MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdomsdomcard Structured version   Unicode version

Theorem sdomsdomcard 8437
Description: A set strictly dominates iff its cardinal strictly dominates. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
sdomsdomcard  |-  ( A 
~<  B  <->  A  ~<  ( card `  B ) )

Proof of Theorem sdomsdomcard
StepHypRef Expression
1 relsdom 7118 . . . . 5  |-  Rel  ~<
21brrelex2i 4921 . . . 4  |-  ( A 
~<  B  ->  B  e. 
_V )
3 numth3 8352 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  B  e.  dom  card )
4 cardid2 7842 . . . 4  |-  ( B  e.  dom  card  ->  (
card `  B )  ~~  B )
5 ensym 7158 . . . 4  |-  ( (
card `  B )  ~~  B  ->  B  ~~  ( card `  B )
)
62, 3, 4, 54syl 20 . . 3  |-  ( A 
~<  B  ->  B  ~~  ( card `  B )
)
7 sdomentr 7243 . . 3  |-  ( ( A  ~<  B  /\  B  ~~  ( card `  B
) )  ->  A  ~<  ( card `  B
) )
86, 7mpdan 651 . 2  |-  ( A 
~<  B  ->  A  ~<  (
card `  B )
)
9 sdomsdomcardi 7860 . 2  |-  ( A 
~<  ( card `  B
)  ->  A  ~<  B )
108, 9impbii 182 1  |-  ( A 
~<  B  <->  A  ~<  ( card `  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    e. wcel 1726   _Vcvv 2958   class class class wbr 4214   dom cdm 4880   ` cfv 5456    ~~ cen 7108    ~< csdm 7110   cardccrd 7824
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-ac2 8345
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-suc 4589  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-riota 6551  df-recs 6635  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-card 7828  df-ac 7999
  Copyright terms: Public domain W3C validator