Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqcaopr Structured version   Unicode version

Theorem seqcaopr 11361
 Description: The sum of two infinite series (generalized to an arbitrary commutative and associative operation). (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqcaopr.1
seqcaopr.2
seqcaopr.3
seqcaopr.4
seqcaopr.5
seqcaopr.6
seqcaopr.7
Assertion
Ref Expression
seqcaopr
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,,,,   ,   ,,,,   ,,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   (,,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem seqcaopr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqcaopr.1 . . 3
21caovclg 6240 . 2
3 simpl 445 . . . . . . 7
4 simprrl 742 . . . . . . 7
5 simprlr 741 . . . . . . 7
6 seqcaopr.2 . . . . . . . 8
76caovcomg 6243 . . . . . . 7
83, 4, 5, 7syl12anc 1183 . . . . . 6
98oveq1d 6097 . . . . 5
10 simprrr 743 . . . . . 6
11 seqcaopr.3 . . . . . . 7
1211caovassg 6246 . . . . . 6
133, 4, 5, 10, 12syl13anc 1187 . . . . 5
1411caovassg 6246 . . . . . 6
153, 5, 4, 10, 14syl13anc 1187 . . . . 5
169, 13, 153eqtr3d 2477 . . . 4
1716oveq2d 6098 . . 3
18 simprll 740 . . . 4
191caovclg 6240 . . . . 5
203, 5, 10, 19syl12anc 1183 . . . 4
2111caovassg 6246 . . . 4
223, 18, 4, 20, 21syl13anc 1187 . . 3
231caovclg 6240 . . . . 5
2423adantrl 698 . . . 4
2511caovassg 6246 . . . 4
263, 18, 5, 24, 25syl13anc 1187 . . 3
2717, 22, 263eqtr4d 2479 . 2
28 seqcaopr.4 . 2
29 seqcaopr.5 . 2
30 seqcaopr.6 . 2
31 seqcaopr.7 . 2
322, 2, 27, 28, 29, 30, 31seqcaopr2 11360 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  cfv 5455  (class class class)co 6082  cuz 10489  cfz 11044   cseq 11324 This theorem is referenced by:  seradd  11366  mulgnn0di  15449  lgsdir  21115  lgsdi  21117  prodfmul  25219 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-seq 11325
 Copyright terms: Public domain W3C validator