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Theorem scvxcvx 20829
Description: A strictly convex function is convex. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
scvxcvx.1  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
scvxcvx.2  |-  ( ph  ->  F : D --> RR )
scvxcvx.3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  D  /\  b  e.  D ) )  -> 
( a [,] b
)  C_  D )
scvxcvx.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D  /\  x  <  y )  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( F `  ( (
t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  <  ( ( t  x.  ( F `  x ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y )
) ) )
Assertion
Ref Expression
scvxcvx  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( F `  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  <_  ( ( T  x.  ( F `  X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y )
) ) )
Distinct variable groups:    a, b,
t, x, y, D    ph, a, b, t, x, y    X, a, b, t, x, y    Y, a, b, t, x, y   
t, F, x, y   
t, T
Allowed substitution hints:    T( x, y, a, b)    F( a, b)

Proof of Theorem scvxcvx
StepHypRef Expression
1 scvxcvx.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
21adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  D  C_  RR )
3 simpr1 964 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  X  e.  D )
42, 3sseldd 3351 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  X  e.  RR )
54adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  T  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  X  e.  RR )
6 simpr2 965 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  Y  e.  D )
72, 6sseldd 3351 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  Y  e.  RR )
87adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  T  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  Y  e.  RR )
95, 8lttri4d 9219 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  T  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( X  <  Y  \/  X  =  Y  \/  Y  <  X ) )
10 simprl 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  X  <  Y ) )  ->  T  e.  ( 0 (,) 1 ) )
113adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  X  <  Y ) )  ->  X  e.  D )
126adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  X  <  Y ) )  ->  Y  e.  D )
1311, 12jca 520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  X  <  Y ) )  -> 
( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )
14 simprr 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  X  <  Y ) )  ->  X  <  Y )
15 simpll 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  X  <  Y ) )  ->  ph )
16 breq1 4218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  (
x  <  y  <->  X  <  y ) )
17 oveq2 6092 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  X  ->  (
t  x.  x )  =  ( t  x.  X ) )
1817oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  X  ->  (
( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) )  =  ( ( t  x.  X )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) ) )
1918fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  X  ->  ( F `  ( (
t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  =  ( F `  ( ( t  x.  X )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) ) )
20 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  X  ->  ( F `  x )  =  ( F `  X ) )
2120oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  X  ->  (
t  x.  ( F `
 x ) )  =  ( t  x.  ( F `  X
) ) )
2221oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  X  ->  (
( t  x.  ( F `  x )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y ) ) )  =  ( ( t  x.  ( F `  X ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y )
) ) )
2319, 22breq12d 4228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  X  ->  (
( F `  (
( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  <  ( ( t  x.  ( F `
 x ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y
) ) )  <->  ( F `  ( ( t  x.  X )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) )  <  (
( t  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y ) ) ) ) )
2423ralbidv 2727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  ( A. t  e.  (
0 (,) 1 ) ( F `  (
( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  <  ( ( t  x.  ( F `
 x ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y
) ) )  <->  A. t  e.  ( 0 (,) 1
) ( F `  ( ( t  x.  X )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) )  <  (
( t  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y ) ) ) ) )
2524imbi2d 309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  (
( ph  ->  A. t  e.  ( 0 (,) 1
) ( F `  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) )  <  (
( t  x.  ( F `  x )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y ) ) ) )  <->  ( ph  ->  A. t  e.  ( 0 (,) 1 ) ( F `  ( ( t  x.  X )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  <  ( ( t  x.  ( F `  X ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y )
) ) ) ) )
2616, 25imbi12d 313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  <  y  ->  ( ph  ->  A. t  e.  ( 0 (,) 1
) ( F `  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) )  <  (
( t  x.  ( F `  x )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y ) ) ) ) )  <->  ( X  <  y  ->  ( ph  ->  A. t  e.  ( 0 (,) 1 ) ( F `  (
( t  x.  X
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  <  ( ( t  x.  ( F `
 X ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y
) ) ) ) ) ) )
27 breq2 4219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  <  y  <->  X  <  Y ) )
28 oveq2 6092 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  Y  ->  (
( 1  -  t
)  x.  y )  =  ( ( 1  -  t )  x.  Y ) )
2928oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  Y  ->  (
( t  x.  X
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) )  =  ( ( t  x.  X )  +  ( ( 1  -  t )  x.  Y
) ) )
3029fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  Y  ->  ( F `  ( (
t  x.  X )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  =  ( F `  ( ( t  x.  X )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  Y ) ) ) )
31 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  Y  ->  ( F `  y )  =  ( F `  Y ) )
3231oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  Y  ->  (
( 1  -  t
)  x.  ( F `
 y ) )  =  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  Y
) ) )
3332oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  Y  ->  (
( t  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y ) ) )  =  ( ( t  x.  ( F `  X ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  Y )
) ) )
3430, 33breq12d 4228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  Y  ->  (
( F `  (
( t  x.  X
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  <  ( ( t  x.  ( F `
 X ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y
) ) )  <->  ( F `  ( ( t  x.  X )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  Y ) ) )  <  (
( t  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  Y ) ) ) ) )
3534ralbidv 2727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  Y  ->  ( A. t  e.  (
0 (,) 1 ) ( F `  (
( t  x.  X
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  <  ( ( t  x.  ( F `
 X ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y
) ) )  <->  A. t  e.  ( 0 (,) 1
) ( F `  ( ( t  x.  X )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  Y ) ) )  <  (
( t  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  Y ) ) ) ) )
3635imbi2d 309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ph  ->  A. t  e.  ( 0 (,) 1
) ( F `  ( ( t  x.  X )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) )  <  (
( t  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y ) ) ) )  <->  ( ph  ->  A. t  e.  ( 0 (,) 1 ) ( F `  ( ( t  x.  X )  +  ( ( 1  -  t )  x.  Y ) ) )  <  ( ( t  x.  ( F `  X ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  Y )
) ) ) ) )
3727, 36imbi12d 313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X  <  y  ->  ( ph  ->  A. t  e.  ( 0 (,) 1
) ( F `  ( ( t  x.  X )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) )  <  (
( t  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y ) ) ) ) )  <->  ( X  <  Y  ->  ( ph  ->  A. t  e.  ( 0 (,) 1 ) ( F `  (
( t  x.  X
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  Y ) ) )  <  ( ( t  x.  ( F `
 X ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  Y
) ) ) ) ) ) )
38 scvxcvx.4 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D  /\  x  <  y )  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( F `  ( (
t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  <  ( ( t  x.  ( F `  x ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y )
) ) )
39383expia 1156 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D  /\  x  <  y ) )  -> 
( t  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  ( F `  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) )  <  (
( t  x.  ( F `  x )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y ) ) ) ) )
4039ralrimiv 2790 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D  /\  x  <  y ) )  ->  A. t  e.  (
0 (,) 1 ) ( F `  (
( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  <  ( ( t  x.  ( F `
 x ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y
) ) ) )
4140expcom 426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  D  /\  x  <  y )  -> 
( ph  ->  A. t  e.  ( 0 (,) 1
) ( F `  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) )  <  (
( t  x.  ( F `  x )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y ) ) ) ) )
42413expia 1156 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  D )  ->  ( x  <  y  ->  ( ph  ->  A. t  e.  ( 0 (,) 1
) ( F `  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) )  <  (
( t  x.  ( F `  x )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y ) ) ) ) ) )
4326, 37, 42vtocl2ga 3021 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  ( X  <  Y  ->  ( ph  ->  A. t  e.  ( 0 (,) 1
) ( F `  ( ( t  x.  X )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  Y ) ) )  <  (
( t  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  Y ) ) ) ) ) )
4413, 14, 15, 43syl3c 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  X  <  Y ) )  ->  A. t  e.  (
0 (,) 1 ) ( F `  (
( t  x.  X
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  Y ) ) )  <  ( ( t  x.  ( F `
 X ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  Y
) ) ) )
45 oveq1 6091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  T  ->  (
t  x.  X )  =  ( T  x.  X ) )
46 oveq2 6092 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  T  ->  (
1  -  t )  =  ( 1  -  T ) )
4746oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  T  ->  (
( 1  -  t
)  x.  Y )  =  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) )
4845, 47oveq12d 6102 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  T  ->  (
( t  x.  X
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  Y ) )  =  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y
) ) )
4948fveq2d 5735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  T  ->  ( F `  ( (
t  x.  X )  +  ( ( 1  -  t )  x.  Y ) ) )  =  ( F `  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  Y ) ) ) )
50 oveq1 6091 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  T  ->  (
t  x.  ( F `
 X ) )  =  ( T  x.  ( F `  X ) ) )
5146oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  T  ->  (
( 1  -  t
)  x.  ( F `
 Y ) )  =  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) ) )
5250, 51oveq12d 6102 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  T  ->  (
( t  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  Y ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `  X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y )
) ) )
5349, 52breq12d 4228 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  T  ->  (
( F `  (
( t  x.  X
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  Y ) ) )  <  ( ( t  x.  ( F `
 X ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  Y
) ) )  <->  ( F `  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  Y ) ) )  <  (
( T  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y ) ) ) ) )
5453rspcv 3050 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  ( A. t  e.  (
0 (,) 1 ) ( F `  (
( t  x.  X
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  Y ) ) )  <  ( ( t  x.  ( F `
 X ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  Y
) ) )  -> 
( F `  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  <  ( ( T  x.  ( F `
 X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) ) ) ) )
5510, 44, 54sylc 59 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  X  <  Y ) )  -> 
( F `  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  <  ( ( T  x.  ( F `
 X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) ) ) )
5655orcd 383 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  X  <  Y ) )  -> 
( ( F `  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  Y ) ) )  <  (
( T  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y ) ) )  \/  ( F `  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  Y ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y ) ) ) ) )
5756expr 600 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  T  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( X  <  Y  ->  (
( F `  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  <  ( ( T  x.  ( F `
 X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) ) )  \/  ( F `  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `
 X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) ) ) ) ) )
58 unitssre 11047 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  RR
59 simpr3 966 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  T  e.  ( 0 [,] 1 ) )
6058, 59sseldi 3348 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  T  e.  RR )
6160recnd 9119 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  T  e.  CC )
62 ax-1cn 9053 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
63 pncan3 9318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( T  +  ( 1  -  T ) )  =  1 )
6461, 62, 63sylancl 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( T  +  ( 1  -  T ) )  =  1 )
6564oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( T  +  ( 1  -  T
) )  x.  Y
)  =  ( 1  x.  Y ) )
66 subcl 9310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( 1  -  T
)  e.  CC )
6762, 61, 66sylancr 646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 1  -  T
)  e.  CC )
687recnd 9119 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  Y  e.  CC )
6961, 67, 68adddird 9118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( T  +  ( 1  -  T
) )  x.  Y
)  =  ( ( T  x.  Y )  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )
7068mulid2d 9111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 1  x.  Y
)  =  Y )
7165, 69, 703eqtr3d 2478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( T  x.  Y )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  Y ) )  =  Y )
7271fveq2d 5735 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( F `  (
( T  x.  Y
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  =  ( F `
 Y ) )
7364oveq1d 6099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( T  +  ( 1  -  T
) )  x.  ( F `  Y )
)  =  ( 1  x.  ( F `  Y ) ) )
74 scvxcvx.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F : D --> RR )
7574adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  F : D --> RR )
7675, 6ffvelrnd 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( F `  Y
)  e.  RR )
7776recnd 9119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( F `  Y
)  e.  CC )
7861, 67, 77adddird 9118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( T  +  ( 1  -  T
) )  x.  ( F `  Y )
)  =  ( ( T  x.  ( F `
 Y ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) ) ) )
7977mulid2d 9111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 1  x.  ( F `  Y )
)  =  ( F `
 Y ) )
8073, 78, 793eqtr3d 2478 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( T  x.  ( F `  Y ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y ) ) )  =  ( F `  Y ) )
8172, 80eqtr4d 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( F `  (
( T  x.  Y
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `
 Y ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) ) ) )
8281adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  T  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( F `  ( ( T  x.  Y )  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `  Y ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y )
) ) )
83 oveq2 6092 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  =  Y  ->  ( T  x.  X )  =  ( T  x.  Y ) )
8483oveq1d 6099 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  =  Y  ->  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) )  =  ( ( T  x.  Y )  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y
) ) )
8584fveq2d 5735 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =  Y  ->  ( F `  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  =  ( F `  ( ( T  x.  Y )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  Y ) ) ) )
86 fveq2 5731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  =  Y  ->  ( F `  X )  =  ( F `  Y ) )
8786oveq2d 6100 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  =  Y  ->  ( T  x.  ( F `  X ) )  =  ( T  x.  ( F `  Y )
) )
8887oveq1d 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =  Y  ->  (
( T  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `  Y ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y )
) ) )
8985, 88eqeq12d 2452 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  Y  ->  (
( F `  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `
 X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) ) )  <->  ( F `  ( ( T  x.  Y )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  Y ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `  Y )
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y ) ) ) ) )
9082, 89syl5ibrcom 215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  T  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( X  =  Y  ->  ( F `  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `  X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y )
) ) ) )
91 olc 375 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `  X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y )
) )  ->  (
( F `  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  <  ( ( T  x.  ( F `
 X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) ) )  \/  ( F `  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `
 X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) ) ) ) )
9290, 91syl6 32 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  T  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( X  =  Y  ->  ( ( F `  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  <  ( ( T  x.  ( F `
 X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) ) )  \/  ( F `  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `
 X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) ) ) ) ) )
93 1re 9095 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
94 elioore 10951 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  T  e.  RR )
95 resubcl 9370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  T  e.  RR )  ->  ( 1  -  T
)  e.  RR )
9693, 94, 95sylancr 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
1  -  T )  e.  RR )
97 eliooord 10975 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
0  <  T  /\  T  <  1 ) )
9897simprd 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  T  <  1 )
99 posdif 9526 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( T  <  1  <->  0  <  ( 1  -  T ) ) )
10094, 93, 99sylancl 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  ( T  <  1  <->  0  <  ( 1  -  T ) ) )
10198, 100mpbid 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  0  <  ( 1  -  T
) )
10297simpld 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  0  <  T )
103 ltsubpos 9525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( 0  <  T  <->  ( 1  -  T )  <  1 ) )
10494, 93, 103sylancl 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
0  <  T  <->  ( 1  -  T )  <  1 ) )
105102, 104mpbid 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
1  -  T )  <  1 )
106 0xr 9136 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR*
10793rexri 9142 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR*
108 elioo2 10962 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR* )  ->  (
( 1  -  T
)  e.  ( 0 (,) 1 )  <->  ( (
1  -  T )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  -  T
)  /\  ( 1  -  T )  <  1 ) ) )
109106, 107, 108mp2an 655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  -  T )  e.  ( 0 (,) 1 )  <->  ( (
1  -  T )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  -  T
)  /\  ( 1  -  T )  <  1 ) )
11096, 101, 105, 109syl3anbrc 1139 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
1  -  T )  e.  ( 0 (,) 1 ) )
111110ad2antrl 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  Y  <  X ) )  -> 
( 1  -  T
)  e.  ( 0 (,) 1 ) )
1126adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  Y  <  X ) )  ->  Y  e.  D )
1133adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  Y  <  X ) )  ->  X  e.  D )
114112, 113jca 520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  Y  <  X ) )  -> 
( Y  e.  D  /\  X  e.  D
) )
115 simprr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  Y  <  X ) )  ->  Y  <  X )
116 simpll 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  Y  <  X ) )  ->  ph )
117 breq1 4218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  Y  ->  (
x  <  y  <->  Y  <  y ) )
118 oveq2 6092 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  Y  ->  (
t  x.  x )  =  ( t  x.  Y ) )
119118oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  Y  ->  (
( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) )  =  ( ( t  x.  Y )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) ) )
120119fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  Y  ->  ( F `  ( (
t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  =  ( F `  ( ( t  x.  Y )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) ) )
121 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  Y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  Y ) )
122121oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  Y  ->  (
t  x.  ( F `
 x ) )  =  ( t  x.  ( F `  Y
) ) )
123122oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  Y  ->  (
( t  x.  ( F `  x )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y ) ) )  =  ( ( t  x.  ( F `  Y ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y )
) ) )
124120, 123breq12d 4228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  Y  ->  (
( F `  (
( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  <  ( ( t  x.  ( F `
 x ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y
) ) )  <->  ( F `  ( ( t  x.  Y )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) )  <  (
( t  x.  ( F `  Y )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y ) ) ) ) )
125124ralbidv 2727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  Y  ->  ( A. t  e.  (
0 (,) 1 ) ( F `  (
( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  <  ( ( t  x.  ( F `
 x ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y
) ) )  <->  A. t  e.  ( 0 (,) 1
) ( F `  ( ( t  x.  Y )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) )  <  (
( t  x.  ( F `  Y )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y ) ) ) ) )
126125imbi2d 309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  Y  ->  (
( ph  ->  A. t  e.  ( 0 (,) 1
) ( F `  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) )  <  (
( t  x.  ( F `  x )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y ) ) ) )  <->  ( ph  ->  A. t  e.  ( 0 (,) 1 ) ( F `  ( ( t  x.  Y )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  <  ( ( t  x.  ( F `  Y ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y )
) ) ) ) )
127117, 126imbi12d 313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  Y  ->  (
( x  <  y  ->  ( ph  ->  A. t  e.  ( 0 (,) 1
) ( F `  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) )  <  (
( t  x.  ( F `  x )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y ) ) ) ) )  <->  ( Y  <  y  ->  ( ph  ->  A. t  e.  ( 0 (,) 1 ) ( F `  (
( t  x.  Y
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  <  ( ( t  x.  ( F `
 Y ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y
) ) ) ) ) ) )
128 breq2 4219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  X  ->  ( Y  <  y  <->  Y  <  X ) )
129 oveq2 6092 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  X  ->  (
( 1  -  t
)  x.  y )  =  ( ( 1  -  t )  x.  X ) )
130129oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  X  ->  (
( t  x.  Y
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) )  =  ( ( t  x.  Y )  +  ( ( 1  -  t )  x.  X
) ) )
131130fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  X  ->  ( F `  ( (
t  x.  Y )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  =  ( F `  ( ( t  x.  Y )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  X ) ) ) )
132 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  X  ->  ( F `  y )  =  ( F `  X ) )
133132oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  X  ->  (
( 1  -  t
)  x.  ( F `
 y ) )  =  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  X
) ) )
134133oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  X  ->  (
( t  x.  ( F `  Y )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y ) ) )  =  ( ( t  x.  ( F `  Y ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  X )
) ) )
135131, 134breq12d 4228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  X  ->  (
( F `  (
( t  x.  Y
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  <  ( ( t  x.  ( F `
 Y ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y
) ) )  <->  ( F `  ( ( t  x.  Y )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  X ) ) )  <  (
( t  x.  ( F `  Y )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  X ) ) ) ) )
136135ralbidv 2727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  X  ->  ( A. t  e.  (
0 (,) 1 ) ( F `  (
( t  x.  Y
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  <  ( ( t  x.  ( F `
 Y ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y
) ) )  <->  A. t  e.  ( 0 (,) 1
) ( F `  ( ( t  x.  Y )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  X ) ) )  <  (
( t  x.  ( F `  Y )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  X ) ) ) ) )
137136imbi2d 309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  X  ->  (
( ph  ->  A. t  e.  ( 0 (,) 1
) ( F `  ( ( t  x.  Y )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) )  <  (
( t  x.  ( F `  Y )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y ) ) ) )  <->  ( ph  ->  A. t  e.  ( 0 (,) 1 ) ( F `  ( ( t  x.  Y )  +  ( ( 1  -  t )  x.  X ) ) )  <  ( ( t  x.  ( F `  Y ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  X )
) ) ) ) )
138128, 137imbi12d 313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  X  ->  (
( Y  <  y  ->  ( ph  ->  A. t  e.  ( 0 (,) 1
) ( F `  ( ( t  x.  Y )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) )  <  (
( t  x.  ( F `  Y )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y ) ) ) ) )  <->  ( Y  <  X  ->  ( ph  ->  A. t  e.  ( 0 (,) 1 ) ( F `  (
( t  x.  Y
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  X ) ) )  <  ( ( t  x.  ( F `
 Y ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  X
) ) ) ) ) ) )
139127, 138, 42vtocl2ga 3021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  e.  D  /\  X  e.  D )  ->  ( Y  <  X  ->  ( ph  ->  A. t  e.  ( 0 (,) 1
) ( F `  ( ( t  x.  Y )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  X ) ) )  <  (
( t  x.  ( F `  Y )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  X ) ) ) ) ) )
140114, 115, 116, 139syl3c 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  Y  <  X ) )  ->  A. t  e.  (
0 (,) 1 ) ( F `  (
( t  x.  Y
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  X ) ) )  <  ( ( t  x.  ( F `
 Y ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  X
) ) ) )
141 oveq1 6091 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  ( 1  -  T )  ->  (
t  x.  Y )  =  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) )
142 oveq2 6092 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  ( 1  -  T )  ->  (
1  -  t )  =  ( 1  -  ( 1  -  T
) ) )
143142oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  ( 1  -  T )  ->  (
( 1  -  t
)  x.  X )  =  ( ( 1  -  ( 1  -  T ) )  x.  X ) )
144141, 143oveq12d 6102 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  ( 1  -  T )  ->  (
( t  x.  Y
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  X ) )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  Y )  +  ( ( 1  -  ( 1  -  T
) )  x.  X
) ) )
145144fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  ( 1  -  T )  ->  ( F `  ( (
t  x.  Y )  +  ( ( 1  -  t )  x.  X ) ) )  =  ( F `  ( ( ( 1  -  T )  x.  Y )  +  ( ( 1  -  (
1  -  T ) )  x.  X ) ) ) )
146 oveq1 6091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  ( 1  -  T )  ->  (
t  x.  ( F `
 Y ) )  =  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) ) )
147142oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  ( 1  -  T )  ->  (
( 1  -  t
)  x.  ( F `
 X ) )  =  ( ( 1  -  ( 1  -  T ) )  x.  ( F `  X
) ) )
148146, 147oveq12d 6102 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  ( 1  -  T )  ->  (
( t  x.  ( F `  Y )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  X ) ) )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y ) )  +  ( ( 1  -  ( 1  -  T
) )  x.  ( F `  X )
) ) )
149145, 148breq12d 4228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  ( 1  -  T )  ->  (
( F `  (
( t  x.  Y
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  X ) ) )  <  ( ( t  x.  ( F `
 Y ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  X
) ) )  <->  ( F `  ( ( ( 1  -  T )  x.  Y )  +  ( ( 1  -  (
1  -  T ) )  x.  X ) ) )  <  (
( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y )
)  +  ( ( 1  -  ( 1  -  T ) )  x.  ( F `  X ) ) ) ) )
150149rspcv 3050 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  -  T )  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  ( A. t  e.  (
0 (,) 1 ) ( F `  (
( t  x.  Y
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  X ) ) )  <  ( ( t  x.  ( F `
 Y ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  X
) ) )  -> 
( F `  (
( ( 1  -  T )  x.  Y
)  +  ( ( 1  -  ( 1  -  T ) )  x.  X ) ) )  <  ( ( ( 1  -  T
)  x.  ( F `
 Y ) )  +  ( ( 1  -  ( 1  -  T ) )  x.  ( F `  X
) ) ) ) )
151111, 140, 150sylc 59 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  Y  <  X ) )  -> 
( F `  (
( ( 1  -  T )  x.  Y
)  +  ( ( 1  -  ( 1  -  T ) )  x.  X ) ) )  <  ( ( ( 1  -  T
)  x.  ( F `
 Y ) )  +  ( ( 1  -  ( 1  -  T ) )  x.  ( F `  X
) ) ) )
152 nncan 9335 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( 1  -  (
1  -  T ) )  =  T )
15362, 61, 152sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 1  -  (
1  -  T ) )  =  T )
154153oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( 1  -  ( 1  -  T
) )  x.  X
)  =  ( T  x.  X ) )
155154oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( ( 1  -  T )  x.  Y )  +  ( ( 1  -  (
1  -  T ) )  x.  X ) )  =  ( ( ( 1  -  T
)  x.  Y )  +  ( T  x.  X ) ) )
15693, 60, 95sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 1  -  T
)  e.  RR )
157156, 7remulcld 9121 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( 1  -  T )  x.  Y
)  e.  RR )
158157recnd 9119 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( 1  -  T )  x.  Y
)  e.  CC )
15960, 4remulcld 9121 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( T  x.  X
)  e.  RR )
160159recnd 9119 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( T  x.  X
)  e.  CC )
161158, 160addcomd 9273 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( ( 1  -  T )  x.  Y )  +  ( T  x.  X ) )  =  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )
162155, 161eqtrd 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( ( 1  -  T )  x.  Y )  +  ( ( 1  -  (
1  -  T ) )  x.  X ) )  =  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )
163162adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  Y  <  X ) )  -> 
( ( ( 1  -  T )  x.  Y )  +  ( ( 1  -  (
1  -  T ) )  x.  X ) )  =  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )
164163fveq2d 5735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  Y  <  X ) )  -> 
( F `  (
( ( 1  -  T )  x.  Y
)  +  ( ( 1  -  ( 1  -  T ) )  x.  X ) ) )  =  ( F `
 ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y
) ) ) )
165153oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( 1  -  ( 1  -  T
) )  x.  ( F `  X )
)  =  ( T  x.  ( F `  X ) ) )
166165oveq2d 6100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) )  +  ( ( 1  -  (
1  -  T ) )  x.  ( F `
 X ) ) )  =  ( ( ( 1  -  T
)  x.  ( F `
 Y ) )  +  ( T  x.  ( F `  X ) ) ) )
167156, 76remulcld 9121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y )
)  e.  RR )
168167recnd 9119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y )
)  e.  CC )
16975, 3ffvelrnd 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( F `  X
)  e.  RR )
17060, 169remulcld 9121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( T  x.  ( F `  X )
)  e.  RR )
171170recnd 9119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( T  x.  ( F `  X )
)  e.  CC )
172168, 171addcomd 9273 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) )  +  ( T  x.  ( F `
 X ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `
 X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) ) ) )
173166, 172eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) )  +  ( ( 1  -  (
1  -  T ) )  x.  ( F `
 X ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `
 X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) ) ) )
174173adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  Y  <  X ) )  -> 
( ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) )  +  ( ( 1  -  (
1  -  T ) )  x.  ( F `
 X ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `
 X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) ) ) )
175151, 164, 1743brtr3d 4244 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  Y  <  X ) )  -> 
( F `  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  <  ( ( T  x.  ( F `
 X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) ) ) )
176175orcd 383 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  Y  <  X ) )  -> 
( ( F `  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  Y ) ) )  <  (
( T  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y ) ) )  \/  ( F `  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  Y ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y ) ) ) ) )
177176expr 600 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  T  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( Y  <  X  ->  (
( F `  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  <  ( ( T  x.  ( F `
 X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) ) )  \/  ( F `  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `
 X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) ) ) ) ) )
17857, 92, 1773jaod 1249 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  T  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  (
( X  <  Y  \/  X  =  Y  \/  Y  <  X )  ->  ( ( F `
 ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y
) ) )  < 
( ( T  x.  ( F `  X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y ) ) )  \/  ( F `  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  Y ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y ) ) ) ) ) )
1799, 178mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  T  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  (
( F `  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  <  ( ( T  x.  ( F `
 X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) ) )  \/  ( F `  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `
 X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) ) ) ) )
180179ex 425 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( T  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  ( ( F `
 ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y
) ) )  < 
( ( T  x.  ( F `  X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y ) ) )  \/  ( F `  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  Y ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y ) ) ) ) ) )
181 elpri 3836 . . . 4  |-  ( T  e.  { 0 ,  1 }  ->  ( T  =  0  \/  T  =  1 ) )
18277addid2d 9272 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 0  +  ( F `  Y ) )  =  ( F `
 Y ) )
183169recnd 9119 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( F `  X
)  e.  CC )
184183mul02d 9269 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 0  x.  ( F `  X )
)  =  0 )
185184, 79oveq12d 6102 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( 0  x.  ( F `  X
) )  +  ( 1  x.  ( F `
 Y ) ) )  =  ( 0  +  ( F `  Y ) ) )
1864recnd 9119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  X  e.  CC )
187186mul02d 9269 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 0  x.  X
)  =  0 )
188187, 70oveq12d 6102 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( 0  x.  X )  +  ( 1  x.  Y ) )  =  ( 0  +  Y ) )
18968addid2d 9272 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 0  +  Y
)  =  Y )
190188, 189eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( 0  x.  X )  +  ( 1  x.  Y ) )  =  Y )
191190fveq2d 5735 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( F `  (
( 0  x.  X
)  +  ( 1  x.  Y ) ) )  =  ( F `
 Y ) )
192182, 185, 1913eqtr4rd 2481 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( F `  (
( 0  x.  X
)  +  ( 1  x.  Y ) ) )  =  ( ( 0  x.  ( F `
 X ) )  +  ( 1  x.  ( F `  Y
) ) ) )
193 oveq1 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( T  =  0  ->  ( T  x.  X )  =  ( 0  x.  X ) )
194 oveq2 6092 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  =  0  ->  (
1  -  T )  =  ( 1  -  0 ) )
19562subid1i 9377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  -  0 )  =  1
196194, 195syl6eq 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  =  0  ->  (
1  -  T )  =  1 )
197196oveq1d 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( T  =  0  ->  (
( 1  -  T
)  x.  Y )  =  ( 1  x.  Y ) )
198193, 197oveq12d 6102 . . . . . . . 8  |-  ( T  =  0  ->  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) )  =  ( ( 0  x.  X )  +  ( 1  x.  Y
) ) )
199198fveq2d 5735 . . . . . . 7  |-  ( T  =  0  ->  ( F `  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  =  ( F `  ( ( 0  x.  X )  +  ( 1  x.  Y ) ) ) )
200 oveq1 6091 . . . . . . . 8  |-  ( T  =  0  ->  ( T  x.  ( F `  X ) )  =  ( 0  x.  ( F `  X )
) )
201196oveq1d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( T  =  0  ->  (
( 1  -  T
)  x.  ( F `
 Y ) )  =  ( 1  x.  ( F `  Y
) ) )
202200, 201oveq12d 6102 . . . . . . 7  |-  ( T  =  0  ->  (
( T  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y ) ) )  =  ( ( 0  x.  ( F `  X ) )  +  ( 1  x.  ( F `  Y )
) ) )
203199, 202eqeq12d 2452 . . . . . 6  |-  ( T  =  0  ->  (
( F `  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `
 X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) ) )  <->  ( F `  ( ( 0  x.  X )  +  ( 1  x.  Y ) ) )  =  ( ( 0  x.  ( F `  X )
)  +  ( 1  x.  ( F `  Y ) ) ) ) )
204192, 203syl5ibrcom 215 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( T  =  0  ->  ( F `  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  Y ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y ) ) ) ) )
205183addid1d 9271 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( F `  X )  +  0 )  =  ( F `
 X ) )
206183mulid2d 9111 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 1  x.  ( F `  X )
)  =  ( F `
 X ) )
20777mul02d 9269 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 0  x.  ( F `  Y )
)  =  0 )
208206, 207oveq12d 6102 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( 1  x.  ( F `  X
) )  +  ( 0  x.  ( F `
 Y ) ) )  =  ( ( F `  X )  +  0 ) )
209186mulid2d 9111 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 1  x.  X
)  =  X )
21068mul02d 9269 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 0  x.  Y
)  =  0 )
211209, 210oveq12d 6102 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( 1  x.  X )  +  ( 0  x.  Y ) )  =  ( X  +  0 ) )
212186addid1d 9271 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( X  +  0 )  =  X )
213211, 212eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( 1  x.  X )  +  ( 0  x.  Y ) )  =  X )
214213fveq2d 5735 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( F `  (
( 1  x.  X
)  +  ( 0  x.  Y ) ) )  =  ( F `
 X ) )
215205, 208, 2143eqtr4rd 2481 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( F `  (
( 1  x.  X
)  +  ( 0  x.  Y ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( F `
 X ) )  +  ( 0  x.  ( F `  Y
) ) ) )
216 oveq1 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( T  =  1  ->  ( T  x.  X )  =  ( 1  x.  X ) )
217 oveq2 6092 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  =  1  ->  (
1  -  T )  =  ( 1  -  1 ) )
218 1m1e0 10073 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  -  1 )  =  0
219217, 218syl6eq 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  =  1  ->  (
1  -  T )  =  0 )
220219oveq1d 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( T  =  1  ->  (
( 1  -  T
)  x.  Y )  =  ( 0  x.  Y ) )
221216, 220oveq12d 6102 . . . . . . . 8  |-  ( T  =  1  ->  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) )  =  ( ( 1  x.  X )  +  ( 0  x.  Y
) ) )
222221fveq2d 5735 . . . . . . 7  |-  ( T  =  1  ->  ( F `  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  =  ( F `  ( ( 1  x.  X )  +  ( 0  x.  Y ) ) ) )
223 oveq1 6091 . . . . . . . 8  |-  ( T  =  1  ->  ( T  x.  ( F `  X ) )  =  ( 1  x.  ( F `  X )
) )
224219oveq1d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( T  =  1  ->  (
( 1  -  T
)  x.  ( F `
 Y ) )  =  ( 0  x.  ( F `  Y
) ) )
225223, 224oveq12d 6102 . . . . . . 7  |-  ( T  =  1  ->  (
( T  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( F `  X ) )  +  ( 0  x.  ( F `  Y )
) ) )
226222, 225eqeq12d 2452 . . . . . 6  |-  ( T  =  1  ->  (
( F `  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `
 X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) ) )  <->  ( F `  ( ( 1  x.  X )  +  ( 0  x.  Y ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( F `  X )
)  +  ( 0  x.  ( F `  Y ) ) ) ) )
227215, 226syl5ibrcom 215 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( T  =  1  ->  ( F `  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  Y ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y ) ) ) ) )
228204, 227jaod 371 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( T  =  0  \/  T  =  1 )  ->  ( F `  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `  X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y )
) ) ) )
229181, 228, 91syl56 33 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( T  e.  {
0 ,  1 }  ->  ( ( F `
 ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y
) ) )  < 
( ( T  x.  ( F `  X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y ) ) )  \/  ( F `  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  Y ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y ) ) ) ) ) )
230 0le1 9556 . . . . . 6  |-  0  <_  1
231 prunioo 11030 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR*  /\  0  <_ 
1 )  ->  (
( 0 (,) 1
)  u.  { 0 ,  1 } )  =  ( 0 [,] 1 ) )
232106, 107, 230, 231mp3an 1280 . . . . 5  |-  ( ( 0 (,) 1 )  u.  { 0 ,  1 } )  =  ( 0 [,] 1
)
23359, 232syl6eleqr 2529 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  T  e.  ( (
0 (,) 1 )  u.  { 0 ,  1 } ) )
234 elun 3490 . . . 4  |-  ( T  e.  ( ( 0 (,) 1 )  u. 
{ 0 ,  1 } )  <->  ( T  e.  ( 0 (,) 1
)  \/  T  e. 
{ 0 ,  1 } ) )
235233, 234sylib 190 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( T  e.  ( 0 (,) 1 )  \/  T  e.  {
0 ,  1 } ) )
236180, 229, 235mpjaod 372 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( F `  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  Y ) ) )  <  (
( T  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y ) ) )  \/  ( F `  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  Y ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y ) ) ) ) )
237 scvxcvx.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  D  /\  b  e.  D ) )  -> 
( a [,] b
)  C_  D )
2381, 237cvxcl 20828 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  Y ) )  e.  D )
23975, 238ffvelrnd 5874 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( F `  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  e.  RR )
240170, 167readdcld 9120 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( T  x.  ( F `  X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y ) ) )  e.  RR )
241239, 240leloed 9221 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( F `  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  Y ) ) )  <_  (
( T  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y ) ) )  <-> 
( ( F `  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  Y ) ) )  <  (
( T  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y ) ) )  \/  ( F `  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  Y ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y ) ) ) ) ) )
242236, 241mpbird 225 1  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( F `  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  <_  ( ( T  x.  ( F `  X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    \/ w3o 936    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707    u. cun 3320    C_ wss 3322   {cpr 3817   class class class wbr 4215   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998    x. cmul 9000   RR*cxr 9124    < clt 9125    <_ cle 9126    - cmin 9296   (,)cioo 10921   [,]cicc 10924
This theorem is referenced by:  amgmlem  20833
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-ioo 10925  df-ico 10927  df-icc 10928
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