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Theorem sdclem1 26453
Description: Lemma for sdc 26454. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
sdc.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
sdc.2  |-  ( g  =  ( f  |`  ( M ... n ) )  ->  ( ps  <->  ch ) )
sdc.3  |-  ( n  =  M  ->  ( ps 
<->  ta ) )
sdc.4  |-  ( n  =  k  ->  ( ps 
<->  th ) )
sdc.5  |-  ( ( g  =  h  /\  n  =  ( k  +  1 ) )  ->  ( ps  <->  si )
)
sdc.6  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
sdc.7  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
sdc.8  |-  ( ph  ->  E. g ( g : { M } --> A  /\  ta ) )
sdc.9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( g : ( M ... k ) --> A  /\  th )  ->  E. h ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  g  =  ( h  |`  ( M ... k
) )  /\  si ) ) )
sdc.10  |-  J  =  { g  |  E. n  e.  Z  (
g : ( M ... n ) --> A  /\  ps ) }
sdc.11  |-  F  =  ( w  e.  Z ,  x  e.  J  |->  { h  |  E. k  e.  Z  (
h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) } )
Assertion
Ref Expression
sdclem1  |-  ( ph  ->  E. f ( f : Z --> A  /\  A. n  e.  Z  ch ) )
Distinct variable groups:    f, g, h, k, n, w, x, A    h, J, k, w, x    f, M, g, h, k, n, w, x    ch, g    n, F, w, x    ps, f, h, k, x    si, f,
g, n, x    ph, n, w, x    th, n, w, x    h, V    ta, h, k, n, w, x   
f, Z, g, h, k, n, w, x    ph, g, h, k
Allowed substitution hints:    ph( f)    ps( w, g, n)    ch( x, w, f, h, k, n)    th( f, g, h, k)    ta( f, g)    si( w, h, k)    F( f, g, h, k)    J( f, g, n)    V( x, w, f, g, k, n)

Proof of Theorem sdclem1
Dummy variables  j  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sdc.8 . 2  |-  ( ph  ->  E. g ( g : { M } --> A  /\  ta ) )
2 sdc.10 . . . . . . . 8  |-  J  =  { g  |  E. n  e.  Z  (
g : ( M ... n ) --> A  /\  ps ) }
3 sdc.1 . . . . . . . . . 10  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
4 fvex 5539 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= `  M )  e.  _V
53, 4eqeltri 2353 . . . . . . . . 9  |-  Z  e. 
_V
6 simpl 443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g : ( M ... n ) --> A  /\  ps )  -> 
g : ( M ... n ) --> A )
7 sdc.6 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
8 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M ... n )  e. 
_V
9 elmapg 6785 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( M ... n )  e.  _V )  -> 
( g  e.  ( A  ^m  ( M ... n ) )  <-> 
g : ( M ... n ) --> A ) )
107, 8, 9sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( g  e.  ( A  ^m  ( M ... n ) )  <-> 
g : ( M ... n ) --> A ) )
116, 10syl5ibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( g : ( M ... n
) --> A  /\  ps )  ->  g  e.  ( A  ^m  ( M ... n ) ) ) )
1211abssdv 3247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  { g  |  ( g : ( M ... n ) --> A  /\  ps ) } 
C_  ( A  ^m  ( M ... n ) ) )
13 ovex 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  ^m  ( M ... n ) )  e. 
_V
14 ssexg 4160 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { g  |  ( g : ( M ... n ) --> A  /\  ps ) } 
C_  ( A  ^m  ( M ... n ) )  /\  ( A  ^m  ( M ... n ) )  e. 
_V )  ->  { g  |  ( g : ( M ... n
) --> A  /\  ps ) }  e.  _V )
1512, 13, 14sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { g  |  ( g : ( M ... n ) --> A  /\  ps ) }  e.  _V )
1615ralrimivw 2627 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Z  { g  |  ( g : ( M ... n ) --> A  /\  ps ) }  e.  _V )
17 abrexex2g 5768 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  A. n  e.  Z  {
g  |  ( g : ( M ... n ) --> A  /\  ps ) }  e.  _V )  ->  { g  |  E. n  e.  Z  ( g : ( M ... n ) --> A  /\  ps ) }  e.  _V )
185, 16, 17sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { g  |  E. n  e.  Z  (
g : ( M ... n ) --> A  /\  ps ) }  e.  _V )
192, 18syl5eqel 2367 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  _V )
2019adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  J  e.  _V )
21 sdc.7 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2221adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  M  e.  ZZ )
23 uzid 10242 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2422, 23syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2524, 3syl6eleqr 2374 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  M  e.  Z )
26 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  g : { M } --> A )
27 fzsn 10833 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... M )  =  { M } )
2822, 27syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  ( M ... M )  =  { M } )
2928feq2d 5380 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  (
g : ( M ... M ) --> A  <-> 
g : { M }
--> A ) )
3026, 29mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  g : ( M ... M ) --> A )
31 simprr 733 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  ta )
32 oveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  M  ->  ( M ... n )  =  ( M ... M
) )
3332feq2d 5380 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  M  ->  (
g : ( M ... n ) --> A  <-> 
g : ( M ... M ) --> A ) )
34 sdc.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  M  ->  ( ps 
<->  ta ) )
3533, 34anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  M  ->  (
( g : ( M ... n ) --> A  /\  ps )  <->  ( g : ( M ... M ) --> A  /\  ta ) ) )
3635rspcev 2884 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  Z  /\  ( g : ( M ... M ) --> A  /\  ta )
)  ->  E. n  e.  Z  ( g : ( M ... n ) --> A  /\  ps ) )
3725, 30, 31, 36syl12anc 1180 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  E. n  e.  Z  ( g : ( M ... n ) --> A  /\  ps ) )
382abeq2i 2390 . . . . . . 7  |-  ( g  e.  J  <->  E. n  e.  Z  ( g : ( M ... n ) --> A  /\  ps ) )
3937, 38sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  g  e.  J )
403peano2uzs 10273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  Z  ->  (
k  +  1 )  e.  Z )
4140ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  (
h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) )  ->  (
k  +  1 )  e.  Z )
42 simpr1 961 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  (
h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) )  ->  h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A )
43 simpr3 963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  (
h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) )  ->  si )
44 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  h  e. 
_V
45 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  +  1 )  e. 
_V
46 sdc.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( g  =  h  /\  n  =  ( k  +  1 ) )  ->  ( ps  <->  si )
)
4746a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( g  =  h  /\  n  =  ( k  +  1 ) )  ->  ( ps 
<-> 
si ) ) )
4844, 45, 47sbc2iedv 3059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( [. h  / 
g ]. [. ( k  +  1 )  /  n ]. ps  <->  si )
)
4948ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  (
h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) )  ->  ( [. h  /  g ]. [. ( k  +  1 )  /  n ]. ps  <->  si ) )
5043, 49mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  (
h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) )  ->  [. h  /  g ]. [. (
k  +  1 )  /  n ]. ps )
51 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ n  h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A
52 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ n h
53 nfsbc1v 3010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ n [. ( k  +  1 )  /  n ]. ps
5452, 53nfsbc 3012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ n [. h  /  g ]. [. ( k  +  1 )  /  n ]. ps
5551, 54nfan 1771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ n
( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  [. h  /  g ]. [. (
k  +  1 )  /  n ]. ps )
56 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( M ... n )  =  ( M ... (
k  +  1 ) ) )
5756feq2d 5380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
h : ( M ... n ) --> A  <-> 
h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A ) )
58 sbceq1a 3001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( ps 
<-> 
[. ( k  +  1 )  /  n ]. ps ) )
5958sbcbidv 3045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( [. h  /  g ]. ps  <->  [. h  /  g ]. [. ( k  +  1 )  /  n ]. ps ) )
6057, 59anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( h : ( M ... n ) --> A  /\  [. h  /  g ]. ps ) 
<->  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  [. h  /  g ]. [. (
k  +  1 )  /  n ]. ps ) ) )
6155, 60rspce 2879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  Z  /\  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  [. h  /  g ]. [. (
k  +  1 )  /  n ]. ps ) )  ->  E. n  e.  Z  ( h : ( M ... n ) --> A  /\  [. h  /  g ]. ps ) )
6241, 42, 50, 61syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  (
h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) )  ->  E. n  e.  Z  ( h : ( M ... n ) --> A  /\  [. h  /  g ]. ps ) )
632eleq2i 2347 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( h  e.  J  <->  h  e.  { g  |  E. n  e.  Z  ( g : ( M ... n ) --> A  /\  ps ) } )
64 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ g Z
65 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ g  h : ( M ... n ) --> A
66 nfsbc1v 3010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ g
[. h  /  g ]. ps
6765, 66nfan 1771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ g ( h : ( M ... n ) --> A  /\  [. h  /  g ]. ps )
6864, 67nfrex 2598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ g E. n  e.  Z  ( h : ( M ... n ) --> A  /\  [. h  /  g ]. ps )
69 feq1 5375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( g  =  h  ->  (
g : ( M ... n ) --> A  <-> 
h : ( M ... n ) --> A ) )
70 sbceq1a 3001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( g  =  h  ->  ( ps 
<-> 
[. h  /  g ]. ps ) )
7169, 70anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g  =  h  ->  (
( g : ( M ... n ) --> A  /\  ps )  <->  ( h : ( M ... n ) --> A  /\  [. h  / 
g ]. ps ) ) )
7271rexbidv 2564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( g  =  h  ->  ( E. n  e.  Z  ( g : ( M ... n ) --> A  /\  ps )  <->  E. n  e.  Z  ( h : ( M ... n ) --> A  /\  [. h  / 
g ]. ps ) ) )
7368, 44, 72elabf 2913 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( h  e.  { g  |  E. n  e.  Z  ( g : ( M ... n ) --> A  /\  ps ) } 
<->  E. n  e.  Z  ( h : ( M ... n ) --> A  /\  [. h  /  g ]. ps ) )
7463, 73bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( h  e.  J  <->  E. n  e.  Z  ( h : ( M ... n ) --> A  /\  [. h  /  g ]. ps ) )
7562, 74sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  (
h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) )  ->  h  e.  J )
7675ex 423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si )  ->  h  e.  J )
)
7776rexlimdva 2667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  Z  ( h : ( M ... (
k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si )  ->  h  e.  J ) )
7877abssdv 3247 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  { h  |  E. k  e.  Z  (
h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) }  C_  J
)
7978ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : { M }
--> A  /\  ta )
)  /\  x  e.  J )  ->  { h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) } 
C_  J )
8019ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : { M }
--> A  /\  ta )
)  /\  x  e.  J )  ->  J  e.  _V )
81 elpw2g 4174 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  _V  ->  ( { h  |  E. k  e.  Z  (
h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) }  e.  ~P J 
<->  { h  |  E. k  e.  Z  (
h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) }  C_  J
) )
8280, 81syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : { M }
--> A  /\  ta )
)  /\  x  e.  J )  ->  ( { h  |  E. k  e.  Z  (
h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) }  e.  ~P J 
<->  { h  |  E. k  e.  Z  (
h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) }  C_  J
) )
8379, 82mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : { M }
--> A  /\  ta )
)  /\  x  e.  J )  ->  { h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) }  e.  ~P J )
84 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  k  ->  ( M ... n )  =  ( M ... k
) )
8584feq2d 5380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  k  ->  (
g : ( M ... n ) --> A  <-> 
g : ( M ... k ) --> A ) )
86 sdc.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  k  ->  ( ps 
<->  th ) )
8785, 86anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  k  ->  (
( g : ( M ... n ) --> A  /\  ps )  <->  ( g : ( M ... k ) --> A  /\  th ) ) )
8887cbvrexv 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. n  e.  Z  ( g : ( M ... n ) --> A  /\  ps )  <->  E. k  e.  Z  ( g : ( M ... k ) --> A  /\  th ) )
89 sdc.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( g : ( M ... k ) --> A  /\  th )  ->  E. h ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  g  =  ( h  |`  ( M ... k
) )  /\  si ) ) )
9089reximdva 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  Z  ( g : ( M ... k
) --> A  /\  th )  ->  E. k  e.  Z  E. h ( h : ( M ... (
k  +  1 ) ) --> A  /\  g  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si )
) )
91 rexcom4 2807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. k  e.  Z  E. h ( h : ( M ... (
k  +  1 ) ) --> A  /\  g  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si )  <->  E. h E. k  e.  Z  ( h : ( M ... (
k  +  1 ) ) --> A  /\  g  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si )
)
9290, 91syl6ib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  Z  ( g : ( M ... k
) --> A  /\  th )  ->  E. h E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  g  =  ( h  |`  ( M ... k
) )  /\  si ) ) )
9388, 92syl5bi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  Z  ( g : ( M ... n
) --> A  /\  ps )  ->  E. h E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  g  =  ( h  |`  ( M ... k
) )  /\  si ) ) )
9493ss2abdv 3246 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  { g  |  E. n  e.  Z  (
g : ( M ... n ) --> A  /\  ps ) } 
C_  { g  |  E. h E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  g  =  ( h  |`  ( M ... k
) )  /\  si ) } )
952, 94syl5eqss 3222 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  J  C_  { g  |  E. h E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  g  =  ( h  |`  ( M ... k
) )  /\  si ) } )
9695sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  J )  ->  x  e.  { g  |  E. h E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  g  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) } )
97 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  x  e. 
_V
98 eqeq1 2289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( g  =  x  ->  (
g  =  ( h  |`  ( M ... k
) )  <->  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) ) ) )
99983anbi2d 1257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  =  x  ->  (
( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  g  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si )  <->  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k
) )  /\  si ) ) )
10099rexbidv 2564 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  x  ->  ( E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  g  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si )  <->  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k
) )  /\  si ) ) )
101100exbidv 1612 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  x  ->  ( E. h E. k  e.  Z  ( h : ( M ... (
k  +  1 ) ) --> A  /\  g  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si )  <->  E. h E. k  e.  Z  ( h : ( M ... (
k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si )
) )
10297, 101elab 2914 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  { g  |  E. h E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  g  =  ( h  |`  ( M ... k
) )  /\  si ) }  <->  E. h E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k
) )  /\  si ) )
10396, 102sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  J )  ->  E. h E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) )
104 abn0 3473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k
) )  /\  si ) }  =/=  (/)  <->  E. h E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) )
105103, 104sylibr 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  J )  ->  { h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) }  =/=  (/) )
106105adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : { M }
--> A  /\  ta )
)  /\  x  e.  J )  ->  { h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) }  =/=  (/) )
107 eldifsn 3749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k
) )  /\  si ) }  e.  ( ~P J  \  { (/) } )  <->  ( { h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) }  e.  ~P J  /\  { h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k
) )  /\  si ) }  =/=  (/) ) )
10883, 106, 107sylanbrc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : { M }
--> A  /\  ta )
)  /\  x  e.  J )  ->  { h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) }  e.  ( ~P J  \  { (/) } ) )
109108adantrl 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : { M }
--> A  /\  ta )
)  /\  ( w  e.  Z  /\  x  e.  J ) )  ->  { h  |  E. k  e.  Z  (
h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) }  e.  ( ~P J  \  { (/)
} ) )
110109ralrimivva 2635 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  A. w  e.  Z  A. x  e.  J  { h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) }  e.  ( ~P J  \  { (/) } ) )
111 sdc.11 . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( w  e.  Z ,  x  e.  J  |->  { h  |  E. k  e.  Z  (
h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) } )
112111fmpt2 6191 . . . . . . . 8  |-  ( A. w  e.  Z  A. x  e.  J  {
h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k
) )  /\  si ) }  e.  ( ~P J  \  { (/) } )  <->  F : ( Z  X.  J ) --> ( ~P J  \  { (/)
} ) )
113110, 112sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  F : ( Z  X.  J ) --> ( ~P J  \  { (/) } ) )
114 iftrue 3571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ZZ  ->  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  =  M )
11521, 114syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 )  =  M )
116115fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  =  ( ZZ>= `  M ) )
117116, 3syl6eqr 2333 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  =  Z )
118117xpeq1d 4712 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  X.  J )  =  ( Z  X.  J ) )
119118feq2d 5380 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F : ( ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  X.  J ) --> ( ~P J  \  { (/) } )  <->  F :
( Z  X.  J
) --> ( ~P J  \  { (/) } ) ) )
120119biimpar 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  F :
( Z  X.  J
) --> ( ~P J  \  { (/) } ) )  ->  F : ( ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  X.  J ) --> ( ~P J  \  { (/) } ) )
121113, 120syldan 456 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  F : ( ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  X.  J ) --> ( ~P J  \  { (/) } ) )
122 0z 10035 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ZZ
123122elimel 3617 . . . . . . 7  |-  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  e.  ZZ
124 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  =  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )
125123, 124axdc4uz 11045 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  _V  /\  g  e.  J  /\  F : ( ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  X.  J ) --> ( ~P J  \  { (/) } ) )  ->  E. j ( j : ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) --> J  /\  (
j `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  =  g  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) ( j `  ( m  +  1
) )  e.  ( m F ( j `
 m ) ) ) )
12620, 39, 121, 125syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  E. j
( j : (
ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) --> J  /\  ( j `
 if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  =  g  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) ( j `  ( m  +  1
) )  e.  ( m F ( j `
 m ) ) ) )
12722, 114syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  =  M )
128127fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  ( ZZ>=
`  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  =  ( ZZ>= `  M
) )
129128, 3syl6eqr 2333 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  ( ZZ>=
`  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  =  Z )
130129feq2d 5380 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  (
j : ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) --> J  <->  j : Z
--> J ) )
13188abbii 2395 . . . . . . . . . . 11  |-  { g  |  E. n  e.  Z  ( g : ( M ... n
) --> A  /\  ps ) }  =  {
g  |  E. k  e.  Z  ( g : ( M ... k ) --> A  /\  th ) }
1322, 131eqtri 2303 . . . . . . . . . 10  |-  J  =  { g  |  E. k  e.  Z  (
g : ( M ... k ) --> A  /\  th ) }
133 feq3 5377 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  =  { g  |  E. k  e.  Z  ( g : ( M ... k ) --> A  /\  th ) }  ->  ( j : Z --> J  <->  j : Z
--> { g  |  E. k  e.  Z  (
g : ( M ... k ) --> A  /\  th ) } ) )
134132, 133ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( j : Z --> J  <->  j : Z
--> { g  |  E. k  e.  Z  (
g : ( M ... k ) --> A  /\  th ) } )
135130, 134syl6bb 252 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  (
j : ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) --> J  <->  j : Z
--> { g  |  E. k  e.  Z  (
g : ( M ... k ) --> A  /\  th ) } ) )
136127fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  (
j `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  =  ( j `
 M ) )
137136eqeq1d 2291 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  (
( j `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  =  g  <->  ( j `  M )  =  g ) )
138129raleqdv 2742 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) ( j `  (
m  +  1 ) )  e.  ( m F ( j `  m ) )  <->  A. m  e.  Z  ( j `  ( m  +  1 ) )  e.  ( m F ( j `
 m ) ) ) )
139135, 137, 1383anbi123d 1252 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  (
( j : (
ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) --> J  /\  ( j `
 if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  =  g  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) ( j `  ( m  +  1
) )  e.  ( m F ( j `
 m ) ) )  <->  ( j : Z --> { g  |  E. k  e.  Z  ( g : ( M ... k ) --> A  /\  th ) }  /\  ( j `  M )  =  g  /\  A. m  e.  Z  ( j `  ( m  +  1
) )  e.  ( m F ( j `
 m ) ) ) ) )
140 sdc.2 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  ( f  |`  ( M ... n ) )  ->  ( ps  <->  ch ) )
1417ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : { M }
--> A  /\  ta )
)  /\  ( j : Z --> { g  |  E. k  e.  Z  ( g : ( M ... k ) --> A  /\  th ) }  /\  ( j `  M )  =  g  /\  A. m  e.  Z  ( j `  ( m  +  1
) )  e.  ( m F ( j `
 m ) ) ) )  ->  A  e.  V )
14221ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : { M }
--> A  /\  ta )
)  /\  ( j : Z --> { g  |  E. k  e.  Z  ( g : ( M ... k ) --> A  /\  th ) }  /\  ( j `  M )  =  g  /\  A. m  e.  Z  ( j `  ( m  +  1
) )  e.  ( m F ( j `
 m ) ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
1431ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : { M }
--> A  /\  ta )
)  /\  ( j : Z --> { g  |  E. k  e.  Z  ( g : ( M ... k ) --> A  /\  th ) }  /\  ( j `  M )  =  g  /\  A. m  e.  Z  ( j `  ( m  +  1
) )  e.  ( m F ( j `
 m ) ) ) )  ->  E. g
( g : { M } --> A  /\  ta ) )
144 simpll 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : { M }
--> A  /\  ta )
)  /\  ( j : Z --> { g  |  E. k  e.  Z  ( g : ( M ... k ) --> A  /\  th ) }  /\  ( j `  M )  =  g  /\  A. m  e.  Z  ( j `  ( m  +  1
) )  e.  ( m F ( j `
 m ) ) ) )  ->  ph )
145144, 89sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  /\  (
j : Z --> { g  |  E. k  e.  Z  ( g : ( M ... k
) --> A  /\  th ) }  /\  (
j `  M )  =  g  /\  A. m  e.  Z  ( j `  ( m  +  1 ) )  e.  ( m F ( j `
 m ) ) ) )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( g : ( M ... k ) --> A  /\  th )  ->  E. h ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  g  =  ( h  |`  ( M ... k
) )  /\  si ) ) )
146 nfv 1605 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k ( ph  /\  (
g : { M }
--> A  /\  ta )
)
147 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
j
148 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k Z
149 nfre1 2599 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k E. k  e.  Z  ( g : ( M ... k ) --> A  /\  th )
150149nfab 2423 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k { g  |  E. k  e.  Z  (
g : ( M ... k ) --> A  /\  th ) }
151147, 148, 150nff 5387 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k  j : Z --> { g  |  E. k  e.  Z  ( g : ( M ... k
) --> A  /\  th ) }
152 nfv 1605 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k ( j `  M
)  =  g
153 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k
m
154132, 150nfcxfr 2416 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k J
155 nfre1 2599 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si )
156155nfab 2423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k { h  |  E. k  e.  Z  (
h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) }
157148, 154, 156nfmpt2 5916 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ k
( w  e.  Z ,  x  e.  J  |->  { h  |  E. k  e.  Z  (
h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) } )
158111, 157nfcxfr 2416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k F
159 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k
( j `  m
)
160153, 158, 159nfov 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k
( m F ( j `  m ) )
161160nfel2 2431 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ k ( j `  (
m  +  1 ) )  e.  ( m F ( j `  m ) )
162148, 161nfral 2596 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k A. m  e.  Z  ( j `  (
m  +  1 ) )  e.  ( m F ( j `  m ) )
163151, 152, 162nf3an 1774 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k ( j : Z --> { g  |  E. k  e.  Z  (
g : ( M ... k ) --> A  /\  th ) }  /\  ( j `  M )  =  g  /\  A. m  e.  Z  ( j `  ( m  +  1
) )  e.  ( m F ( j `
 m ) ) )
164146, 163nfan 1771 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( ( ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  /\  (
j : Z --> { g  |  E. k  e.  Z  ( g : ( M ... k
) --> A  /\  th ) }  /\  (
j `  M )  =  g  /\  A. m  e.  Z  ( j `  ( m  +  1 ) )  e.  ( m F ( j `
 m ) ) ) )
165 simpr1 961 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : { M }
--> A  /\  ta )
)  /\  ( j : Z --> { g  |  E. k  e.  Z  ( g : ( M ... k ) --> A  /\  th ) }  /\  ( j `  M )  =  g  /\  A. m  e.  Z  ( j `  ( m  +  1
) )  e.  ( m F ( j `
 m ) ) ) )  ->  j : Z --> { g  |  E. k  e.  Z  ( g : ( M ... k ) --> A  /\  th ) } )
166165, 134sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : { M }
--> A  /\  ta )
)  /\  ( j : Z --> { g  |  E. k  e.  Z  ( g : ( M ... k ) --> A  /\  th ) }  /\  ( j `  M )  =  g  /\  A. m  e.  Z  ( j `  ( m  +  1
) )  e.  ( m F ( j `
 m ) ) ) )  ->  j : Z --> J )
16726adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : { M }
--> A  /\  ta )
)  /\  ( j : Z --> { g  |  E. k  e.  Z  ( g : ( M ... k ) --> A  /\  th ) }  /\  ( j `  M )  =  g  /\  A. m  e.  Z  ( j `  ( m  +  1
) )  e.  ( m F ( j `
 m ) ) ) )  ->  g : { M } --> A )
168 simpr2 962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : { M }
--> A  /\  ta )
)  /\  ( j : Z --> { g  |  E. k  e.  Z  ( g : ( M ... k ) --> A  /\  th ) }  /\  ( j `  M )  =  g  /\  A. m  e.  Z  ( j `  ( m  +  1
) )  e.  ( m F ( j `
 m ) ) ) )  ->  (
j `  M )  =  g )
169142, 27syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : { M }
--> A  /\  ta )
)  /\  ( j : Z --> { g  |  E. k  e.  Z  ( g : ( M ... k ) --> A  /\  th ) }  /\  ( j `  M )  =  g  /\  A. m  e.  Z  ( j `  ( m  +  1
) )  e.  ( m F ( j `
 m ) ) ) )  ->  ( M ... M )  =  { M } )
170168, 169feq12d 5381 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : { M }
--> A  /\  ta )
)  /\  ( j : Z --> { g  |  E. k  e.  Z  ( g : ( M ... k ) --> A  /\  th ) }  /\  ( j `  M )  =  g  /\  A. m  e.  Z  ( j `  ( m  +  1
) )  e.  ( m F ( j `
 m ) ) ) )  ->  (
( j `  M
) : ( M ... M ) --> A  <-> 
g : { M }
--> A ) )
171167, 170mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : { M }
--> A  /\  ta )
)  /\  ( j : Z --> { g  |  E. k  e.  Z  ( g : ( M ... k ) --> A  /\  th ) }  /\  ( j `  M )  =  g  /\  A. m  e.  Z  ( j `  ( m  +  1
) )  e.  ( m F ( j `
 m ) ) ) )  ->  (
j `  M ) : ( M ... M ) --> A )
172 simpr3 963 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : { M }
--> A  /\  ta )
)  /\  ( j : Z --> { g  |  E. k  e.  Z  ( g : ( M ... k ) --> A  /\  th ) }  /\  ( j `  M )  =  g  /\  A. m  e.  Z  ( j `  ( m  +  1
) )  e.  ( m F ( j `
 m ) ) ) )  ->  A. m  e.  Z  ( j `  ( m  +  1 ) )  e.  ( m F ( j `
 m ) ) )
173 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  w  ->  (
m  +  1 )  =  ( w  + 
1 ) )
174173fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  w  ->  (
j `  ( m  +  1 ) )  =  ( j `  ( w  +  1
) ) )
175 id 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  w  ->  m  =  w )
176 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  w  ->  (
j `  m )  =  ( j `  w ) )
177175, 176oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  w  ->  (
m F ( j `
 m ) )  =  ( w F ( j `  w
) ) )
178174, 177eleq12d 2351 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  w  ->  (
( j `  (
m  +  1 ) )  e.  ( m F ( j `  m ) )  <->  ( j `  ( w  +  1 ) )  e.  ( w F ( j `
 w ) ) ) )
179178rspccva 2883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. m  e.  Z  ( j `  (
m  +  1 ) )  e.  ( m F ( j `  m ) )  /\  w  e.  Z )  ->  ( j `  (
w  +  1 ) )  e.  ( w F ( j `  w ) ) )
180172, 179sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  /\  (
j : Z --> { g  |  E. k  e.  Z  ( g : ( M ... k
) --> A  /\  th ) }  /\  (
j `  M )  =  g  /\  A. m  e.  Z  ( j `  ( m  +  1 ) )  e.  ( m F ( j `
 m ) ) ) )  /\  w  e.  Z )  ->  (
j `  ( w  +  1 ) )  e.  ( w F ( j `  w
) ) )
1813, 140, 34, 86, 46, 141, 142, 143, 145, 2, 111, 164, 166, 171, 180sdclem2 26452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : { M }
--> A  /\  ta )
)  /\  ( j : Z --> { g  |  E. k  e.  Z  ( g : ( M ... k ) --> A  /\  th ) }  /\  ( j `  M )  =  g  /\  A. m  e.  Z  ( j `  ( m  +  1
) )  e.  ( m F ( j `
 m ) ) ) )  ->  E. f
( f : Z --> A  /\  A. n  e.  Z  ch ) )
182181ex 423 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  (
( j : Z --> { g  |  E. k  e.  Z  (
g : ( M ... k ) --> A  /\  th ) }  /\  ( j `  M )  =  g  /\  A. m  e.  Z  ( j `  ( m  +  1
) )  e.  ( m F ( j `
 m ) ) )  ->  E. f
( f : Z --> A  /\  A. n  e.  Z  ch ) ) )
183139, 182sylbid 206 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  (
( j : (
ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) --> J  /\  ( j `
 if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  =  g  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) ( j `  ( m  +  1
) )  e.  ( m F ( j `
 m ) ) )  ->  E. f
( f : Z --> A  /\  A. n  e.  Z  ch ) ) )
184183exlimdv 1664 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  ( E. j ( j : ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) --> J  /\  (
j `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  =  g  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) ( j `  ( m  +  1
) )  e.  ( m F ( j `
 m ) ) )  ->  E. f
( f : Z --> A  /\  A. n  e.  Z  ch ) ) )
185126, 184mpd 14 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  E. f
( f : Z --> A  /\  A. n  e.  Z  ch ) )
186185ex 423 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( g : { M } --> A  /\  ta )  ->  E. f
( f : Z --> A  /\  A. n  e.  Z  ch ) ) )
187186exlimdv 1664 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. g ( g : { M }
--> A  /\  ta )  ->  E. f ( f : Z --> A  /\  A. n  e.  Z  ch ) ) )
1881, 187mpd 14 1  |-  ( ph  ->  E. f ( f : Z --> A  /\  A. n  e.  Z  ch ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788   [.wsbc 2991    \ cdif 3149    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ifcif 3565   ~Pcpw 3625   {csn 3640    X. cxp 4687    |` cres 4691   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860    ^m cmap 6772   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782
This theorem is referenced by:  sdc  26454
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-dc 8072  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783
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