Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqcaopr2 Unicode version

Theorem seqcaopr2 11098
 Description: The sum of two infinite series (generalized to an arbitrary commutative and associative operation). (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqcaopr2.1
seqcaopr2.2
seqcaopr2.3
seqcaopr2.4
seqcaopr2.5
seqcaopr2.6
seqcaopr2.7
Assertion
Ref Expression
seqcaopr2
Distinct variable groups:   ,,,,,   ,,   ,,,,   ,,,,,   ,,,,,   ,,,,,   ,,,,,   , ,,,   ,,,,,
Allowed substitution hints:   ()   (,,)   ()

Proof of Theorem seqcaopr2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqcaopr2.1 . 2
2 seqcaopr2.2 . 2
3 seqcaopr2.4 . 2
4 seqcaopr2.5 . 2
5 seqcaopr2.6 . 2
6 seqcaopr2.7 . 2
7 elfzouz 10895 . . . . 5 ..^
87adantl 452 . . . 4 ..^
9 elfzouz2 10904 . . . . . . . 8 ..^
109adantl 452 . . . . . . 7 ..^
11 fzss2 10847 . . . . . . 7
1210, 11syl 15 . . . . . 6 ..^
1312sselda 3193 . . . . 5 ..^
145ralrimiva 2639 . . . . . . 7
1514adantr 451 . . . . . 6 ..^
16 fveq2 5541 . . . . . . . 8
1716eleq1d 2362 . . . . . . 7
1817rspccva 2896 . . . . . 6
1915, 18sylan 457 . . . . 5 ..^
2013, 19syldan 456 . . . 4 ..^
211adantlr 695 . . . 4 ..^
228, 20, 21seqcl 11082 . . 3 ..^
23 fzofzp1 10932 . . . 4 ..^
24 fveq2 5541 . . . . . 6
2524eleq1d 2362 . . . . 5
2625rspccva 2896 . . . 4
2714, 23, 26syl2an 463 . . 3 ..^
284ralrimiva 2639 . . . . . . . 8
29 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10
3029eleq1d 2362 . . . . . . . . 9
3130rspccva 2896 . . . . . . . 8
3228, 31sylan 457 . . . . . . 7
3332adantlr 695 . . . . . 6 ..^
3413, 33syldan 456 . . . . 5 ..^
358, 34, 21seqcl 11082 . . . 4 ..^
36 fveq2 5541 . . . . . . 7
3736eleq1d 2362 . . . . . 6
3837rspccva 2896 . . . . 5
3928, 23, 38syl2an 463 . . . 4 ..^
40 seqcaopr2.3 . . . . . . . 8
4140anassrs 629 . . . . . . 7
4241ralrimivva 2648 . . . . . 6
4342ralrimivva 2648 . . . . 5
4443adantr 451 . . . 4 ..^
45 oveq1 5881 . . . . . . . 8
4645oveq1d 5889 . . . . . . 7
47 oveq1 5881 . . . . . . . 8
4847oveq1d 5889 . . . . . . 7
4946, 48eqeq12d 2310 . . . . . 6
50492ralbidv 2598 . . . . 5
51 oveq1 5881 . . . . . . . 8
5251oveq2d 5890 . . . . . . 7
53 oveq2 5882 . . . . . . . 8
5453oveq1d 5889 . . . . . . 7
5552, 54eqeq12d 2310 . . . . . 6
56552ralbidv 2598 . . . . 5
5750, 56rspc2va 2904 . . . 4
5835, 39, 44, 57syl21anc 1181 . . 3 ..^
59 oveq2 5882 . . . . . 6
6059oveq1d 5889 . . . . 5
61 oveq1 5881 . . . . . 6
6261oveq2d 5890 . . . . 5
6360, 62eqeq12d 2310 . . . 4
64 oveq2 5882 . . . . . 6
6564oveq2d 5890 . . . . 5
66 oveq2 5882 . . . . . 6
6766oveq2d 5890 . . . . 5
6865, 67eqeq12d 2310 . . . 4
6963, 68rspc2va 2904 . . 3
7022, 27, 58, 69syl21anc 1181 . 2 ..^
711, 2, 3, 4, 5, 6, 70seqcaopr3 11097 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1632   wcel 1696  wral 2556   wss 3165  cfv 5271  (class class class)co 5874  c1 8754   caddc 8756  cuz 10246  cfz 10798  ..^cfzo 10886   cseq 11062 This theorem is referenced by:  seqcaopr  11099  sersub  11105  fprodsub  25482 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063
 Copyright terms: Public domain W3C validator