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Theorem sbthlem5 6975
Description: Lemma for sbth 6981. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)
Hypotheses
Ref Expression
sbthlem.1  |-  A  e. 
_V
sbthlem.2  |-  D  =  { x  |  ( x  C_  A  /\  ( g " ( B  \  ( f "
x ) ) ) 
C_  ( A  \  x ) ) }
sbthlem.3  |-  H  =  ( ( f  |`  U. D )  u.  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )
Assertion
Ref Expression
sbthlem5  |-  ( ( dom  f  =  A  /\  ran  g  C_  A )  ->  dom  H  =  A )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, D    x, f    x, g    x, H
Allowed substitution hints:    A( f, g)    B( f, g)    D( f, g)    H( f, g)

Proof of Theorem sbthlem5
StepHypRef Expression
1 sbthlem.1 . . . . . . . . 9  |-  A  e. 
_V
2 sbthlem.2 . . . . . . . . 9  |-  D  =  { x  |  ( x  C_  A  /\  ( g " ( B  \  ( f "
x ) ) ) 
C_  ( A  \  x ) ) }
31, 2sbthlem1 6971 . . . . . . . 8  |-  U. D  C_  ( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) )
4 difss 3303 . . . . . . . 8  |-  ( A 
\  ( g "
( B  \  (
f " U. D
) ) ) ) 
C_  A
53, 4sstri 3188 . . . . . . 7  |-  U. D  C_  A
6 sseq2 3200 . . . . . . 7  |-  ( dom  f  =  A  -> 
( U. D  C_  dom  f  <->  U. D  C_  A
) )
75, 6mpbiri 224 . . . . . 6  |-  ( dom  f  =  A  ->  U. D  C_  dom  f
)
8 dfss 3167 . . . . . 6  |-  ( U. D  C_  dom  f  <->  U. D  =  ( U. D  i^i  dom  f ) )
97, 8sylib 188 . . . . 5  |-  ( dom  f  =  A  ->  U. D  =  ( U. D  i^i  dom  f
) )
109uneq1d 3328 . . . 4  |-  ( dom  f  =  A  -> 
( U. D  u.  ( A  \  U. D
) )  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  ( A  \  U. D ) ) )
11 imassrn 5025 . . . . . . 7  |-  ( g
" ( B  \ 
( f " U. D ) ) ) 
C_  ran  g
121, 2sbthlem3 6973 . . . . . . . 8  |-  ( ran  g  C_  A  ->  ( g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) )  =  ( A  \  U. D ) )
1312sseq1d 3205 . . . . . . 7  |-  ( ran  g  C_  A  ->  ( ( g " ( B  \  ( f " U. D ) ) ) 
C_  ran  g  <->  ( A  \ 
U. D )  C_  ran  g ) )
1411, 13mpbii 202 . . . . . 6  |-  ( ran  g  C_  A  ->  ( A  \  U. D
)  C_  ran  g )
15 dfss 3167 . . . . . 6  |-  ( ( A  \  U. D
)  C_  ran  g  <->  ( A  \ 
U. D )  =  ( ( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) )
1614, 15sylib 188 . . . . 5  |-  ( ran  g  C_  A  ->  ( A  \  U. D
)  =  ( ( A  \  U. D
)  i^i  ran  g ) )
1716uneq2d 3329 . . . 4  |-  ( ran  g  C_  A  ->  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  ( A  \  U. D ) )  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  (
( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) ) )
1810, 17sylan9eq 2335 . . 3  |-  ( ( dom  f  =  A  /\  ran  g  C_  A )  ->  ( U. D  u.  ( A  \  U. D ) )  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  (
( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) ) )
19 sbthlem.3 . . . . 5  |-  H  =  ( ( f  |`  U. D )  u.  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )
2019dmeqi 4880 . . . 4  |-  dom  H  =  dom  ( ( f  |`  U. D )  u.  ( `' g  |`  ( A  \  U. D
) ) )
21 dmun 4885 . . . . 5  |-  dom  (
( f  |`  U. D
)  u.  ( `' g  |`  ( A  \ 
U. D ) ) )  =  ( dom  ( f  |`  U. D
)  u.  dom  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )
22 dmres 4976 . . . . . 6  |-  dom  (
f  |`  U. D )  =  ( U. D  i^i  dom  f )
23 dmres 4976 . . . . . . 7  |-  dom  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) )  =  ( ( A 
\  U. D )  i^i 
dom  `' g )
24 df-rn 4700 . . . . . . . . 9  |-  ran  g  =  dom  `' g
2524eqcomi 2287 . . . . . . . 8  |-  dom  `' g  =  ran  g
2625ineq2i 3367 . . . . . . 7  |-  ( ( A  \  U. D
)  i^i  dom  `' g )  =  ( ( A  \  U. D
)  i^i  ran  g )
2723, 26eqtri 2303 . . . . . 6  |-  dom  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) )  =  ( ( A 
\  U. D )  i^i 
ran  g )
2822, 27uneq12i 3327 . . . . 5  |-  ( dom  ( f  |`  U. D
)  u.  dom  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  (
( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) )
2921, 28eqtri 2303 . . . 4  |-  dom  (
( f  |`  U. D
)  u.  ( `' g  |`  ( A  \ 
U. D ) ) )  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  (
( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) )
3020, 29eqtri 2303 . . 3  |-  dom  H  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  ( ( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) )
3118, 30syl6reqr 2334 . 2  |-  ( ( dom  f  =  A  /\  ran  g  C_  A )  ->  dom  H  =  ( U. D  u.  ( A  \  U. D ) ) )
32 undif 3534 . . 3  |-  ( U. D  C_  A  <->  ( U. D  u.  ( A  \ 
U. D ) )  =  A )
335, 32mpbi 199 . 2  |-  ( U. D  u.  ( A  \ 
U. D ) )  =  A
3431, 33syl6eq 2331 1  |-  ( ( dom  f  =  A  /\  ran  g  C_  A )  ->  dom  H  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   U.cuni 3827   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690    |` cres 4691   "cima 4692
This theorem is referenced by:  sbthlem9  6979
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-xp 4695  df-cnv 4697  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702
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