Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scaffval Structured version   Unicode version

Theorem scaffval 15970
 Description: The scalar multiplication operation as a function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
scaffval.b
scaffval.f Scalar
scaffval.k
scaffval.a
scaffval.s
Assertion
Ref Expression
scaffval
Distinct variable groups:   ,,   ,,   , ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem scaffval
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scaffval.a . 2
2 fveq2 5730 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
3 scaffval.f . . . . . . . 8 Scalar
42, 3syl6eqr 2488 . . . . . . 7 Scalar
54fveq2d 5734 . . . . . 6 Scalar
6 scaffval.k . . . . . 6
75, 6syl6eqr 2488 . . . . 5 Scalar
8 fveq2 5730 . . . . . 6
9 scaffval.b . . . . . 6
108, 9syl6eqr 2488 . . . . 5
11 fveq2 5730 . . . . . . 7
12 scaffval.s . . . . . . 7
1311, 12syl6eqr 2488 . . . . . 6
1413oveqd 6100 . . . . 5
157, 10, 14mpt2eq123dv 6138 . . . 4 Scalar
16 df-scaf 15955 . . . 4 Scalar
17 df-ov 6086 . . . . . . . 8
18 fvrn0 5755 . . . . . . . 8
1917, 18eqeltri 2508 . . . . . . 7
2019rgen2w 2776 . . . . . 6
21 eqid 2438 . . . . . . 7
2221fmpt2 6420 . . . . . 6
2320, 22mpbi 201 . . . . 5
24 fvex 5744 . . . . . . 7
256, 24eqeltri 2508 . . . . . 6
26 fvex 5744 . . . . . . 7
279, 26eqeltri 2508 . . . . . 6
2825, 27xpex 4992 . . . . 5
29 fvex 5744 . . . . . . . 8
3012, 29eqeltri 2508 . . . . . . 7
3130rnex 5135 . . . . . 6
32 p0ex 4388 . . . . . 6
3331, 32unex 4709 . . . . 5
34 fex2 5605 . . . . 5
3523, 28, 33, 34mp3an 1280 . . . 4
3615, 16, 35fvmpt 5808 . . 3
37 fvprc 5724 . . . . 5
38 mpt20 6429 . . . . 5
3937, 38syl6eqr 2488 . . . 4
40 fvprc 5724 . . . . . . . . 9 Scalar
413, 40syl5eq 2482 . . . . . . . 8
4241fveq2d 5734 . . . . . . 7
436, 42syl5eq 2482 . . . . . 6
44 base0 13508 . . . . . 6
4543, 44syl6eqr 2488 . . . . 5
46 eqid 2438 . . . . 5
47 mpt2eq12 6136 . . . . 5
4845, 46, 47sylancl 645 . . . 4
4939, 48eqtr4d 2473 . . 3
5036, 49pm2.61i 159 . 2
511, 50eqtri 2458 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  cvv 2958   cun 3320  c0 3630  csn 3816  cop 3819   cxp 4878   crn 4881  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083   cmpt2 6085  cbs 13471  Scalarcsca 13534  cvsca 13535  cscaf 15953 This theorem is referenced by:  scafval  15971  scafeq  15972  scaffn  15973  lmodscaf  15974  rlmscaf  16281 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-slot 13475  df-base 13476  df-scaf 15955
 Copyright terms: Public domain W3C validator