Theorem seq0fval 6535

Description: Value of the 0-based recursive sequence builder operation.

Hypotheses

Ref	Expression
seq0val.1	|- S e. V
seq0val.2	|- F e. V

Assertion

Ref	Expression
seq0fval	|- (S seq0 F) = (((S seq1 (F shift 1)) shift -u1) |` NN0)

Proof of Theorem seq0fval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seq0val.1	. 2 |- S e. V
2		seq0val.2	. 2 |- F e. V
3		oprex 3983	. . . 4 |- ((S seq1 (F shift 1)) shift -u1) e. V
4		resexg 3394	. . . 4 |- (((S seq1 (F shift 1)) shift -u1) e. V -> (((S seq1 (F shift 1)) shift -u1) |` NN0) e. V)
5	3, 4	ax-mp 7	. . 3 |- (((S seq1 (F shift 1)) shift -u1) |` NN0) e. V
6		opreq1 3968	. . . . 5 |- (f = S -> (f seq1 (g shift 1)) = (S seq1 (g shift 1)))
7	6	opreq1d 3975	. . . 4 |- (f = S -> ((f seq1 (g shift 1)) shift -u1) = ((S seq1 (g shift 1)) shift -u1))
8		reseq1 3368	. . . 4 |- (((f seq1 (g shift 1)) shift -u1) = ((S seq1 (g shift 1)) shift -u1) -> (((f seq1 (g shift 1)) shift -u1) |` NN0) = (((S seq1 (g shift 1)) shift -u1) |` NN0))
9	7, 8	syl 10	. . 3 |- (f = S -> (((f seq1 (g shift 1)) shift -u1) |` NN0) = (((S seq1 (g shift 1)) shift -u1) |` NN0))
10		opreq1 3968	. . . . . 6 |- (g = F -> (g shift 1) = (F shift 1))
11	10	opreq2d 3976	. . . . 5 |- (g = F -> (S seq1 (g shift 1)) = (S seq1 (F shift 1)))
12	11	opreq1d 3975	. . . 4 |- (g = F -> ((S seq1 (g shift 1)) shift -u1) = ((S seq1 (F shift 1)) shift -u1))
13		reseq1 3368	. . . 4 |- (((S seq1 (g shift 1)) shift -u1) = ((S seq1 (F shift 1)) shift -u1) -> (((S seq1 (g shift 1)) shift -u1) |` NN0) = (((S seq1 (F shift 1)) shift -u1) |` NN0))
14	12, 13	syl 10	. . 3 |- (g = F -> (((S seq1 (g shift 1)) shift -u1) |` NN0) = (((S seq1 (F shift 1)) shift -u1) |` NN0))
15		df-seq0 6534	. . 3 |- seq0 = {<.<.f, g>., h>. | h = (((f seq1 (g shift 1)) shift -u1) |` NN0)}
16	5, 9, 14, 15	oprabval5 4029	. 2 |- ((S e. V /\ F e. V) -> (S seq0 F) = (((S seq1 (F shift 1)) shift -u1) |` NN0))
17	1, 2, 16	mp2an 697	1 |- (S seq0 F) = (((S seq1 (F shift 1)) shift -u1) |` NN0)

Syntax hints:   = wceq 956   e. wcel 958  Vcvv 1811   |` cres 3172  (class class class)co 3963  1c1 5235  -ucneg 5293  NN0cn0 5297   seq1 cseq1 6307   shift cshi 6340   seq0 cseq0 6532

This theorem is referenced by:  seq0valt 6536  seq0seqz 6542  seq0fn 6546  seq00 6550  seq0p1 6551

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-seq0 6534

Copyright terms: Public domain