MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seq1 Structured version   Unicode version

Theorem seq1 11336
Description: Value of the sequence builder function at its initial value. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
seq1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  M
)  =  ( F `
 M ) )

Proof of Theorem seq1
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqeq1 11326 . . . 4  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  ->  seq  M (  .+  ,  F )  =  seq  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
) )
2 id 20 . . . 4  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  ->  M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )
31, 2fveq12d 5734 . . 3  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  M )  =  (  seq  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ( 
.+  ,  F ) `
 if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) )
4 fveq2 5728 . . 3  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( F `  M
)  =  ( F `
 if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) )
53, 4eqeq12d 2450 . 2  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  M )  =  ( F `  M )  <->  (  seq  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
) `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  =  ( F `
 if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) ) )
6 0z 10293 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
76elimel 3791 . . 3  |-  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  e.  ZZ
8 eqid 2436 . . 3  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) )  |`  om )  =  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) )  |`  om )
9 fvex 5742 . . 3  |-  ( F `
 if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  e.  _V
10 eqid 2436 . . 3  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( x ( z  e. 
_V ,  w  e. 
_V  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y )
>. ) ,  <. if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ,  ( F `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) >. )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  <. ( x  +  1 ) ,  ( x ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w  .+  ( F `
 ( z  +  1 ) ) ) ) y ) >.
) ,  <. if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ,  ( F `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) >. )  |`  om )
1110seqval 11334 . . 3  |-  seq  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
)  =  ran  ( rec ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( x ( z  e. 
_V ,  w  e. 
_V  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y )
>. ) ,  <. if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ,  ( F `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) >. )  |`  om )
127, 8, 9, 10, 11uzrdg0i 11299 . 2  |-  (  seq 
if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) (  .+  ,  F ) `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  =  ( F `
 if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )
135, 12dedth 3780 1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  M
)  =  ( F `
 M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956   ifcif 3739   <.cop 3817    e. cmpt 4266   omcom 4845    |` cres 4880   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    e. cmpt2 6083   reccrdg 6667   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993   ZZcz 10282    seq cseq 11323
This theorem is referenced by:  seq1i  11337  seqcl2  11341  seqfveq2  11345  seqfveq  11347  seqshft2  11349  seqsplit  11356  seq1p  11357  seqcaopr3  11358  seqf1olem2a  11361  seqf1olem2  11363  seqf1o  11364  seqid  11368  seqhomo  11370  seqz  11371  exp1  11387  fac1  11570  bcn2  11610  seqcoll  11712  isumrpcl  12623  ruclem6  12834  sadc0  12966  smup0  12991  seq1st  13062  algr0  13063  eulerthlem2  13171  pcmpt  13261  voliunlem1  19444  volsup  19450  abelthlem6  20352  abelthlem9  20356  leibpi  20782  bposlem5  21072  gx1  21850  opsqrlem2  23644  esumfzf  24459  rrvsum  24712  cvmliftlem4  24975  clim2prod  25216  prodfn0  25222  prodfrec  25223  iprodefisumlem  25317  faclimlem1  25362  heiborlem4  26523  fmul01  27686  fmuldfeq  27689  fmul01lt1lem1  27690  stoweidlem3  27728  wallispilem4  27793  wallispi2lem1  27796  wallispi2lem2  27797  stirlinglem7  27805  stirlinglem11  27809
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-seq 11324
  Copyright terms: Public domain W3C validator