Theorem seq1shftid 6356

Description: Identity law for the shift operation in a 1-based sequence builder.

Hypotheses

Ref	Expression
seq1shftid.1	|- S e. V
seq1shftid.2	|- F e. V

Assertion

Ref	Expression
seq1shftid	|- (S seq1 (F shift 0)) = (S seq1 F)

Proof of Theorem seq1shftid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seq1shftid.1	. . . 4 |- S e. V
2		oprex 3983	. . . 4 |- (F shift 0) e. V
3	1, 2	seq1fn 6320	. . 3 |- (S seq1 (F shift 0)) Fn NN
4		seq1shftid.2	. . . 4 |- F e. V
5	1, 4	seq1fn 6320	. . 3 |- (S seq1 F) Fn NN
6		eqfnfv 3797	. . 3 |- (((S seq1 (F shift 0)) Fn NN /\ (S seq1 F) Fn NN) -> ((S seq1 (F shift 0)) = (S seq1 F) <-> (NN = NN /\ A.n e. NN ((S seq1 (F shift 0))` n) = ((S seq1 F)` n))))
7	3, 5, 6	mp2an 697	. 2 |- ((S seq1 (F shift 0)) = (S seq1 F) <-> (NN = NN /\ A.n e. NN ((S seq1 (F shift 0))` n) = ((S seq1 F)` n)))
8		eqid 1475	. 2 |- NN = NN
9		fveq2 3724	. . . . 5 |- (j = 1 -> ((S seq1 (F shift 0))` j) = ((S seq1 (F shift 0))` 1))
10		fveq2 3724	. . . . 5 |- (j = 1 -> ((S seq1 F)` j) = ((S seq1 F)` 1))
11	9, 10	eqeq12d 1489	. . . 4 |- (j = 1 -> (((S seq1 (F shift 0))` j) = ((S seq1 F)` j) <-> ((S seq1 (F shift 0))` 1) = ((S seq1 F)` 1)))
12		fveq2 3724	. . . . 5 |- (j = k -> ((S seq1 (F shift 0))` j) = ((S seq1 (F shift 0))` k))
13		fveq2 3724	. . . . 5 |- (j = k -> ((S seq1 F)` j) = ((S seq1 F)` k))
14	12, 13	eqeq12d 1489	. . . 4 |- (j = k -> (((S seq1 (F shift 0))` j) = ((S seq1 F)` j) <-> ((S seq1 (F shift 0))` k) = ((S seq1 F)` k)))
15		fveq2 3724	. . . . 5 |- (j = (k + 1) -> ((S seq1 (F shift 0))` j) = ((S seq1 (F shift 0))` (k + 1)))
16		fveq2 3724	. . . . 5 |- (j = (k + 1) -> ((S seq1 F)` j) = ((S seq1 F)` (k + 1)))
17	15, 16	eqeq12d 1489	. . . 4 |- (j = (k + 1) -> (((S seq1 (F shift 0))` j) = ((S seq1 F)` j) <-> ((S seq1 (F shift 0))` (k + 1)) = ((S seq1 F)` (k + 1))))
18		fveq2 3724	. . . . 5 |- (j = n -> ((S seq1 (F shift 0))` j) = ((S seq1 (F shift 0))` n))
19		fveq2 3724	. . . . 5 |- (j = n -> ((S seq1 F)` j) = ((S seq1 F)` n))
20	18, 19	eqeq12d 1489	. . . 4 |- (j = n -> (((S seq1 (F shift 0))` j) = ((S seq1 F)` j) <-> ((S seq1 (F shift 0))` n) = ((S seq1 F)` n)))
21		ax1cn 5269	. . . . . 6 |- 1 e. CC
22	4	shftidt 6355	. . . . . 6 |- (1 e. CC -> ((F shift 0)` 1) = (F` 1))
23	21, 22	ax-mp 7	. . . . 5 |- ((F shift 0)` 1) = (F` 1)
24	1, 2	seq11 6317	. . . . 5 |- ((S seq1 (F shift 0))` 1) = ((F shift 0)` 1)
25	1, 4	seq11 6317	. . . . 5 |- ((S seq1 F)` 1) = (F` 1)
26	23, 24, 25	3eqtr4 1505	. . . 4 |- ((S seq1 (F shift 0))` 1) = ((S seq1 F)` 1)
27		opreq1 3968	. . . . . . 7 |- (((S seq1 (F shift 0))` k) = ((S seq1 F)` k) -> (((S seq1 (F shift 0))` k)S((F shift 0)` (k + 1))) = (((S seq1 F)` k)S((F shift 0)` (k + 1))))
28		nncnt 5930	. . . . . . . . . 10 |- (k e. NN -> k e. CC)
29		peano2cn 5344	. . . . . . . . . 10 |- (k e. CC -> (k + 1) e. CC)
30	28, 29	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN -> (k + 1) e. CC)
31	4	shftidt 6355	. . . . . . . . 9 |- ((k + 1) e. CC -> ((F shift 0)` (k + 1)) = (F` (k + 1)))
32	30, 31	syl 10	. . . . . . . 8 |- (k e. NN -> ((F shift 0)` (k + 1)) = (F` (k + 1)))
33	32	opreq2d 3976	. . . . . . 7 |- (k e. NN -> (((S seq1 F)` k)S((F shift 0)` (k + 1))) = (((S seq1 F)` k)S(F` (k + 1))))
34	27, 33	sylan9eqr 1529	. . . . . 6 |- ((k e. NN /\ ((S seq1 (F shift 0))` k) = ((S seq1 F)` k)) -> (((S seq1 (F shift 0))` k)S((F shift 0)` (k + 1))) = (((S seq1 F)` k)S(F` (k + 1))))
35	1, 2	seq1p1 6318	. . . . . . 7 |- (k e. NN -> ((S seq1 (F shift 0))` (k + 1)) = (((S seq1 (F shift 0))` k)S((F shift 0)` (k + 1))))
36	35	adantr 389	. . . . . 6 |- ((k e. NN /\ ((S seq1 (F shift 0))` k) = ((S seq1 F)` k)) -> ((S seq1 (F shift 0))` (k + 1)) = (((S seq1 (F shift 0))` k)S((F shift 0)` (k + 1))))
37	1, 4	seq1p1 6318	. . . . . . 7 |- (k e. NN -> ((S seq1 F)` (k + 1)) = (((S seq1 F)` k)S(F` (k + 1))))
38	37	adantr 389	. . . . . 6 |- ((k e. NN /\ ((S seq1 (F shift 0))` k) = ((S seq1 F)` k)) -> ((S seq1 F)` (k + 1)) = (((S seq1 F)` k)S(F` (k + 1))))
39	34, 36, 38	3eqtr4d 1517	. . . . 5 |- ((k e. NN /\ ((S seq1 (F shift 0))` k) = ((S seq1 F)` k)) -> ((S seq1 (F shift 0))` (k + 1)) = ((S seq1 F)` (k + 1)))
40	39	ex 373	. . . 4 |- (k e. NN -> (((S seq1 (F shift 0))` k) = ((S seq1 F)` k) -> ((S seq1 (F shift 0))` (k + 1)) = ((S seq1 F)` (k + 1))))
41	11, 14, 17, 20, 26, 40	nnind 5937	. . 3 |- (n e. NN -> ((S seq1 (F shift 0))` n) = ((S seq1 F)` n))
42	41	rgen 1698	. 2 |- A.n e. NN ((S seq1 (F shift 0))` n) = ((S seq1 F)` n)
43	7, 8, 42	mpbir2an 730	1 |- (S seq1 (F shift 0)) = (S seq1 F)

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  Vcvv 1811   Fn wfn 3177  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  0cc0 5234  1c1 5235   + caddc 5237  NNcn 5296   seq1 cseq1 6307   shift cshi 6340

This theorem is referenced by:  seq1seqz 6541  seq1seq0t 6544

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-n 5925  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-shft 6341

Copyright terms: Public domain