MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdom0 Unicode version

Theorem sdom0 7175
Description: The empty set does not strictly dominate any set. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
sdom0  |-  -.  A  ~< 
(/)

Proof of Theorem sdom0
StepHypRef Expression
1 relsdom 7052 . . . 4  |-  Rel  ~<
21brrelexi 4858 . . 3  |-  ( A 
~<  (/)  ->  A  e.  _V )
3 0domg 7170 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  (/)  ~<_  A )
42, 3syl 16 . 2  |-  ( A 
~<  (/)  ->  (/)  ~<_  A )
5 domnsym 7169 . . 3  |-  ( (/)  ~<_  A  ->  -.  A  ~<  (/) )
65con2i 114 . 2  |-  ( A 
~<  (/)  ->  -.  (/)  ~<_  A )
74, 6pm2.65i 167 1  |-  -.  A  ~< 
(/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    e. wcel 1717   _Vcvv 2899   (/)c0 3571   class class class wbr 4153    ~<_ cdom 7043    ~< csdm 7044
This theorem is referenced by:  domunsn  7193  sdomsdomcardi  7791  canthp1lem1  8460  canthp1lem2  8461  rankcf  8585
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048
  Copyright terms: Public domain W3C validator