Theorem seq1ub 6912

Description: An upper bound for an initial segment of a sequence of reals.

Hypothesis

Ref	Expression
seq1ub.1	|- F:NN-->RR

Assertion

Ref	Expression
seq1ub	|- ((A e. NN /\ B e. NN /\ A <_ B) -> (F` A) <_ sup(ran ( F |` {x e. NN | x <_ B}), RR, < ))

Distinct variable group:   x,B

Proof of Theorem seq1ub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suprub 6056	. 2 |- (((ran ( F |` {x e. NN | x <_ B}) (_ RR /\ ran ( F |` {x e. NN | x <_ B}) =/= (/) /\ E.y e. RR A.z e. ran ( F |` {x e. NN | x <_ B})z <_ y) /\ (F` A) e. ran ( F |` {x e. NN | x <_ B})) -> (F` A) <_ sup(ran ( F |` {x e. NN | x <_ B}), RR, < ))
2		seq1ub.1	. . . 4 |- F:NN-->RR
3	2	seq1ublem 6911	. . 3 |- (B e. NN -> (ran ( F |` {x e. NN | x <_ B}) (_ RR /\ ran ( F |` {x e. NN | x <_ B}) =/= (/) /\ E.y e. RR A.z e. ran ( F |` {x e. NN | x <_ B})z <_ y))
4	3	3ad2ant2 801	. 2 |- ((A e. NN /\ B e. NN /\ A <_ B) -> (ran ( F |` {x e. NN | x <_ B}) (_ RR /\ ran ( F |` {x e. NN | x <_ B}) =/= (/) /\ E.y e. RR A.z e. ran ( F |` {x e. NN | x <_ B})z <_ y))
5		breq1 2622	. . . . . 6 |- (y = A -> (y <_ B <-> A <_ B))
6		breq1 2622	. . . . . . 7 |- (x = y -> (x <_ B <-> y <_ B))
7	6	cbvrabv 1911	. . . . . 6 |- {x e. NN | x <_ B} = {y e. NN | y <_ B}
8	5, 7	elrab2 1907	. . . . 5 |- (A e. {x e. NN | x <_ B} <-> (A e. NN /\ A <_ B))
9		fvres 3734	. . . . 5 |- (A e. {x e. NN | x <_ B} -> ((F |` {x e. NN | x <_ B})` A) = (F` A))
10	8, 9	sylbir 201	. . . 4 |- ((A e. NN /\ A <_ B) -> ((F |` {x e. NN | x <_ B})` A) = (F` A))
11	8	biimpr 152	. . . . . 6 |- ((A e. NN /\ A <_ B) -> A e. {x e. NN | x <_ B})
12		ffn 3627	. . . . . . . 8 |- (F:NN-->RR -> F Fn NN)
13	2, 12	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- F Fn NN
14		ssrab2 2131	. . . . . . 7 |- {x e. NN | x <_ B} (_ NN
15		fnssres 3600	. . . . . . 7 |- ((F Fn NN /\ {x e. NN | x <_ B} (_ NN) -> (F |` {x e. NN | x <_ B}) Fn {x e. NN | x <_ B})
16	13, 14, 15	mp2an 697	. . . . . 6 |- (F |` {x e. NN | x <_ B}) Fn {x e. NN | x <_ B}
17	11, 16	jctil 292	. . . . 5 |- ((A e. NN /\ A <_ B) -> ((F |` {x e. NN | x <_ B}) Fn {x e. NN | x <_ B} /\ A e. {x e. NN | x <_ B}))
18		fnfvelrn 3813	. . . . 5 |- (((F |` {x e. NN | x <_ B}) Fn {x e. NN | x <_ B} /\ A e. {x e. NN | x <_ B}) -> ((F |` {x e. NN | x <_ B})` A) e. ran ( F |` {x e. NN | x <_ B}))
19	17, 18	syl 10	. . . 4 |- ((A e. NN /\ A <_ B) -> ((F |` {x e. NN | x <_ B})` A) e. ran ( F |` {x e. NN | x <_ B}))
20	10, 19	eqeltrrd 1549	. . 3 |- ((A e. NN /\ A <_ B) -> (F` A) e. ran ( F |` {x e. NN | x <_ B}))
21	20	3adant2 798	. 2 |- ((A e. NN /\ B e. NN /\ A <_ B) -> (F` A) e. ran ( F |` {x e. NN | x <_ B}))
22	1, 4, 21	sylanc 471	1 |- ((A e. NN /\ B e. NN /\ A <_ B) -> (F` A) <_ sup(ran ( F |` {x e. NN | x <_ B}), RR, < ))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585  A.wral 1645  E.wrex 1646  {crab 1648   (_ wss 2047  (/)c0 2280   class class class wbr 2619  ran crn 3171   |` cres 3172   Fn wfn 3177  -->wf 3178  ` cfv 3182  supcsup 4573  RRcr 5233   <_ cle 5295  NNcn 5296   < clt 5486

This theorem is referenced by:  ser1cmp2lem 7176

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754

Copyright terms: Public domain