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Theorem selberg3r 20718
Description: Selberg's symmetry formula, using the residual of the second Chebyshev function. Equation 10.6.8 of [Shapiro], p. 429. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntrval.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
Assertion
Ref Expression
selberg3r  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  |->  ( ( ( ( R `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  ( R `  (
x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  x
) )  e.  O
( 1 )
Distinct variable groups:    n, a, x    R, n, x
Allowed substitution hint:    R( a)

Proof of Theorem selberg3r
StepHypRef Expression
1 elioore 10686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  ->  x  e.  RR )
21adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  x  e.  RR )
3 1rp 10358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR+
43a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  e.  RR+ )
54rpred 10390 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  e.  RR )
6 eliooord 10710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  ->  (
1  <  x  /\  x  <  +oo ) )
76adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
1  <  x  /\  x  <  +oo ) )
87simpld 445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  <  x )
95, 2, 8ltled 8967 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  <_  x )
102, 4, 9rpgecld 10425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  x  e.  RR+ )
1110relogcld 19974 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
1211recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  CC )
13122timesd 9954 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
2  x.  ( log `  x ) )  =  ( ( log `  x
)  +  ( log `  x ) ) )
1413oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( ( log `  x
)  +  ( log `  x ) ) ) )
15 chpcl 20362 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
162, 15syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
1716, 11remulcld 8863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
(ψ `  x )  x.  ( log `  x
) )  e.  RR )
18 2re 9815 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  RR
1918a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  2  e.  RR )
202, 8rplogcld 19980 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR+ )
2119, 20rerpdivcld 10417 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
2  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
22 fzfid 11035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
23 elfznn 10819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
2423adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
25 vmacl 20356 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
2624, 25syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  RR )
272adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR )
2827, 24nndivred 9794 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR )
29 chpcl 20362 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR  ->  (ψ `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
3028, 29syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
x  /  n ) )  e.  RR )
3126, 30remulcld 8863 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  e.  RR )
3224nnrpd 10389 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
3332relogcld 19974 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  RR )
3431, 33remulcld 8863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
3522, 34fsumrecl 12207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
3621, 35remulcld 8863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  RR )
3717, 36readdcld 8862 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  e.  RR )
3837, 10rerpdivcld 10417 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  e.  RR )
3938recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  e.  CC )
4039, 12, 12subsub4d 9188 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( log `  x ) )  -  ( log `  x ) )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( ( log `  x
)  +  ( log `  x ) ) ) )
4114, 40eqtr4d 2318 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) )  =  ( ( ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( log `  x ) )  -  ( log `  x ) ) )
4241oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) )  -  ( ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )  -  ( log `  x ) ) )  =  ( ( ( ( ( ( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( log `  x ) )  -  ( log `  x ) )  -  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) )  -  ( log `  x ) ) ) )
4339, 12subcld 9157 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( log `  x ) )  e.  CC )
44 2cn 9816 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
4544a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  2  e.  CC )
4620rpne0d 10395 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x )  =/=  0 )
4745, 12, 46divcld 9536 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
2  /  ( log `  x ) )  e.  CC )
4826, 24nndivred 9794 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  RR )
4948, 33remulcld 8863 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) )  e.  RR )
5022, 49fsumrecl 12207 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
5150recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  e.  CC )
5247, 51mulcld 8855 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  CC )
5343, 52, 12nnncan2d 9192 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( ( ( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( log `  x ) )  -  ( log `  x ) )  -  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) )  -  ( log `  x ) ) )  =  ( ( ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )
54 pntrval.r . . . . . . . . . . . . 13  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
5554pntrf 20712 . . . . . . . . . . . 12  |-  R : RR+
--> RR
5655ffvelrni 5664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( R `
 x )  e.  RR )
5710, 56syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( R `  x )  e.  RR )
5857recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( R `  x )  e.  CC )
5958, 12mulcld 8855 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( R `  x
)  x.  ( log `  x ) )  e.  CC )
6036recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  CC )
6159, 60addcld 8854 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( R `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  e.  CC )
622recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  x  e.  CC )
6362, 52mulcld 8855 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
x  x.  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  e.  CC )
6410rpne0d 10395 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  x  =/=  0 )
6561, 63, 62, 64divsubdird 9575 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( ( R `  x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  -  ( x  x.  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  x )  =  ( ( ( ( ( R `  x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( ( x  x.  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  x
) ) )
6659, 60, 63addsubassd 9177 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  -  ( x  x.  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  =  ( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  ( x  x.  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) ) )
6735recnd 8861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  CC )
6862, 51mulcld 8855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  CC )
6947, 67, 68subdid 9235 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  (
x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  =  ( ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  (
x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) )
7049recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) )  e.  CC )
7122, 62, 70fsummulc2 12246 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( x  x.  ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) )
7271oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  (
x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( x  x.  ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )
7334recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  CC )
7462adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  CC )
7574, 70mulcld 8855 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  x.  ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  CC )
7622, 73, 75fsumsub 12250 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  (
x  x.  ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( x  x.  ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )
7772, 76eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  (
x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  (
x  x.  ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) ) )
7826recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  CC )
7930recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
x  /  n ) )  e.  CC )
8033recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  CC )
8178, 79, 80mul32d 9022 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  =  ( ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) ) )
8224nncnd 9762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  CC )
8324nnne0d 9790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  =/=  0 )
8478, 80, 82, 83div23d 9573 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  x.  ( log `  n
) )  /  n
)  =  ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) )
8584oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  x.  ( ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) )  /  n ) )  =  ( x  x.  (
( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) )
8678, 80mulcld 8855 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n ) )  e.  CC )
8774, 86, 82, 83div12d 9572 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  x.  ( ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) )  /  n ) )  =  ( ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) )  x.  ( x  /  n
) ) )
8885, 87eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  x.  ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )  =  ( ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) )  x.  ( x  /  n
) ) )
8981, 88oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  (
x  x.  ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) )  =  ( ( ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  -  ( ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n ) )  x.  ( x  /  n ) ) ) )
9010adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
9190, 32rpdivcld 10407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR+ )
9254pntrval 20711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR+  ->  ( R `
 ( x  /  n ) )  =  ( (ψ `  (
x  /  n ) )  -  ( x  /  n ) ) )
9391, 92syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  n
) )  =  ( (ψ `  ( x  /  n ) )  -  ( x  /  n
) ) )
9493oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  x.  ( log `  n
) )  x.  ( R `  ( x  /  n ) ) )  =  ( ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n ) )  x.  ( (ψ `  ( x  /  n
) )  -  (
x  /  n ) ) ) )
9528recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  CC )
9686, 79, 95subdid 9235 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  x.  ( log `  n
) )  x.  (
(ψ `  ( x  /  n ) )  -  ( x  /  n
) ) )  =  ( ( ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n ) )  x.  (ψ `  (
x  /  n ) ) )  -  (
( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) )  x.  (
x  /  n ) ) ) )
9794, 96eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  x.  ( log `  n
) )  x.  ( R `  ( x  /  n ) ) )  =  ( ( ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) )  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  -  ( ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) )  x.  ( x  /  n
) ) ) )
9889, 97eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  (
x  x.  ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) )  =  ( ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) )  x.  ( R `  (
x  /  n ) ) ) )
9955ffvelrni 5664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR+  ->  ( R `
 ( x  /  n ) )  e.  RR )
10091, 99syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
101100recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
10278, 101, 80mul32d 9022 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  x.  ( R `  (
x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n ) )  =  ( ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n ) )  x.  ( R `  ( x  /  n
) ) ) )
10398, 102eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  (
x  x.  ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) )  =  ( ( (Λ `  n
)  x.  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )
104103sumeq2dv 12176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  (
x  x.  ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  ( R `  (
x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n ) ) )
10577, 104eqtrd 2315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  (
x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )
106105oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  (
x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  =  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )
10747, 62, 51mul12d 9021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  ( x  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  =  ( x  x.  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) ) )
108107oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  (
x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  =  ( ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  ( x  x.  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) )
10969, 106, 1083eqtr3rd 2324 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  ( x  x.  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  =  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )
110109oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( R `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  ( x  x.  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) )  =  ( ( ( R `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  ( R `  (
x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n ) ) ) ) )
11166, 110eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  -  ( x  x.  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  =  ( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )
112111oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( ( R `  x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  -  ( x  x.  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  x )  =  ( ( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) )
11354pntrval 20711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( R `
 x )  =  ( (ψ `  x
)  -  x ) )
11410, 113syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( R `  x )  =  ( (ψ `  x )  -  x
) )
115114oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( R `  x
)  x.  ( log `  x ) )  =  ( ( (ψ `  x )  -  x
)  x.  ( log `  x ) ) )
11616recnd 8861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (ψ `  x )  e.  CC )
117116, 62, 12subdird 9236 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( (ψ `  x
)  -  x )  x.  ( log `  x
) )  =  ( ( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( x  x.  ( log `  x ) ) ) )
118115, 117eqtrd 2315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( R `  x
)  x.  ( log `  x ) )  =  ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  -  ( x  x.  ( log `  x
) ) ) )
119118oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( R `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  =  ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x
) )  -  (
x  x.  ( log `  x ) ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )
12017recnd 8861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
(ψ `  x )  x.  ( log `  x
) )  e.  CC )
12162, 12mulcld 8855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
x  x.  ( log `  x ) )  e.  CC )
122120, 60, 121addsubd 9178 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  -  ( x  x.  ( log `  x
) ) )  =  ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  -  ( x  x.  ( log `  x
) ) )  +  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )
123119, 122eqtr4d 2318 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( R `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  =  ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  -  ( x  x.  ( log `  x
) ) ) )
124123oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  -  ( x  x.  ( log `  x
) ) )  /  x ) )
12537recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  e.  CC )
126125, 121, 62, 64divsubdird 9575 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  -  ( x  x.  ( log `  x
) ) )  /  x )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( ( x  x.  ( log `  x
) )  /  x
) ) )
12712, 62, 64divcan3d 9541 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( x  x.  ( log `  x ) )  /  x )  =  ( log `  x
) )
128127oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( ( x  x.  ( log `  x
) )  /  x
) )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( log `  x ) ) )
129126, 128eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  -  ( x  x.  ( log `  x
) ) )  /  x )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( log `  x ) ) )
130124, 129eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( log `  x ) ) )
13152, 62, 64divcan3d 9541 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( x  x.  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  =  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) )
132130, 131oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( ( R `  x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( ( x  x.  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  x
) )  =  ( ( ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )
13365, 112, 1323eqtr3rd 2324 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  =  ( ( ( ( R `  x
)  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  ( R `  (
x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  x
) )
13442, 53, 1333eqtrrd 2320 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  =  ( ( ( ( ( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) )  -  ( ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )  -  ( log `  x ) ) ) )
135134mpteq2dva 4106 . . 3  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( ( R `  x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) )  =  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) )  -  ( ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )  -  ( log `  x ) ) ) ) )
13619, 11remulcld 8863 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
2  x.  ( log `  x ) )  e.  RR )
13738, 136resubcld 9211 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
13821, 50remulcld 8863 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  RR )
139138, 11resubcld 9211 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) )  -  ( log `  x ) )  e.  RR )
140 selberg3 20708 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  |->  ( ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  O
( 1 )
141140a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  O
( 1 ) )
14219recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  2  e.  CC )
14350, 20rerpdivcld 10417 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
144143recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  e.  CC )
14511rehalfcld 9958 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  /  2 )  e.  RR )
146145recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  /  2 )  e.  CC )
147142, 144, 146subdid 9235 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
2  x.  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  =  ( ( 2  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) ) )  -  ( 2  x.  ( ( log `  x )  /  2
) ) ) )
148142, 12, 51, 46div32d 9559 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )  =  ( 2  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) ) ) )
149148eqcomd 2288 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
2  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) )  /  ( log `  x
) ) )  =  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) )
150 2ne0 9829 . . . . . . . . . 10  |-  2  =/=  0
151150a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  2  =/=  0 )
15212, 142, 151divcan2d 9538 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
2  x.  ( ( log `  x )  /  2 ) )  =  ( log `  x
) )
153149, 152oveq12d 5876 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( 2  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) ) )  -  ( 2  x.  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  =  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) )  -  ( log `  x ) ) )
154147, 153eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
2  x.  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  =  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) )  -  ( log `  x ) ) )
155154mpteq2dva 4106 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( 2  x.  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )  -  ( log `  x ) ) ) )
156143, 145resubcld 9211 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) )  e.  RR )
157 ioossre 10712 . . . . . . . 8  |-  ( 1 (,)  +oo )  C_  RR
158 o1const 12093 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1 (,)  +oo )  C_  RR  /\  2  e.  CC )  ->  (
x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  2 )  e.  O ( 1 ) )
159157, 44, 158mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  |->  2 )  e.  O ( 1 )
160159a1i 10 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  2 )  e.  O
( 1 ) )
161 vmalogdivsum 20688 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  |->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  e.  O ( 1 )
162161a1i 10 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  e.  O ( 1 ) )
16319, 156, 160, 162o1mul2 12098 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( 2  x.  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
164155, 163eqeltrrd 2358 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) )  -  ( log `  x ) ) )  e.  O ( 1 ) )
165137, 139, 141, 164o1sub2 12099 . . 3  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( ( ( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) )  -  ( ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
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) ) )  -  ( log `  x ) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
166135, 165eqeltrd 2357 . 2  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( ( R `  x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) )  e.  O ( 1 ) )
167166trud 1314 1  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  |->  ( ( ( ( R `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  ( R `  (
x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  x
) )  e.  O
( 1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    T. wtru 1307    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    +oocpnf 8864    < clt 8867    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   ...cfz 10782   |_cfl 10924   O ( 1 )co1 11960   sum_csu 12158   logclog 19912  Λcvma 20329  ψcchp 20330
This theorem is referenced by:  selberg34r  20720
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-o1 11964  df-lo1 11965  df-sum 12159  df-ef 12349  df-e 12350  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-pc 12890  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-cxp 19915  df-em 20287  df-cht 20334  df-vma 20335  df-chp 20336  df-ppi 20337  df-mu 20338
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