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Theorem sconpi1 24879
Description: A path-connected topological space is simply connected iff its fundamental group is trivial. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
sconpi1.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
sconpi1  |-  ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X )  ->  ( J  e. SCon  <->  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o ) )

Proof of Theorem sconpi1
Dummy variables  f  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scontop 24868 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e. SCon  ->  J  e.  Top )
21adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon )  ->  J  e.  Top )
3 simpl 444 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon )  ->  Y  e.  X )
4 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( J  pi 1  Y )  =  ( J  pi 1  Y )
5 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  =  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )
6 simpl 444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  e.  X )  ->  J  e.  Top )
7 sconpi1.1 . . . . . . . . . . 11  |-  X  = 
U. J
87toptopon 16953 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
96, 8sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  e.  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
10 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  e.  X )  ->  Y  e.  X )
114, 5, 9, 10elpi1 19023 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  e.  X )  ->  ( x  e.  (
Base `  ( J  pi 1  Y )
)  <->  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( ( f `
 0 )  =  Y  /\  ( f `
 1 )  =  Y )  /\  x  =  [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ) ) )
122, 3, 11syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon )  ->  ( x  e.  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  <->  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( ( f `  0 )  =  Y  /\  (
f `  1 )  =  Y )  /\  x  =  [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ) ) )
13 phtpcer 18973 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  ~=ph  `  J )  Er  (
II  Cn  J )
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon
)  /\  f  e.  ( II  Cn  J
) )  /\  (
( f `  0
)  =  Y  /\  ( f `  1
)  =  Y ) )  ->  (  ~=ph  `  J )  Er  (
II  Cn  J )
)
15 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon
)  /\  f  e.  ( II  Cn  J
) )  /\  (
( f `  0
)  =  Y  /\  ( f `  1
)  =  Y ) )  ->  J  e. SCon )
16 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon
)  /\  f  e.  ( II  Cn  J
) )  /\  (
( f `  0
)  =  Y  /\  ( f `  1
)  =  Y ) )  ->  f  e.  ( II  Cn  J
) )
17 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon
)  /\  f  e.  ( II  Cn  J
) )  /\  (
( f `  0
)  =  Y  /\  ( f `  1
)  =  Y ) )  ->  ( f `  0 )  =  Y )
18 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon
)  /\  f  e.  ( II  Cn  J
) )  /\  (
( f `  0
)  =  Y  /\  ( f `  1
)  =  Y ) )  ->  ( f `  1 )  =  Y )
1917, 18eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon
)  /\  f  e.  ( II  Cn  J
) )  /\  (
( f `  0
)  =  Y  /\  ( f `  1
)  =  Y ) )  ->  ( f `  0 )  =  ( f `  1
) )
20 sconpht 24869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e. SCon  /\  f  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( f `  0 )  =  ( f `  1
) )  ->  f
(  ~=ph  `  J )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( f `  0
) } ) )
2115, 16, 19, 20syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon
)  /\  f  e.  ( II  Cn  J
) )  /\  (
( f `  0
)  =  Y  /\  ( f `  1
)  =  Y ) )  ->  f (  ~=ph  `  J ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( f `
 0 ) } ) )
2217sneqd 3787 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon
)  /\  f  e.  ( II  Cn  J
) )  /\  (
( f `  0
)  =  Y  /\  ( f `  1
)  =  Y ) )  ->  { (
f `  0 ) }  =  { Y } )
2322xpeq2d 4861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon
)  /\  f  e.  ( II  Cn  J
) )  /\  (
( f `  0
)  =  Y  /\  ( f `  1
)  =  Y ) )  ->  ( (
0 [,] 1 )  X.  { ( f `
 0 ) } )  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y }
) )
2421, 23breqtrd 4196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon
)  /\  f  e.  ( II  Cn  J
) )  /\  (
( f `  0
)  =  Y  /\  ( f `  1
)  =  Y ) )  ->  f (  ~=ph  `  J ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y }
) )
2514, 24erthi 6910 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon
)  /\  f  e.  ( II  Cn  J
) )  /\  (
( f `  0
)  =  Y  /\  ( f `  1
)  =  Y ) )  ->  [ f ] (  ~=ph  `  J
)  =  [ ( ( 0 [,] 1
)  X.  { Y } ) ] ( 
~=ph  `  J ) )
262, 8sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
27 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y }
)  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y }
)
284, 27pi1id 19029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  e.  X )  ->  [ ( ( 0 [,] 1
)  X.  { Y } ) ] ( 
~=ph  `  J )  =  ( 0g `  ( J  pi 1  Y ) ) )
2926, 3, 28syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon )  ->  [ ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y } ) ] ( 
~=ph  `  J )  =  ( 0g `  ( J  pi 1  Y ) ) )
3029ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon
)  /\  f  e.  ( II  Cn  J
) )  /\  (
( f `  0
)  =  Y  /\  ( f `  1
)  =  Y ) )  ->  [ (
( 0 [,] 1
)  X.  { Y } ) ] ( 
~=ph  `  J )  =  ( 0g `  ( J  pi 1  Y ) ) )
3125, 30eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon
)  /\  f  e.  ( II  Cn  J
) )  /\  (
( f `  0
)  =  Y  /\  ( f `  1
)  =  Y ) )  ->  [ f ] (  ~=ph  `  J
)  =  ( 0g
`  ( J  pi 1  Y ) ) )
32 elsn 3789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  { ( 0g
`  ( J  pi 1  Y ) ) }  <->  x  =  ( 0g `  ( J  pi 1  Y ) ) )
33 eqeq1 2410 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  [ f ] (  ~=ph  `  J )  ->  ( x  =  ( 0g `  ( J  pi 1  Y ) )  <->  [ f ] ( 
~=ph  `  J )  =  ( 0g `  ( J  pi 1  Y ) ) ) )
3432, 33syl5bb 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  [ f ] (  ~=ph  `  J )  ->  ( x  e. 
{ ( 0g `  ( J  pi 1  Y ) ) }  <->  [ f ] ( 
~=ph  `  J )  =  ( 0g `  ( J  pi 1  Y ) ) ) )
3531, 34syl5ibrcom 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon
)  /\  f  e.  ( II  Cn  J
) )  /\  (
( f `  0
)  =  Y  /\  ( f `  1
)  =  Y ) )  ->  ( x  =  [ f ] ( 
~=ph  `  J )  ->  x  e.  { ( 0g `  ( J  pi 1  Y ) ) } ) )
3635expimpd 587 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon )  /\  f  e.  ( II  Cn  J ) )  -> 
( ( ( ( f `  0 )  =  Y  /\  (
f `  1 )  =  Y )  /\  x  =  [ f ] ( 
~=ph  `  J ) )  ->  x  e.  {
( 0g `  ( J  pi 1  Y ) ) } ) )
3736rexlimdva 2790 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon )  ->  ( E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( ( f `
 0 )  =  Y  /\  ( f `
 1 )  =  Y )  /\  x  =  [ f ] ( 
~=ph  `  J ) )  ->  x  e.  {
( 0g `  ( J  pi 1  Y ) ) } ) )
3812, 37sylbid 207 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon )  ->  ( x  e.  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ->  x  e.  { ( 0g `  ( J  pi 1  Y ) ) } ) )
3938ssrdv 3314 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon )  ->  (
Base `  ( J  pi 1  Y )
)  C_  { ( 0g `  ( J  pi 1  Y ) ) } )
404pi1grp 19028 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  e.  X )  ->  ( J  pi 1  Y )  e.  Grp )
4126, 3, 40syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon )  ->  ( J  pi 1  Y
)  e.  Grp )
42 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  ( J  pi 1  Y ) )  =  ( 0g `  ( J  pi 1  Y ) )
435, 42grpidcl 14788 . . . . . . 7  |-  ( ( J  pi 1  Y
)  e.  Grp  ->  ( 0g `  ( J  pi 1  Y ) )  e.  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) ) )
4441, 43syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon )  ->  ( 0g `  ( J  pi 1  Y ) )  e.  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) ) )
4544snssd 3903 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon )  ->  { ( 0g `  ( J  pi 1  Y ) ) }  C_  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) ) )
4639, 45eqssd 3325 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon )  ->  (
Base `  ( J  pi 1  Y )
)  =  { ( 0g `  ( J  pi 1  Y ) ) } )
47 fvex 5701 . . . . 5  |-  ( 0g
`  ( J  pi 1  Y ) )  e.  _V
4847ensn1 7130 . . . 4  |-  { ( 0g `  ( J  pi 1  Y ) ) }  ~~  1o
4946, 48syl6eqbr 4209 . . 3  |-  ( ( Y  e.  X  /\  J  e. SCon )  ->  (
Base `  ( J  pi 1  Y )
)  ~~  1o )
5049adantll 695 . 2  |-  ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X )  /\  J  e. SCon )  -> 
( Base `  ( J  pi 1  Y )
)  ~~  1o )
51 simpll 731 . . 3  |-  ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X )  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  ->  J  e. PCon )
52 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( J  pi 1  ( f `
 0 ) )  =  ( J  pi 1  ( f ` 
0 ) )
53 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  ( J  pi 1 
( f `  0
) ) )  =  ( Base `  ( J  pi 1  ( f `
 0 ) ) )
54 simplll 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  J  e. PCon )
55 pcontop 24865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e. PCon  ->  J  e.  Top )
5654, 55syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  J  e.  Top )
5756, 8sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
58 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  f  e.  ( II  Cn  J
) )
59 iiuni 18864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
6059, 7cnf 17264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  ( II  Cn  J )  ->  f : ( 0 [,] 1 ) --> X )
6158, 60syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  f :
( 0 [,] 1
) --> X )
62 0elunit 10971 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
63 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> X  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( f `  0 )  e.  X )
6461, 62, 63sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( f `  0 )  e.  X )
65 eqidd 2405 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( f `  0 )  =  ( f `  0
) )
66 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( f `  0 )  =  ( f `  1
) )
6766eqcomd 2409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( f `  1 )  =  ( f `  0
) )
6852, 53, 57, 64, 58, 65, 67elpi1i 19024 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  [ f ] (  ~=ph  `  J
)  e.  ( Base `  ( J  pi 1 
( f `  0
) ) ) )
69 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( f `
 0 ) } )  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( f `
 0 ) } )
7069pcoptcl 18999 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
f `  0 )  e.  X )  ->  (
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( f `  0
) } )  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
( 0 [,] 1
)  X.  { ( f `  0 ) } ) `  0
)  =  ( f `
 0 )  /\  ( ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( f ` 
0 ) } ) `
 1 )  =  ( f `  0
) ) )
7157, 64, 70syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( (
( 0 [,] 1
)  X.  { ( f `  0 ) } )  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( f `
 0 ) } ) `  0 )  =  ( f ` 
0 )  /\  (
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( f `  0
) } ) ` 
1 )  =  ( f `  0 ) ) )
7271simp1d 969 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( (
0 [,] 1 )  X.  { ( f `
 0 ) } )  e.  ( II 
Cn  J ) )
7371simp2d 970 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( (
( 0 [,] 1
)  X.  { ( f `  0 ) } ) `  0
)  =  ( f `
 0 ) )
7471simp3d 971 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( (
( 0 [,] 1
)  X.  { ( f `  0 ) } ) `  1
)  =  ( f `
 0 ) )
7552, 53, 57, 64, 72, 73, 74elpi1i 19024 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  [ (
( 0 [,] 1
)  X.  { ( f `  0 ) } ) ] ( 
~=ph  `  J )  e.  ( Base `  ( J  pi 1  ( f `
 0 ) ) ) )
76 simpllr 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  Y  e.  X )
777, 52, 4, 53, 5pconpi1 24877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e. PCon  /\  (
f `  0 )  e.  X  /\  Y  e.  X )  ->  ( J  pi 1  ( f `
 0 ) ) 
~=ph𝑔  ( J  pi 1  Y ) )
7854, 64, 76, 77syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( J  pi 1  ( f `  0 ) ) 
~=ph𝑔  ( J  pi 1  Y ) )
7953, 5gicen 15019 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  pi 1  ( f `  0 ) )  ~=ph𝑔  ( J  pi 1  Y )  ->  ( Base `  ( J  pi 1  ( f ` 
0 ) ) ) 
~~  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) ) )
8078, 79syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( Base `  ( J  pi 1 
( f `  0
) ) )  ~~  ( Base `  ( J  pi 1  Y )
) )
81 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )
82 entr 7118 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Base `  ( J  pi 1  ( f `
 0 ) ) )  ~~  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y )
)  ~~  1o )  ->  ( Base `  ( J  pi 1  ( f `
 0 ) ) )  ~~  1o )
8380, 81, 82syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( Base `  ( J  pi 1 
( f `  0
) ) )  ~~  1o )
84 en1eqsn 7297 . . . . . . . . 9  |-  ( ( [ ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( f ` 
0 ) } ) ] (  ~=ph  `  J
)  e.  ( Base `  ( J  pi 1 
( f `  0
) ) )  /\  ( Base `  ( J  pi 1  ( f `  0 ) ) )  ~~  1o )  ->  ( Base `  ( J  pi 1  ( f `
 0 ) ) )  =  { [
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( f `  0
) } ) ] (  ~=ph  `  J ) } )
8575, 83, 84syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( Base `  ( J  pi 1 
( f `  0
) ) )  =  { [ ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( f `
 0 ) } ) ] (  ~=ph  `  J ) } )
8668, 85eleqtrd 2480 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  [ f ] (  ~=ph  `  J
)  e.  { [
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( f `  0
) } ) ] (  ~=ph  `  J ) } )
87 elsni 3798 . . . . . . 7  |-  ( [ f ] (  ~=ph  `  J )  e.  { [ ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( f ` 
0 ) } ) ] (  ~=ph  `  J
) }  ->  [ f ] (  ~=ph  `  J
)  =  [ ( ( 0 [,] 1
)  X.  { ( f `  0 ) } ) ] ( 
~=ph  `  J ) )
8886, 87syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  [ f ] (  ~=ph  `  J
)  =  [ ( ( 0 [,] 1
)  X.  { ( f `  0 ) } ) ] ( 
~=ph  `  J ) )
8913a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  (  ~=ph  `  J )  Er  (
II  Cn  J )
)
9089, 58erth 6908 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( f
(  ~=ph  `  J )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( f `  0
) } )  <->  [ f ] (  ~=ph  `  J
)  =  [ ( ( 0 [,] 1
)  X.  { ( f `  0 ) } ) ] ( 
~=ph  `  J ) ) )
9188, 90mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  f (  ~=ph  `  J ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( f `
 0 ) } ) )
9291expr 599 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X
)  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  /\  f  e.  ( II  Cn  J
) )  ->  (
( f `  0
)  =  ( f `
 1 )  -> 
f (  ~=ph  `  J
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( f ` 
0 ) } ) ) )
9392ralrimiva 2749 . . 3  |-  ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X )  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  ->  A. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f ` 
0 )  =  ( f `  1 )  ->  f (  ~=ph  `  J ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( f `
 0 ) } ) ) )
94 isscon 24866 . . 3  |-  ( J  e. SCon 
<->  ( J  e. PCon  /\  A. f  e.  ( II 
Cn  J ) ( ( f `  0
)  =  ( f `
 1 )  -> 
f (  ~=ph  `  J
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( f ` 
0 ) } ) ) ) )
9551, 93, 94sylanbrc 646 . 2  |-  ( ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X )  /\  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o )  ->  J  e. SCon )
9650, 95impbida 806 1  |-  ( ( J  e. PCon  /\  Y  e.  X )  ->  ( J  e. SCon  <->  ( Base `  ( J  pi 1  Y ) )  ~~  1o ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   {csn 3774   U.cuni 3975   class class class wbr 4172    X. cxp 4835   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   1oc1o 6676    Er wer 6861   [cec 6862    ~~ cen 7065   0cc0 8946   1c1 8947   [,]cicc 10875   Basecbs 13424   0gc0g 13678   Grpcgrp 14640    ~=ph𝑔 cgic 15000   Topctop 16913  TopOnctopon 16914    Cn ccn 17242   IIcii 18858    ~=ph cphtpc 18947    pi 1 cpi1 18981  PConcpcon 24859  SConcscon 24860
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-ec 6866  df-qs 6870  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-divs 13690  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-mulg 14770  df-ghm 14959  df-gim 15001  df-gic 15002  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-ii 18860  df-htpy 18948  df-phtpy 18949  df-phtpc 18970  df-pco 18983  df-om1 18984  df-pi1 18986  df-pcon 24861  df-scon 24862
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