MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqcaopr2 Unicode version

Theorem seqcaopr2 11279
Description: The sum of two infinite series (generalized to an arbitrary commutative and associative operation). (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqcaopr2.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
seqcaopr2.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x Q y )  e.  S )
seqcaopr2.3  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  S  /\  y  e.  S )  /\  ( z  e.  S  /\  w  e.  S
) ) )  -> 
( ( x Q z )  .+  (
y Q w ) )  =  ( ( x  .+  y ) Q ( z  .+  w ) ) )
seqcaopr2.4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
seqcaopr2.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  e.  S
)
seqcaopr2.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( G `  k )  e.  S
)
seqcaopr2.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( H `  k )  =  ( ( F `  k
) Q ( G `
 k ) ) )
Assertion
Ref Expression
seqcaopr2  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  H ) `
 N )  =  ( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  N ) Q (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  N )
) )
Distinct variable groups:    w, k, x, y, z, F    k, H, z    k, N, x, y, z    ph, k, w, x, y, z    k, G, w, x, y, z   
k, M, w, x, y, z    Q, k, w, x, y, z   
w,  .+ , x, y,
z    S, k, w, x, y, z
Allowed substitution hints:    .+ ( k)    H( x, y, w)    N( w)

Proof of Theorem seqcaopr2
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqcaopr2.1 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
2 seqcaopr2.2 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x Q y )  e.  S )
3 seqcaopr2.4 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
4 seqcaopr2.5 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  e.  S
)
5 seqcaopr2.6 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( G `  k )  e.  S
)
6 seqcaopr2.7 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( H `  k )  =  ( ( F `  k
) Q ( G `
 k ) ) )
7 elfzouz 11067 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
87adantl 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  n  e.  (
ZZ>= `  M ) )
9 elfzouz2 11076 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  n )
)
109adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  N  e.  (
ZZ>= `  n ) )
11 fzss2 11017 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  ( M ... n )  C_  ( M ... N ) )
1210, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M ... n )  C_  ( M ... N ) )
1312sselda 3284 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M ... n
) )  ->  x  e.  ( M ... N
) )
145ralrimiva 2725 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... N ) ( G `  k
)  e.  S )
1514adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. k  e.  ( M ... N ) ( G `  k
)  e.  S )
16 fveq2 5661 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  x  ->  ( G `  k )  =  ( G `  x ) )
1716eleq1d 2446 . . . . . . 7  |-  ( k  =  x  ->  (
( G `  k
)  e.  S  <->  ( G `  x )  e.  S
) )
1817rspccva 2987 . . . . . 6  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... N ) ( G `  k
)  e.  S  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( G `  x
)  e.  S )
1915, 18sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M ... N
) )  ->  ( G `  x )  e.  S )
2013, 19syldan 457 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M ... n
) )  ->  ( G `  x )  e.  S )
211adantlr 696 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
228, 20, 21seqcl 11263 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  n )  e.  S )
23 fzofzp1 11109 . . . 4  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
24 fveq2 5661 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  ( n  +  1
) ) )
2524eleq1d 2446 . . . . 5  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( G `  k
)  e.  S  <->  ( G `  ( n  +  1 ) )  e.  S
) )
2625rspccva 2987 . . . 4  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... N ) ( G `  k
)  e.  S  /\  ( n  +  1
)  e.  ( M ... N ) )  ->  ( G `  ( n  +  1
) )  e.  S
)
2714, 23, 26syl2an 464 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( G `  ( n  +  1
) )  e.  S
)
284ralrimiva 2725 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k
)  e.  S )
29 fveq2 5661 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  x  ->  ( F `  k )  =  ( F `  x ) )
3029eleq1d 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  x  ->  (
( F `  k
)  e.  S  <->  ( F `  x )  e.  S
) )
3130rspccva 2987 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k
)  e.  S  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( F `  x
)  e.  S )
3228, 31sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
3332adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M ... N
) )  ->  ( F `  x )  e.  S )
3413, 33syldan 457 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M ... n
) )  ->  ( F `  x )  e.  S )
358, 34, 21seqcl 11263 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  e.  S )
36 fveq2 5661 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
3736eleq1d 2446 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  k
)  e.  S  <->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S
) )
3837rspccva 2987 . . . . 5  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k
)  e.  S  /\  ( n  +  1
)  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  ( n  +  1
) )  e.  S
)
3928, 23, 38syl2an 464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( F `  ( n  +  1
) )  e.  S
)
40 seqcaopr2.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  S  /\  y  e.  S )  /\  ( z  e.  S  /\  w  e.  S
) ) )  -> 
( ( x Q z )  .+  (
y Q w ) )  =  ( ( x  .+  y ) Q ( z  .+  w ) ) )
4140anassrs 630 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  y  e.  S )
)  /\  ( z  e.  S  /\  w  e.  S ) )  -> 
( ( x Q z )  .+  (
y Q w ) )  =  ( ( x  .+  y ) Q ( z  .+  w ) ) )
4241ralrimivva 2734 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  ->  A. z  e.  S  A. w  e.  S  ( ( x Q z )  .+  (
y Q w ) )  =  ( ( x  .+  y ) Q ( z  .+  w ) ) )
4342ralrimivva 2734 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. w  e.  S  ( ( x Q z )  .+  (
y Q w ) )  =  ( ( x  .+  y ) Q ( z  .+  w ) ) )
4443adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. w  e.  S  ( ( x Q z )  .+  (
y Q w ) )  =  ( ( x  .+  y ) Q ( z  .+  w ) ) )
45 oveq1 6020 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( x Q z )  =  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) Q z ) )
4645oveq1d 6028 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( ( x Q z )  .+  (
y Q w ) )  =  ( ( (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 n ) Q z )  .+  (
y Q w ) ) )
47 oveq1 6020 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( x  .+  y
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  y )
)
4847oveq1d 6028 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( ( x  .+  y ) Q ( z  .+  w ) )  =  ( ( (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 n )  .+  y ) Q ( z  .+  w ) ) )
4946, 48eqeq12d 2394 . . . . . 6  |-  ( x  =  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( ( ( x Q z )  .+  ( y Q w ) )  =  ( ( x  .+  y
) Q ( z 
.+  w ) )  <-> 
( ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
) Q z ) 
.+  ( y Q w ) )  =  ( ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  y ) Q ( z  .+  w ) ) ) )
50492ralbidv 2684 . . . . 5  |-  ( x  =  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( A. z  e.  S  A. w  e.  S  ( ( x Q z )  .+  ( y Q w ) )  =  ( ( x  .+  y
) Q ( z 
.+  w ) )  <->  A. z  e.  S  A. w  e.  S  ( ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
) Q z ) 
.+  ( y Q w ) )  =  ( ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  y ) Q ( z  .+  w ) ) ) )
51 oveq1 6020 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  (
y Q w )  =  ( ( F `
 ( n  + 
1 ) ) Q w ) )
5251oveq2d 6029 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  (
( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n ) Q z )  .+  ( y Q w ) )  =  ( ( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n ) Q z )  .+  ( ( F `  ( n  +  1
) ) Q w ) ) )
53 oveq2 6021 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  n )  .+  y
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
5453oveq1d 6028 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  (
( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  y ) Q ( z  .+  w ) )  =  ( ( (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( z 
.+  w ) ) )
5552, 54eqeq12d 2394 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  (
( ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
) Q z ) 
.+  ( y Q w ) )  =  ( ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  y ) Q ( z  .+  w ) )  <->  ( (
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  n ) Q z )  .+  ( ( F `  ( n  +  1 ) ) Q w ) )  =  ( ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( z  .+  w
) ) ) )
56552ralbidv 2684 . . . . 5  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  ( A. z  e.  S  A. w  e.  S  ( ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
) Q z ) 
.+  ( y Q w ) )  =  ( ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  y ) Q ( z  .+  w ) )  <->  A. z  e.  S  A. w  e.  S  ( (
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  n ) Q z )  .+  ( ( F `  ( n  +  1 ) ) Q w ) )  =  ( ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( z  .+  w
) ) ) )
5750, 56rspc2va 2995 . . . 4  |-  ( ( ( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  e.  S  /\  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. w  e.  S  (
( x Q z )  .+  ( y Q w ) )  =  ( ( x 
.+  y ) Q ( z  .+  w
) ) )  ->  A. z  e.  S  A. w  e.  S  ( ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
) Q z ) 
.+  ( ( F `
 ( n  + 
1 ) ) Q w ) )  =  ( ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( z  .+  w
) ) )
5835, 39, 44, 57syl21anc 1183 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. z  e.  S  A. w  e.  S  ( ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
) Q z ) 
.+  ( ( F `
 ( n  + 
1 ) ) Q w ) )  =  ( ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( z  .+  w
) ) )
59 oveq2 6021 . . . . . 6  |-  ( z  =  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  n )  ->  ( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n ) Q z )  =  ( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n ) Q (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  n )
) )
6059oveq1d 6028 . . . . 5  |-  ( z  =  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  n )  ->  ( ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
) Q z ) 
.+  ( ( F `
 ( n  + 
1 ) ) Q w ) )  =  ( ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
) Q (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  n
) )  .+  (
( F `  (
n  +  1 ) ) Q w ) ) )
61 oveq1 6020 . . . . . 6  |-  ( z  =  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  n )  ->  ( z  .+  w
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  w )
)
6261oveq2d 6029 . . . . 5  |-  ( z  =  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  n )  ->  ( ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( z  .+  w
) )  =  ( ( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) Q ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 n )  .+  w ) ) )
6360, 62eqeq12d 2394 . . . 4  |-  ( z  =  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  n )  ->  ( ( ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) Q z ) 
.+  ( ( F `
 ( n  + 
1 ) ) Q w ) )  =  ( ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( z  .+  w
) )  <->  ( (
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  n ) Q (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
) )  .+  (
( F `  (
n  +  1 ) ) Q w ) )  =  ( ( (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  w )
) ) )
64 oveq2 6021 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( G `  ( n  +  1
) )  ->  (
( F `  (
n  +  1 ) ) Q w )  =  ( ( F `
 ( n  + 
1 ) ) Q ( G `  (
n  +  1 ) ) ) )
6564oveq2d 6029 . . . . 5  |-  ( w  =  ( G `  ( n  +  1
) )  ->  (
( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n ) Q (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  n )
)  .+  ( ( F `  ( n  +  1 ) ) Q w ) )  =  ( ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) Q (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  n
) )  .+  (
( F `  (
n  +  1 ) ) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) )
66 oveq2 6021 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( G `  ( n  +  1
) )  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  G ) `  n )  .+  w
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
6766oveq2d 6029 . . . . 5  |-  ( w  =  ( G `  ( n  +  1
) )  ->  (
( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) Q ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 n )  .+  w ) )  =  ( ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  n )  .+  ( G `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
6865, 67eqeq12d 2394 . . . 4  |-  ( w  =  ( G `  ( n  +  1
) )  ->  (
( ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
) Q (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  n
) )  .+  (
( F `  (
n  +  1 ) ) Q w ) )  =  ( ( (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  w )
)  <->  ( ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) Q (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  n
) )  .+  (
( F `  (
n  +  1 ) ) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
6963, 68rspc2va 2995 . . 3  |-  ( ( ( (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  n )  e.  S  /\  ( G `  ( n  +  1 ) )  e.  S )  /\  A. z  e.  S  A. w  e.  S  (
( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n ) Q z )  .+  ( ( F `  ( n  +  1
) ) Q w ) )  =  ( ( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) Q ( z  .+  w ) ) )  ->  (
( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n ) Q (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  n )
)  .+  ( ( F `  ( n  +  1 ) ) Q ( G `  ( n  +  1
) ) ) )  =  ( ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  n )  .+  ( G `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
7022, 27, 58, 69syl21anc 1183 . 2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) Q (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  n
) )  .+  (
( F `  (
n  +  1 ) ) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
711, 2, 3, 4, 5, 6, 70seqcaopr3 11278 1  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  H ) `
 N )  =  ( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  N ) Q (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  N )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2642    C_ wss 3256   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   1c1 8917    + caddc 8919   ZZ>=cuz 10413   ...cfz 10968  ..^cfzo 11058    seq cseq 11243
This theorem is referenced by:  seqcaopr  11280  sersub  11286
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-seq 11244
  Copyright terms: Public domain W3C validator