MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  selberglem3 Structured version   Unicode version

Theorem selberglem3 21233
Description: Lemma for selberg 21234. Estimation of the left-hand side of logsqvma2 21229. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
selberglem3  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( log `  (
n  /  d ) ) ^ 2 ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) )  e.  O ( 1 )
Distinct variable group:    n, d, x, y

Proof of Theorem selberglem3
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6080 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  (
n  /  d )  =  ( ( d  x.  m )  / 
d ) )
21fveq2d 5724 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  ( log `  ( n  / 
d ) )  =  ( log `  (
( d  x.  m
)  /  d ) ) )
32oveq1d 6088 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  (
( log `  (
n  /  d ) ) ^ 2 )  =  ( ( log `  ( ( d  x.  m )  /  d
) ) ^ 2 ) )
43oveq2d 6089 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  (
( mmu `  d
)  x.  ( ( log `  ( n  /  d ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( mmu `  d )  x.  (
( log `  (
( d  x.  m
)  /  d ) ) ^ 2 ) ) )
5 rpre 10610 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
6 ssrab2 3420 . . . . . . . . . . 11  |-  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  C_  NN
7 simprr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  d  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } ) )  -> 
d  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n } )
86, 7sseldi 3338 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  d  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } ) )  -> 
d  e.  NN )
9 mucl 20916 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  NN  ->  (
mmu `  d )  e.  ZZ )
108, 9syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  d  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } ) )  -> 
( mmu `  d
)  e.  ZZ )
1110zcnd 10368 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  d  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } ) )  -> 
( mmu `  d
)  e.  CC )
12 elfznn 11072 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
1312nnrpd 10639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  RR+ )
1413ad2antrl 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  d  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } ) )  ->  n  e.  RR+ )
158nnrpd 10639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  d  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } ) )  -> 
d  e.  RR+ )
1614, 15rpdivcld 10657 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  d  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } ) )  -> 
( n  /  d
)  e.  RR+ )
17 relogcl 20465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  /  d )  e.  RR+  ->  ( log `  ( n  /  d
) )  e.  RR )
1817recnd 9106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  /  d )  e.  RR+  ->  ( log `  ( n  /  d
) )  e.  CC )
1916, 18syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  d  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } ) )  -> 
( log `  (
n  /  d ) )  e.  CC )
2019sqcld 11513 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  d  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } ) )  -> 
( ( log `  (
n  /  d ) ) ^ 2 )  e.  CC )
2111, 20mulcld 9100 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  d  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } ) )  -> 
( ( mmu `  d )  x.  (
( log `  (
n  /  d ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
224, 5, 21dvdsflsumcom 20965 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ d  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n } 
( ( mmu `  d )  x.  (
( log `  (
n  /  d ) ) ^ 2 ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  d
) ) ) ( ( mmu `  d
)  x.  ( ( log `  ( ( d  x.  m )  /  d ) ) ^ 2 ) ) )
23 elfznn 11072 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  d ) ) )  ->  m  e.  NN )
24233ad2ant3 980 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
2524nncnd 10008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  CC )
26 elfznn 11072 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  d  e.  NN )
27263ad2ant2 979 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  d  e.  NN )
2827nncnd 10008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  d  e.  CC )
2927nnne0d 10036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  d  =/=  0 )
3025, 28, 29divcan3d 9787 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
d  x.  m )  /  d )  =  m )
3130fveq2d 5724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  ( ( d  x.  m )  /  d
) )  =  ( log `  m ) )
3231oveq1d 6088 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( log `  ( ( d  x.  m )  / 
d ) ) ^
2 )  =  ( ( log `  m
) ^ 2 ) )
3332oveq2d 6089 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( log `  (
( d  x.  m
)  /  d ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( mmu `  d )  x.  ( ( log `  m ) ^ 2 ) ) )
34332sumeq2dv 12491 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  d
) ) ) ( ( mmu `  d
)  x.  ( ( log `  ( ( d  x.  m )  /  d ) ) ^ 2 ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  d
) ) ) ( ( mmu `  d
)  x.  ( ( log `  m ) ^ 2 ) ) )
3522, 34eqtrd 2467 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ d  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n } 
( ( mmu `  d )  x.  (
( log `  (
n  /  d ) ) ^ 2 ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  d
) ) ) ( ( mmu `  d
)  x.  ( ( log `  m ) ^ 2 ) ) )
3635oveq1d 6088 . . . 4  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) sum_ d  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } 
( ( mmu `  d )  x.  (
( log `  (
n  /  d ) ) ^ 2 ) )  /  x )  =  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  d
) ) ) ( ( mmu `  d
)  x.  ( ( log `  m ) ^ 2 ) )  /  x ) )
3736oveq1d 6088 . . 3  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( log `  (
n  /  d ) ) ^ 2 ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) )  =  ( ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  d
) ) ) ( ( mmu `  d
)  x.  ( ( log `  m ) ^ 2 ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) )
3837mpteq2ia 4283 . 2  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( log `  (
n  /  d ) ) ^ 2 ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  d ) ) ) ( ( mmu `  d )  x.  ( ( log `  m ) ^ 2 ) )  /  x
)  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) )
39 eqid 2435 . . 3  |-  ( ( ( ( log `  (
x  /  d ) ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  ( x  / 
d ) ) ) ) )  /  d
)  =  ( ( ( ( log `  (
x  /  d ) ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  ( x  / 
d ) ) ) ) )  /  d
)
4039selberglem2 21232 . 2  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  d
) ) ) ( ( mmu `  d
)  x.  ( ( log `  m ) ^ 2 ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  O
( 1 )
4138, 40eqeltri 2505 1  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( log `  (
n  /  d ) ) ^ 2 ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) )  e.  O ( 1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2701   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987    - cmin 9283    / cdiv 9669   NNcn 9992   2c2 10041   ZZcz 10274   RR+crp 10604   ...cfz 11035   |_cfl 11193   ^cexp 11374   O ( 1 )co1 12272   sum_csu 12471    || cdivides 12844   logclog 20444   mmucmu 20869
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-disj 4175  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ioc 10913  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-fac 11559  df-bc 11586  df-hash 11611  df-shft 11874  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-limsup 12257  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-o1 12276  df-lo1 12277  df-sum 12472  df-ef 12662  df-e 12663  df-sin 12664  df-cos 12665  df-pi 12667  df-dvds 12845  df-gcd 12999  df-prm 13072  df-pc 13203  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-lp 17192  df-perf 17193  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-haus 17371  df-cmp 17442  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-cncf 18900  df-limc 19745  df-dv 19746  df-log 20446  df-cxp 20447  df-em 20823  df-mu 20875
  Copyright terms: Public domain W3C validator