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Theorem selbergb 20698
Description: Convert eventual boundedness in selberg 20697 to boundedness on  [ 1 , 
+oo ). (We have to bound away from zero because the log terms diverge at zero.) (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
selbergb  |-  E. c  e.  RR+  A. x  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x )  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) )  <_  c
Distinct variable group:    n, c, x

Proof of Theorem selbergb
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 8837 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
2 elicopnf 10739 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
x  e.  ( 1 [,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) ) )
31, 2mp1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) ) )
43simprbda 606 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  x  e.  RR )
54ex 423 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  ->  x  e.  RR ) )
65ssrdv 3185 . . 3  |-  (  T. 
->  ( 1 [,)  +oo )  C_  RR )
71a1i 10 . . 3  |-  (  T. 
->  1  e.  RR )
8 fzfid 11035 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
9 elfznn 10819 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
109adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
11 vmacl 20356 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
1210, 11syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  RR )
1310nnrpd 10389 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
1413relogcld 19974 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  RR )
154adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR )
1615, 10nndivred 9794 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR )
17 chpcl 20362 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR  ->  (ψ `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
1816, 17syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
x  /  n ) )  e.  RR )
1914, 18readdcld 8862 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( log `  n )  +  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  e.  RR )
2012, 19remulcld 8863 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  (
( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  e.  RR )
218, 20fsumrecl 12207 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  e.  RR )
22 1rp 10358 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR+
2322a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  1  e.  RR+ )
243simplbda 607 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  1  <_  x )
254, 23, 24rpgecld 10425 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  x  e.  RR+ )
2621, 25rerpdivcld 10417 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x )  e.  RR )
27 2re 9815 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
2827a1i 10 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  2  e.  RR )
2925relogcld 19974 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
3028, 29remulcld 8863 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  (
2  x.  ( log `  x ) )  e.  RR )
3126, 30resubcld 9211 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x )  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
3231recnd 8861 . . 3  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x )  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) )  e.  CC )
3325ex 423 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  ->  x  e.  RR+ )
)
3433ssrdv 3185 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( 1 [,)  +oo )  C_  RR+ )
35 selberg 20697 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  O
( 1 )
3635a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x )  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
3734, 36o1res2 12037 . . 3  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x )  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
38 fzfid 11035 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  -> 
( 1 ... ( |_ `  y ) )  e.  Fin )
39 elfznn 10819 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) )  ->  n  e.  NN )
4039adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  (
y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) )  ->  n  e.  NN )
4140, 11syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  (
y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  RR )
4240nnrpd 10389 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  (
y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
4342relogcld 19974 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  (
y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  RR )
44 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  -> 
y  e.  RR )
4544adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  (
y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) )  ->  y  e.  RR )
4645, 40nndivred 9794 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  (
y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) )  ->  ( y  /  n )  e.  RR )
47 chpcl 20362 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  /  n )  e.  RR  ->  (ψ `  ( y  /  n
) )  e.  RR )
4846, 47syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  (
y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) )  ->  (ψ `  (
y  /  n ) )  e.  RR )
4943, 48readdcld 8862 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  (
y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) )  ->  ( ( log `  n )  +  (ψ `  ( y  /  n ) ) )  e.  RR )
5041, 49remulcld 8863 . . . . 5  |-  ( ( (  T.  /\  (
y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  (
( log `  n
)  +  (ψ `  ( y  /  n
) ) ) )  e.  RR )
5138, 50fsumrecl 12207 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( y  /  n
) ) ) )  e.  RR )
5227a1i 10 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  -> 
2  e.  RR )
5322a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  -> 
1  e.  RR+ )
54 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  -> 
1  <_  y )
5544, 53, 54rpgecld 10425 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  -> 
y  e.  RR+ )
5655relogcld 19974 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  -> 
( log `  y
)  e.  RR )
5752, 56remulcld 8863 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  -> 
( 2  x.  ( log `  y ) )  e.  RR )
5851, 57readdcld 8862 . . 3  |-  ( (  T.  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  -> 
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
y  /  n ) ) ) )  +  ( 2  x.  ( log `  y ) ) )  e.  RR )
5931adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
6059recnd 8861 . . . . 5  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) )  e.  CC )
6160abscld 11918 . . . 4  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x )  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  RR )
6226adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  (
( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x )  e.  RR )
6330adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( 2  x.  ( log `  x
) )  e.  RR )
6462, 63readdcld 8862 . . . 4  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x )  +  ( 2  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
65 fzfid 11035 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  y ) )  e. 
Fin )
6639adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  n  e.  NN )
6766, 11syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
6866nnrpd 10389 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
6968relogcld 19974 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  ( log `  n
)  e.  RR )
70 simprll 738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  y  e.  RR )
7170adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  y  e.  RR )
7271, 66nndivred 9794 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  ( y  /  n )  e.  RR )
7372, 47syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  (ψ `  (
y  /  n ) )  e.  RR )
7469, 73readdcld 8862 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  ( ( log `  n )  +  (ψ `  ( y  /  n
) ) )  e.  RR )
7567, 74remulcld 8863 . . . . . 6  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
y  /  n ) ) ) )  e.  RR )
7665, 75fsumrecl 12207 . . . . 5  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
y  /  n ) ) ) )  e.  RR )
7727a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  2  e.  RR )
7825adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  e.  RR+ )
794adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  e.  RR )
80 simprr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  <  y )
8179, 70, 80ltled 8967 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  <_  y )
8270, 78, 81rpgecld 10425 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  y  e.  RR+ )
8382relogcld 19974 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( log `  y )  e.  RR )
8477, 83remulcld 8863 . . . . 5  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( 2  x.  ( log `  y
) )  e.  RR )
8576, 84readdcld 8862 . . . 4  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( (Λ `  n )  x.  (
( log `  n
)  +  (ψ `  ( y  /  n
) ) ) )  +  ( 2  x.  ( log `  y
) ) )  e.  RR )
8662recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  (
( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x )  e.  CC )
8763recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( 2  x.  ( log `  x
) )  e.  CC )
8886, 87abs2dif2d 11940 . . . . 5  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x )  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) )  <_  ( ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x ) )  +  ( abs `  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) ) )
8921adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  e.  RR )
90 vmage0 20359 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  (Λ `  n )
)
9110, 90syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  (Λ `  n ) )
9210nnred 9761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR )
9310nnge1d 9788 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  <_  n )
9492, 93logge0d 19981 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( log `  n ) )
95 chpge0 20364 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR  ->  0  <_  (ψ `  ( x  /  n ) ) )
9616, 95syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  (ψ `  ( x  /  n
) ) )
9714, 18, 94, 96addge0d 9348 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )
9812, 19, 91, 97mulge0d 9349 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) ) )
998, 20, 98fsumge0 12253 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  0  <_ 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) ) )
10099adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) ) )
10189, 78, 100divge0d 10426 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x ) )
10262, 101absidd 11905 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x ) )
10378relogcld 19974 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
104 2rp 10359 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR+
105 rpge0 10366 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  e.  RR+  ->  0  <_ 
2 )
106104, 105mp1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  2 )
10724adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  1  <_  x )
10879, 107logge0d 19981 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  ( log `  x ) )
10977, 103, 106, 108mulge0d 9349 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  ( 2  x.  ( log `  x ) ) )
11063, 109absidd 11905 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  ( 2  x.  ( log `  x ) ) )  =  ( 2  x.  ( log `  x
) ) )
111102, 110oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x ) )  +  ( abs `  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) )  =  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x )  +  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) )
11288, 111breqtrd 4047 . . . 4  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x )  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) )  <_  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x )  +  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) )
11322a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  1  e.  RR+ )
11479adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  x  e.  RR )
115114, 66nndivred 9794 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR )
116115, 17syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  (ψ `  (
x  /  n ) )  e.  RR )
11769, 116readdcld 8862 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  ( ( log `  n )  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  e.  RR )
11867, 117remulcld 8863 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  e.  RR )
11965, 118fsumrecl 12207 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  e.  RR )
12066, 90syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  0  <_  (Λ `  n ) )
12166nnred 9761 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  n  e.  RR )
12266nnge1d 9788 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  1  <_  n
)
123121, 122logge0d 19981 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  0  <_  ( log `  n ) )
124115, 95syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  0  <_  (ψ `  ( x  /  n
) ) )
12569, 116, 123, 124addge0d 9348 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  0  <_  (
( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )
12667, 117, 120, 125mulge0d 9349 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  0  <_  (
(Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) ) )
127 flword2 10943 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <_  y )  ->  ( |_ `  y )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  x ) ) )
12879, 70, 81, 127syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( |_ `  y )  e.  (
ZZ>= `  ( |_ `  x ) ) )
129 fzss2 10831 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( |_ `  y )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  x ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  C_  (
1 ... ( |_ `  y ) ) )
130128, 129syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  C_  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )
13165, 118, 126, 130fsumless 12254 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) ) )
13281adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  x  <_  y
)
133114, 71, 68, 132lediv1dd 10444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  ( x  /  n )  <_  (
y  /  n ) )
134 chpwordi 20395 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  /  n
)  e.  RR  /\  ( y  /  n
)  e.  RR  /\  ( x  /  n
)  <_  ( y  /  n ) )  -> 
(ψ `  ( x  /  n ) )  <_ 
(ψ `  ( y  /  n ) ) )
135115, 72, 133, 134syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  (ψ `  (
x  /  n ) )  <_  (ψ `  (
y  /  n ) ) )
136116, 73, 69, 135leadd2dd 9387 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  ( ( log `  n )  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  <_ 
( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( y  /  n
) ) ) )
137117, 74, 67, 120, 136lemul2ad 9697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  <_ 
( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( y  /  n
) ) ) ) )
13865, 118, 75, 137fsumle 12257 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( y  /  n
) ) ) ) )
13989, 119, 76, 131, 138letrd 8973 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( y  /  n
) ) ) ) )
14089, 76, 113, 79, 100, 139, 107lediv12ad 10445 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  (
( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x )  <_ 
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
y  /  n ) ) ) )  / 
1 ) )
14176recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
y  /  n ) ) ) )  e.  CC )
142141div1d 9528 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( (Λ `  n )  x.  (
( log `  n
)  +  (ψ `  ( y  /  n
) ) ) )  /  1 )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( y  /  n
) ) ) ) )
143140, 142breqtrd 4047 . . . . 5  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  (
( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( y  /  n
) ) ) ) )
14478, 82logled 19978 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( x  <_  y  <->  ( log `  x
)  <_  ( log `  y ) ) )
14581, 144mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( log `  x )  <_  ( log `  y ) )
146103, 83, 77, 106, 145lemul2ad 9697 . . . . 5  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( 2  x.  ( log `  x
) )  <_  (
2  x.  ( log `  y ) ) )
14762, 63, 76, 84, 143, 146le2addd 9390 . . . 4  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x )  +  ( 2  x.  ( log `  x ) ) )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( (Λ `  n )  x.  (
( log `  n
)  +  (ψ `  ( y  /  n
) ) ) )  +  ( 2  x.  ( log `  y
) ) ) )
14861, 64, 85, 112, 147letrd 8973 . . 3  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x )  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( (Λ `  n )  x.  (
( log `  n
)  +  (ψ `  ( y  /  n
) ) ) )  +  ( 2  x.  ( log `  y
) ) ) )
1496, 7, 32, 37, 58, 148o1bddrp 12016 . 2  |-  (  T. 
->  E. c  e.  RR+  A. x  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x )  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) )  <_  c )
150149trud 1314 1  |-  E. c  e.  RR+  A. x  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x )  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) )  <_  c
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    T. wtru 1307    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    +oocpnf 8864    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354   [,)cico 10658   ...cfz 10782   |_cfl 10924   abscabs 11719   O ( 1 )co1 11960   sum_csu 12158   logclog 19912  Λcvma 20329  ψcchp 20330
This theorem is referenced by:  selberg4  20710  selbergsb  20724
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-o1 11964  df-lo1 11965  df-sum 12159  df-ef 12349  df-e 12350  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-pc 12890  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-cxp 19915  df-em 20287  df-vma 20335  df-chp 20336  df-mu 20338
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