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Theorem sbthlem5 7223
Description: Lemma for sbth 7229. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)
Hypotheses
Ref Expression
sbthlem.1  |-  A  e. 
_V
sbthlem.2  |-  D  =  { x  |  ( x  C_  A  /\  ( g " ( B  \  ( f "
x ) ) ) 
C_  ( A  \  x ) ) }
sbthlem.3  |-  H  =  ( ( f  |`  U. D )  u.  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )
Assertion
Ref Expression
sbthlem5  |-  ( ( dom  f  =  A  /\  ran  g  C_  A )  ->  dom  H  =  A )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, D    x, f    x, g    x, H
Allowed substitution hints:    A( f, g)    B( f, g)    D( f, g)    H( f, g)

Proof of Theorem sbthlem5
StepHypRef Expression
1 sbthlem.1 . . . . . . . . 9  |-  A  e. 
_V
2 sbthlem.2 . . . . . . . . 9  |-  D  =  { x  |  ( x  C_  A  /\  ( g " ( B  \  ( f "
x ) ) ) 
C_  ( A  \  x ) ) }
31, 2sbthlem1 7219 . . . . . . . 8  |-  U. D  C_  ( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) )
4 difss 3476 . . . . . . . 8  |-  ( A 
\  ( g "
( B  \  (
f " U. D
) ) ) ) 
C_  A
53, 4sstri 3359 . . . . . . 7  |-  U. D  C_  A
6 sseq2 3372 . . . . . . 7  |-  ( dom  f  =  A  -> 
( U. D  C_  dom  f  <->  U. D  C_  A
) )
75, 6mpbiri 226 . . . . . 6  |-  ( dom  f  =  A  ->  U. D  C_  dom  f
)
8 dfss 3337 . . . . . 6  |-  ( U. D  C_  dom  f  <->  U. D  =  ( U. D  i^i  dom  f ) )
97, 8sylib 190 . . . . 5  |-  ( dom  f  =  A  ->  U. D  =  ( U. D  i^i  dom  f
) )
109uneq1d 3502 . . . 4  |-  ( dom  f  =  A  -> 
( U. D  u.  ( A  \  U. D
) )  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  ( A  \  U. D ) ) )
111, 2sbthlem3 7221 . . . . . . 7  |-  ( ran  g  C_  A  ->  ( g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) )  =  ( A  \  U. D ) )
12 imassrn 5218 . . . . . . 7  |-  ( g
" ( B  \ 
( f " U. D ) ) ) 
C_  ran  g
1311, 12syl6eqssr 3401 . . . . . 6  |-  ( ran  g  C_  A  ->  ( A  \  U. D
)  C_  ran  g )
14 dfss 3337 . . . . . 6  |-  ( ( A  \  U. D
)  C_  ran  g  <->  ( A  \ 
U. D )  =  ( ( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) )
1513, 14sylib 190 . . . . 5  |-  ( ran  g  C_  A  ->  ( A  \  U. D
)  =  ( ( A  \  U. D
)  i^i  ran  g ) )
1615uneq2d 3503 . . . 4  |-  ( ran  g  C_  A  ->  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  ( A  \  U. D ) )  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  (
( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) ) )
1710, 16sylan9eq 2490 . . 3  |-  ( ( dom  f  =  A  /\  ran  g  C_  A )  ->  ( U. D  u.  ( A  \  U. D ) )  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  (
( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) ) )
18 sbthlem.3 . . . . 5  |-  H  =  ( ( f  |`  U. D )  u.  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )
1918dmeqi 5073 . . . 4  |-  dom  H  =  dom  ( ( f  |`  U. D )  u.  ( `' g  |`  ( A  \  U. D
) ) )
20 dmun 5078 . . . . 5  |-  dom  (
( f  |`  U. D
)  u.  ( `' g  |`  ( A  \ 
U. D ) ) )  =  ( dom  ( f  |`  U. D
)  u.  dom  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )
21 dmres 5169 . . . . . 6  |-  dom  (
f  |`  U. D )  =  ( U. D  i^i  dom  f )
22 dmres 5169 . . . . . . 7  |-  dom  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) )  =  ( ( A 
\  U. D )  i^i 
dom  `' g )
23 df-rn 4891 . . . . . . . . 9  |-  ran  g  =  dom  `' g
2423eqcomi 2442 . . . . . . . 8  |-  dom  `' g  =  ran  g
2524ineq2i 3541 . . . . . . 7  |-  ( ( A  \  U. D
)  i^i  dom  `' g )  =  ( ( A  \  U. D
)  i^i  ran  g )
2622, 25eqtri 2458 . . . . . 6  |-  dom  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) )  =  ( ( A 
\  U. D )  i^i 
ran  g )
2721, 26uneq12i 3501 . . . . 5  |-  ( dom  ( f  |`  U. D
)  u.  dom  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  (
( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) )
2820, 27eqtri 2458 . . . 4  |-  dom  (
( f  |`  U. D
)  u.  ( `' g  |`  ( A  \ 
U. D ) ) )  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  (
( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) )
2919, 28eqtri 2458 . . 3  |-  dom  H  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  ( ( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) )
3017, 29syl6reqr 2489 . 2  |-  ( ( dom  f  =  A  /\  ran  g  C_  A )  ->  dom  H  =  ( U. D  u.  ( A  \  U. D ) ) )
31 undif 3710 . . 3  |-  ( U. D  C_  A  <->  ( U. D  u.  ( A  \ 
U. D ) )  =  A )
325, 31mpbi 201 . 2  |-  ( U. D  u.  ( A  \ 
U. D ) )  =  A
3330, 32syl6eq 2486 1  |-  ( ( dom  f  =  A  /\  ran  g  C_  A )  ->  dom  H  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2424   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    u. cun 3320    i^i cin 3321    C_ wss 3322   U.cuni 4017   `'ccnv 4879   dom cdm 4880   ran crn 4881    |` cres 4882   "cima 4883
This theorem is referenced by:  sbthlem9  7227
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pr 4405
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-xp 4886  df-cnv 4888  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893
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