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Theorem sconpi1 24174
Description: A path-connected topological space is simply connected iff its fundamental group is trivial. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
sconpi1.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
sconpi1  |-  ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X )  ->  ( J  e. SCon  <->  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o ) )

Proof of Theorem sconpi1
Dummy variables  f  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scontop 24163 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e. SCon  ->  J  e.  Top )
21adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon )  ->  J  e.  Top )
3 simpl 443 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon )  ->  Y  e.  X )
4 eqid 2358 . . . . . . . . 9  |-  ( J  pi 1  Y )  =  ( J  pi 1  Y )
5 eqid 2358 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  =  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )
6 simpl 443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  e.  X )  ->  J  e.  Top )
7 sconpi1.1 . . . . . . . . . . 11  |-  X  = 
U. J
87toptopon 16777 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
96, 8sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  e.  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
10 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  e.  X )  ->  Y  e.  X )
114, 5, 9, 10elpi1 18647 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  e.  X )  ->  ( x  e.  (
Base `  ( J  pi 1  Y )
)  <->  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( ( f `
 0 )  =  Y  /\  ( f `
 1 )  =  Y )  /\  x  =  [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ) ) )
122, 3, 11syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon )  ->  ( x  e.  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  <->  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( ( f `  0 )  =  Y  /\  (
f `  1 )  =  Y )  /\  x  =  [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ) ) )
13 phtpcer 18597 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  ~=ph  `  J )  Er  (
II  Cn  J )
1413a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon
)  /\  f  e.  ( II  Cn  J
) )  /\  (
( f `  0
)  =  Y  /\  ( f `  1
)  =  Y ) )  ->  (  ~=ph  `  J )  Er  (
II  Cn  J )
)
15 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon
)  /\  f  e.  ( II  Cn  J
) )  /\  (
( f `  0
)  =  Y  /\  ( f `  1
)  =  Y ) )  ->  J  e. SCon )
16 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon
)  /\  f  e.  ( II  Cn  J
) )  /\  (
( f `  0
)  =  Y  /\  ( f `  1
)  =  Y ) )  ->  f  e.  ( II  Cn  J
) )
17 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon
)  /\  f  e.  ( II  Cn  J
) )  /\  (
( f `  0
)  =  Y  /\  ( f `  1
)  =  Y ) )  ->  ( f `  0 )  =  Y )
18 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon
)  /\  f  e.  ( II  Cn  J
) )  /\  (
( f `  0
)  =  Y  /\  ( f `  1
)  =  Y ) )  ->  ( f `  1 )  =  Y )
1917, 18eqtr4d 2393 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon
)  /\  f  e.  ( II  Cn  J
) )  /\  (
( f `  0
)  =  Y  /\  ( f `  1
)  =  Y ) )  ->  ( f `  0 )  =  ( f `  1
) )
20 sconpht 24164 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e. SCon  /\  f  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( f `  0 )  =  ( f `  1
) )  ->  f
(  ~=ph  `  J )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( f `  0
) } ) )
2115, 16, 19, 20syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon
)  /\  f  e.  ( II  Cn  J
) )  /\  (
( f `  0
)  =  Y  /\  ( f `  1
)  =  Y ) )  ->  f (  ~=ph  `  J ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( f `
 0 ) } ) )
2217sneqd 3729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon
)  /\  f  e.  ( II  Cn  J
) )  /\  (
( f `  0
)  =  Y  /\  ( f `  1
)  =  Y ) )  ->  { (
f `  0 ) }  =  { Y } )
2322xpeq2d 4795 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon
)  /\  f  e.  ( II  Cn  J
) )  /\  (
( f `  0
)  =  Y  /\  ( f `  1
)  =  Y ) )  ->  ( (
0 [,] 1 )  X.  { ( f `
 0 ) } )  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y }
) )
2421, 23breqtrd 4128 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon
)  /\  f  e.  ( II  Cn  J
) )  /\  (
( f `  0
)  =  Y  /\  ( f `  1
)  =  Y ) )  ->  f (  ~=ph  `  J ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y }
) )
2514, 24erthi 6793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon
)  /\  f  e.  ( II  Cn  J
) )  /\  (
( f `  0
)  =  Y  /\  ( f `  1
)  =  Y ) )  ->  [ f ] (  ~=ph  `  J
)  =  [ ( ( 0 [,] 1
)  X.  { Y } ) ] ( 
~=ph  `  J ) )
262, 8sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
27 eqid 2358 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y }
)  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y }
)
284, 27pi1id 18653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  e.  X )  ->  [ ( ( 0 [,] 1
)  X.  { Y } ) ] ( 
~=ph  `  J )  =  ( 0g `  ( J  pi 1  Y ) ) )
2926, 3, 28syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon )  ->  [ ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y } ) ] ( 
~=ph  `  J )  =  ( 0g `  ( J  pi 1  Y ) ) )
3029ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon
)  /\  f  e.  ( II  Cn  J
) )  /\  (
( f `  0
)  =  Y  /\  ( f `  1
)  =  Y ) )  ->  [ (
( 0 [,] 1
)  X.  { Y } ) ] ( 
~=ph  `  J )  =  ( 0g `  ( J  pi 1  Y ) ) )
3125, 30eqtrd 2390 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon
)  /\  f  e.  ( II  Cn  J
) )  /\  (
( f `  0
)  =  Y  /\  ( f `  1
)  =  Y ) )  ->  [ f ] (  ~=ph  `  J
)  =  ( 0g
`  ( J  pi 1  Y ) ) )
32 elsn 3731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  { ( 0g
`  ( J  pi 1  Y ) ) }  <->  x  =  ( 0g `  ( J  pi 1  Y ) ) )
33 eqeq1 2364 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  [ f ] (  ~=ph  `  J )  ->  ( x  =  ( 0g `  ( J  pi 1  Y ) )  <->  [ f ] ( 
~=ph  `  J )  =  ( 0g `  ( J  pi 1  Y ) ) ) )
3432, 33syl5bb 248 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  [ f ] (  ~=ph  `  J )  ->  ( x  e. 
{ ( 0g `  ( J  pi 1  Y ) ) }  <->  [ f ] ( 
~=ph  `  J )  =  ( 0g `  ( J  pi 1  Y ) ) ) )
3531, 34syl5ibrcom 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon
)  /\  f  e.  ( II  Cn  J
) )  /\  (
( f `  0
)  =  Y  /\  ( f `  1
)  =  Y ) )  ->  ( x  =  [ f ] ( 
~=ph  `  J )  ->  x  e.  { ( 0g `  ( J  pi 1  Y ) ) } ) )
3635expimpd 586 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon )  /\  f  e.  ( II  Cn  J ) )  -> 
( ( ( ( f `  0 )  =  Y  /\  (
f `  1 )  =  Y )  /\  x  =  [ f ] ( 
~=ph  `  J ) )  ->  x  e.  {
( 0g `  ( J  pi 1  Y ) ) } ) )
3736rexlimdva 2743 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon )  ->  ( E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( ( f `
 0 )  =  Y  /\  ( f `
 1 )  =  Y )  /\  x  =  [ f ] ( 
~=ph  `  J ) )  ->  x  e.  {
( 0g `  ( J  pi 1  Y ) ) } ) )
3812, 37sylbid 206 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon )  ->  ( x  e.  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ->  x  e.  { ( 0g `  ( J  pi 1  Y ) ) } ) )
3938ssrdv 3261 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon )  ->  (
Base `  ( J  pi 1  Y )
)  C_  { ( 0g `  ( J  pi 1  Y ) ) } )
404pi1grp 18652 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  e.  X )  ->  ( J  pi 1  Y )  e.  Grp )
4126, 3, 40syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon )  ->  ( J  pi 1  Y
)  e.  Grp )
42 eqid 2358 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  ( J  pi 1  Y ) )  =  ( 0g `  ( J  pi 1  Y ) )
435, 42grpidcl 14609 . . . . . . 7  |-  ( ( J  pi 1  Y
)  e.  Grp  ->  ( 0g `  ( J  pi 1  Y ) )  e.  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) ) )
4441, 43syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon )  ->  ( 0g `  ( J  pi 1  Y ) )  e.  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) ) )
4544snssd 3839 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon )  ->  { ( 0g `  ( J  pi 1  Y ) ) }  C_  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) ) )
4639, 45eqssd 3272 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon )  ->  (
Base `  ( J  pi 1  Y )
)  =  { ( 0g `  ( J  pi 1  Y ) ) } )
47 fvex 5622 . . . . 5  |-  ( 0g
`  ( J  pi 1  Y ) )  e.  _V
4847ensn1 7013 . . . 4  |-  { ( 0g `  ( J  pi 1  Y ) ) }  ~~  1o
4946, 48syl6eqbr 4141 . . 3  |-  ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon )  ->  (
Base `  ( J  pi 1  Y )
)  ~~  1o )
5049adantll 694 . 2  |-  ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X )  /\  J  e. SCon )  -> 
( Base `  ( J  pi 1  Y )
)  ~~  1o )
51 simpll 730 . . 3  |-  ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X )  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  ->  J  e. PCon )
52 eqid 2358 . . . . . . . . 9  |-  ( J  pi 1  ( f `
 0 ) )  =  ( J  pi 1  ( f ` 
0 ) )
53 eqid 2358 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  ( J  pi 1 
( f `  0
) ) )  =  ( Base `  ( J  pi 1  ( f `
 0 ) ) )
54 simplll 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  J  e. PCon )
55 pcontop 24160 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e. PCon  ->  J  e.  Top )
5654, 55syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  J  e.  Top )
5756, 8sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
58 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  f  e.  ( II  Cn  J
) )
59 iiuni 18488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
6059, 7cnf 17082 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  ( II  Cn  J )  ->  f : ( 0 [,] 1 ) --> X )
6158, 60syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  f :
( 0 [,] 1
) --> X )
62 0elunit 10846 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
63 ffvelrn 5746 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> X  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( f `  0 )  e.  X )
6461, 62, 63sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( f `  0 )  e.  X )
65 eqidd 2359 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( f `  0 )  =  ( f `  0
) )
66 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( f `  0 )  =  ( f `  1
) )
6766eqcomd 2363 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( f `  1 )  =  ( f `  0
) )
6852, 53, 57, 64, 58, 65, 67elpi1i 18648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  [ f ] (  ~=ph  `  J
)  e.  ( Base `  ( J  pi 1 
( f `  0
) ) ) )
69 eqid 2358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( f `
 0 ) } )  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( f `
 0 ) } )
7069pcoptcl 18623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
f `  0 )  e.  X )  ->  (
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( f `  0
) } )  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
( 0 [,] 1
)  X.  { ( f `  0 ) } ) `  0
)  =  ( f `
 0 )  /\  ( ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( f ` 
0 ) } ) `
 1 )  =  ( f `  0
) ) )
7157, 64, 70syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( (
( 0 [,] 1
)  X.  { ( f `  0 ) } )  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( f `
 0 ) } ) `  0 )  =  ( f ` 
0 )  /\  (
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( f `  0
) } ) ` 
1 )  =  ( f `  0 ) ) )
7271simp1d 967 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( (
0 [,] 1 )  X.  { ( f `
 0 ) } )  e.  ( II 
Cn  J ) )
7371simp2d 968 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( (
( 0 [,] 1
)  X.  { ( f `  0 ) } ) `  0
)  =  ( f `
 0 ) )
7471simp3d 969 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( (
( 0 [,] 1
)  X.  { ( f `  0 ) } ) `  1
)  =  ( f `
 0 ) )
7552, 53, 57, 64, 72, 73, 74elpi1i 18648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  [ (
( 0 [,] 1
)  X.  { ( f `  0 ) } ) ] ( 
~=ph  `  J )  e.  ( Base `  ( J  pi 1  ( f `
 0 ) ) ) )
76 simpllr 735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  Y  e.  X )
777, 52, 4, 53, 5pconpi1 24172 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e. PCon  /\  (
f `  0 )  e.  X  /\  Y  e.  X )  ->  ( J  pi 1  ( f `
 0 ) ) 
~=ph𝑔  ( J  pi 1  Y ) )
7854, 64, 76, 77syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( J  pi 1  ( f `  0 ) ) 
~=ph𝑔  ( J  pi 1  Y ) )
7953, 5gicen 14840 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  pi 1  ( f `  0 ) )  ~=ph𝑔  ( J  pi 1  Y )  ->  ( Base `  ( J  pi 1  ( f ` 
0 ) ) ) 
~~  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) ) )
8078, 79syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( Base `  ( J  pi 1 
( f `  0
) ) )  ~~  ( Base `  ( J  pi 1  Y )
) )
81 simplr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )
82 entr 7001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Base `  ( J  pi 1  ( f `
 0 ) ) )  ~~  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y )
)  ~~  1o )  ->  ( Base `  ( J  pi 1  ( f `
 0 ) ) )  ~~  1o )
8380, 81, 82syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( Base `  ( J  pi 1 
( f `  0
) ) )  ~~  1o )
84 en1eqsn 7178 . . . . . . . . 9  |-  ( ( [ ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( f ` 
0 ) } ) ] (  ~=ph  `  J
)  e.  ( Base `  ( J  pi 1 
( f `  0
) ) )  /\  ( Base `  ( J  pi 1  ( f `  0 ) ) )  ~~  1o )  ->  ( Base `  ( J  pi 1  ( f `
 0 ) ) )  =  { [
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( f `  0
) } ) ] (  ~=ph  `  J ) } )
8575, 83, 84syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( Base `  ( J  pi 1 
( f `  0
) ) )  =  { [ ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( f `
 0 ) } ) ] (  ~=ph  `  J ) } )
8668, 85eleqtrd 2434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  [ f ] (  ~=ph  `  J
)  e.  { [
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( f `  0
) } ) ] (  ~=ph  `  J ) } )
87 elsni 3740 . . . . . . 7  |-  ( [ f ] (  ~=ph  `  J )  e.  { [ ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( f ` 
0 ) } ) ] (  ~=ph  `  J
) }  ->  [ f ] (  ~=ph  `  J
)  =  [ ( ( 0 [,] 1
)  X.  { ( f `  0 ) } ) ] ( 
~=ph  `  J ) )
8886, 87syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  [ f ] (  ~=ph  `  J
)  =  [ ( ( 0 [,] 1
)  X.  { ( f `  0 ) } ) ] ( 
~=ph  `  J ) )
8913a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  (  ~=ph  `  J )  Er  (
II  Cn  J )
)
9089, 58erth 6791 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( f
(  ~=ph  `  J )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( f `  0
) } )  <->  [ f ] (  ~=ph  `  J
)  =  [ ( ( 0 [,] 1
)  X.  { ( f `  0 ) } ) ] ( 
~=ph  `  J ) ) )
9188, 90mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  f (  ~=ph  `  J ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( f `
 0 ) } ) )
9291expr 598 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  f  e.  ( II  Cn  J
) )  ->  (
( f `  0
)  =  ( f `
 1 )  -> 
f (  ~=ph  `  J
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( f ` 
0 ) } ) ) )
9392ralrimiva 2702 . . 3  |-  ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X )  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  ->  A. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f ` 
0 )  =  ( f `  1 )  ->  f (  ~=ph  `  J ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( f `
 0 ) } ) ) )
94 isscon 24161 . . 3  |-  ( J  e. SCon 
<->  ( J  e. PCon  /\  A. f  e.  ( II 
Cn  J ) ( ( f `  0
)  =  ( f `
 1 )  -> 
f (  ~=ph  `  J
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( f ` 
0 ) } ) ) ) )
9551, 93, 94sylanbrc 645 . 2  |-  ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X )  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  ->  J  e. SCon )
9650, 95impbida 805 1  |-  ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X )  ->  ( J  e. SCon  <->  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619   E.wrex 2620   {csn 3716   U.cuni 3908   class class class wbr 4104    X. cxp 4769   -->wf 5333   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   1oc1o 6559    Er wer 6744   [cec 6745    ~~ cen 6948   0cc0 8827   1c1 8828   [,]cicc 10751   Basecbs 13245   0gc0g 13499   Grpcgrp 14461    ~=ph𝑔 cgic 14821   Topctop 16737  TopOnctopon 16738    Cn ccn 17060   IIcii 18482    ~=ph cphtpc 18571    pi 1 cpi1 18605  PConcpcon 24154  SConcscon 24155
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-inf2 7432  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905  ax-addf 8906  ax-mulf 8907
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-iin 3989  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-se 4435  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-isom 5346  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-of 6165  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-2o 6567  df-oadd 6570  df-er 6747  df-ec 6749  df-qs 6753  df-map 6862  df-ixp 6906  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-fi 7255  df-sup 7284  df-oi 7315  df-card 7662  df-cda 7884  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-7 9899  df-8 9900  df-9 9901  df-10 9902  df-n0 10058  df-z 10117  df-dec 10217  df-uz 10323  df-q 10409  df-rp 10447  df-xneg 10544  df-xadd 10545  df-xmul 10546  df-ioo 10752  df-icc 10755  df-fz 10875  df-fzo 10963  df-seq 11139  df-exp 11198  df-hash 11431  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sqr 11816  df-abs 11817  df-struct 13247  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-starv 13320  df-sca 13321  df-vsca 13322  df-tset 13324  df-ple 13325  df-ds 13327  df-unif 13328  df-hom 13329  df-cco 13330  df-rest 13426  df-topn 13427  df-topgen 13443  df-pt 13444  df-prds 13447  df-xrs 13502  df-0g 13503  df-gsum 13504  df-qtop 13509  df-imas 13510  df-divs 13511  df-xps 13512  df-mre 13587  df-mrc 13588  df-acs 13590  df-mnd 14466  df-submnd 14515  df-grp 14588  df-mulg 14591  df-ghm 14780  df-gim 14822  df-gic 14823  df-cntz 14892  df-cmn 15190  df-xmet 16475  df-met 16476  df-bl 16477  df-mopn 16478  df-cnfld 16483  df-top 16742  df-bases 16744  df-topon 16745  df-topsp 16746  df-cld 16862  df-cn 17063  df-cnp 17064  df-tx 17363  df-hmeo 17552  df-xms 17987  df-ms 17988  df-tms 17989  df-ii 18484  df-htpy 18572  df-phtpy 18573  df-phtpc 18594  df-pco 18607  df-om1 18608  df-pi1 18610  df-pcon 24156  df-scon 24157
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