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Theorem sbthlem5 6991
Description: Lemma for sbth 6997. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)
Hypotheses
Ref Expression
sbthlem.1  |-  A  e. 
_V
sbthlem.2  |-  D  =  { x  |  ( x  C_  A  /\  ( g " ( B  \  ( f "
x ) ) ) 
C_  ( A  \  x ) ) }
sbthlem.3  |-  H  =  ( ( f  |`  U. D )  u.  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )
Assertion
Ref Expression
sbthlem5  |-  ( ( dom  f  =  A  /\  ran  g  C_  A )  ->  dom  H  =  A )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, D    x, f    x, g    x, H
Allowed substitution hints:    A( f, g)    B( f, g)    D( f, g)    H( f, g)

Proof of Theorem sbthlem5
StepHypRef Expression
1 sbthlem.1 . . . . . . . . 9  |-  A  e. 
_V
2 sbthlem.2 . . . . . . . . 9  |-  D  =  { x  |  ( x  C_  A  /\  ( g " ( B  \  ( f "
x ) ) ) 
C_  ( A  \  x ) ) }
31, 2sbthlem1 6987 . . . . . . . 8  |-  U. D  C_  ( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) )
4 difss 3316 . . . . . . . 8  |-  ( A 
\  ( g "
( B  \  (
f " U. D
) ) ) ) 
C_  A
53, 4sstri 3201 . . . . . . 7  |-  U. D  C_  A
6 sseq2 3213 . . . . . . 7  |-  ( dom  f  =  A  -> 
( U. D  C_  dom  f  <->  U. D  C_  A
) )
75, 6mpbiri 224 . . . . . 6  |-  ( dom  f  =  A  ->  U. D  C_  dom  f
)
8 dfss 3180 . . . . . 6  |-  ( U. D  C_  dom  f  <->  U. D  =  ( U. D  i^i  dom  f ) )
97, 8sylib 188 . . . . 5  |-  ( dom  f  =  A  ->  U. D  =  ( U. D  i^i  dom  f
) )
109uneq1d 3341 . . . 4  |-  ( dom  f  =  A  -> 
( U. D  u.  ( A  \  U. D
) )  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  ( A  \  U. D ) ) )
11 imassrn 5041 . . . . . . 7  |-  ( g
" ( B  \ 
( f " U. D ) ) ) 
C_  ran  g
121, 2sbthlem3 6989 . . . . . . . 8  |-  ( ran  g  C_  A  ->  ( g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) )  =  ( A  \  U. D ) )
1312sseq1d 3218 . . . . . . 7  |-  ( ran  g  C_  A  ->  ( ( g " ( B  \  ( f " U. D ) ) ) 
C_  ran  g  <->  ( A  \ 
U. D )  C_  ran  g ) )
1411, 13mpbii 202 . . . . . 6  |-  ( ran  g  C_  A  ->  ( A  \  U. D
)  C_  ran  g )
15 dfss 3180 . . . . . 6  |-  ( ( A  \  U. D
)  C_  ran  g  <->  ( A  \ 
U. D )  =  ( ( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) )
1614, 15sylib 188 . . . . 5  |-  ( ran  g  C_  A  ->  ( A  \  U. D
)  =  ( ( A  \  U. D
)  i^i  ran  g ) )
1716uneq2d 3342 . . . 4  |-  ( ran  g  C_  A  ->  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  ( A  \  U. D ) )  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  (
( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) ) )
1810, 17sylan9eq 2348 . . 3  |-  ( ( dom  f  =  A  /\  ran  g  C_  A )  ->  ( U. D  u.  ( A  \  U. D ) )  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  (
( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) ) )
19 sbthlem.3 . . . . 5  |-  H  =  ( ( f  |`  U. D )  u.  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )
2019dmeqi 4896 . . . 4  |-  dom  H  =  dom  ( ( f  |`  U. D )  u.  ( `' g  |`  ( A  \  U. D
) ) )
21 dmun 4901 . . . . 5  |-  dom  (
( f  |`  U. D
)  u.  ( `' g  |`  ( A  \ 
U. D ) ) )  =  ( dom  ( f  |`  U. D
)  u.  dom  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )
22 dmres 4992 . . . . . 6  |-  dom  (
f  |`  U. D )  =  ( U. D  i^i  dom  f )
23 dmres 4992 . . . . . . 7  |-  dom  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) )  =  ( ( A 
\  U. D )  i^i 
dom  `' g )
24 df-rn 4716 . . . . . . . . 9  |-  ran  g  =  dom  `' g
2524eqcomi 2300 . . . . . . . 8  |-  dom  `' g  =  ran  g
2625ineq2i 3380 . . . . . . 7  |-  ( ( A  \  U. D
)  i^i  dom  `' g )  =  ( ( A  \  U. D
)  i^i  ran  g )
2723, 26eqtri 2316 . . . . . 6  |-  dom  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) )  =  ( ( A 
\  U. D )  i^i 
ran  g )
2822, 27uneq12i 3340 . . . . 5  |-  ( dom  ( f  |`  U. D
)  u.  dom  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  (
( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) )
2921, 28eqtri 2316 . . . 4  |-  dom  (
( f  |`  U. D
)  u.  ( `' g  |`  ( A  \ 
U. D ) ) )  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  (
( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) )
3020, 29eqtri 2316 . . 3  |-  dom  H  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  ( ( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) )
3118, 30syl6reqr 2347 . 2  |-  ( ( dom  f  =  A  /\  ran  g  C_  A )  ->  dom  H  =  ( U. D  u.  ( A  \  U. D ) ) )
32 undif 3547 . . 3  |-  ( U. D  C_  A  <->  ( U. D  u.  ( A  \ 
U. D ) )  =  A )
335, 32mpbi 199 . 2  |-  ( U. D  u.  ( A  \ 
U. D ) )  =  A
3431, 33syl6eq 2344 1  |-  ( ( dom  f  =  A  /\  ran  g  C_  A )  ->  dom  H  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   U.cuni 3843   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   ran crn 4706    |` cres 4707   "cima 4708
This theorem is referenced by:  sbthlem9  6995
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-xp 4711  df-cnv 4713  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718
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