1296	. 2 |- (E.fE.g(f:A-1-1->B /\ g:B-1-1->A) -> A ~~ B)
14	7, 13	sylbi 199	1 |- ((A ~<_ B /\ B ~<_ A) -> A ~~ B)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  {cab 1463  Vcvv 1811   \ cdif 2044   u. cun 2045   (_ wss 2047  U.cuni 2503   class class class wbr 2619  `'ccnv 3169   |` cres 3172  "cima 3173  -1-1->wf1 3179  -1-1-onto->wf1o 3181   ~~ cen 4364   ~<_ cdom 4365

This theorem is referenced by:  sbth 4457

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-en 4368  df-dom 4369

Copyright terms: Public domain