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Theorem seqcaopr2 11082
Description: The sum of two infinite series (generalized to an arbitrary commutative and associative operation). (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqcaopr2.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
seqcaopr2.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x Q y )  e.  S )
seqcaopr2.3  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  S  /\  y  e.  S )  /\  ( z  e.  S  /\  w  e.  S
) ) )  -> 
( ( x Q z )  .+  (
y Q w ) )  =  ( ( x  .+  y ) Q ( z  .+  w ) ) )
seqcaopr2.4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
seqcaopr2.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  e.  S
)
seqcaopr2.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( G `  k )  e.  S
)
seqcaopr2.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( H `  k )  =  ( ( F `  k
) Q ( G `
 k ) ) )
Assertion
Ref Expression
seqcaopr2  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  H ) `
 N )  =  ( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  N ) Q (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  N )
) )
Distinct variable groups:    w, k, x, y, z, F    k, H, z    k, N, x, y, z    ph, k, w, x, y, z    k, G, w, x, y, z   
k, M, w, x, y, z    Q, k, w, x, y, z   
w,  .+ , x, y,
z    S, k, w, x, y, z
Allowed substitution hints:    .+ ( k)    H( x, y, w)    N( w)

Proof of Theorem seqcaopr2
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqcaopr2.1 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
2 seqcaopr2.2 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x Q y )  e.  S )
3 seqcaopr2.4 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
4 seqcaopr2.5 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  e.  S
)
5 seqcaopr2.6 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( G `  k )  e.  S
)
6 seqcaopr2.7 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( H `  k )  =  ( ( F `  k
) Q ( G `
 k ) ) )
7 elfzouz 10879 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
87adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  n  e.  (
ZZ>= `  M ) )
9 elfzouz2 10888 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  n )
)
109adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  N  e.  (
ZZ>= `  n ) )
11 fzss2 10831 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  ( M ... n )  C_  ( M ... N ) )
1210, 11syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M ... n )  C_  ( M ... N ) )
1312sselda 3180 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M ... n
) )  ->  x  e.  ( M ... N
) )
145ralrimiva 2626 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... N ) ( G `  k
)  e.  S )
1514adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. k  e.  ( M ... N ) ( G `  k
)  e.  S )
16 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  x  ->  ( G `  k )  =  ( G `  x ) )
1716eleq1d 2349 . . . . . . 7  |-  ( k  =  x  ->  (
( G `  k
)  e.  S  <->  ( G `  x )  e.  S
) )
1817rspccva 2883 . . . . . 6  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... N ) ( G `  k
)  e.  S  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( G `  x
)  e.  S )
1915, 18sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M ... N
) )  ->  ( G `  x )  e.  S )
2013, 19syldan 456 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M ... n
) )  ->  ( G `  x )  e.  S )
211adantlr 695 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
228, 20, 21seqcl 11066 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  n )  e.  S )
23 fzofzp1 10916 . . . 4  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
24 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  ( n  +  1
) ) )
2524eleq1d 2349 . . . . 5  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( G `  k
)  e.  S  <->  ( G `  ( n  +  1 ) )  e.  S
) )
2625rspccva 2883 . . . 4  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... N ) ( G `  k
)  e.  S  /\  ( n  +  1
)  e.  ( M ... N ) )  ->  ( G `  ( n  +  1
) )  e.  S
)
2714, 23, 26syl2an 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( G `  ( n  +  1
) )  e.  S
)
284ralrimiva 2626 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k
)  e.  S )
29 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  x  ->  ( F `  k )  =  ( F `  x ) )
3029eleq1d 2349 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  x  ->  (
( F `  k
)  e.  S  <->  ( F `  x )  e.  S
) )
3130rspccva 2883 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k
)  e.  S  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( F `  x
)  e.  S )
3228, 31sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
3332adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M ... N
) )  ->  ( F `  x )  e.  S )
3413, 33syldan 456 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M ... n
) )  ->  ( F `  x )  e.  S )
358, 34, 21seqcl 11066 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  e.  S )
36 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
3736eleq1d 2349 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  k
)  e.  S  <->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S
) )
3837rspccva 2883 . . . . 5  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k
)  e.  S  /\  ( n  +  1
)  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  ( n  +  1
) )  e.  S
)
3928, 23, 38syl2an 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( F `  ( n  +  1
) )  e.  S
)
40 seqcaopr2.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  S  /\  y  e.  S )  /\  ( z  e.  S  /\  w  e.  S
) ) )  -> 
( ( x Q z )  .+  (
y Q w ) )  =  ( ( x  .+  y ) Q ( z  .+  w ) ) )
4140anassrs 629 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  y  e.  S )
)  /\  ( z  e.  S  /\  w  e.  S ) )  -> 
( ( x Q z )  .+  (
y Q w ) )  =  ( ( x  .+  y ) Q ( z  .+  w ) ) )
4241ralrimivva 2635 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  ->  A. z  e.  S  A. w  e.  S  ( ( x Q z )  .+  (
y Q w ) )  =  ( ( x  .+  y ) Q ( z  .+  w ) ) )
4342ralrimivva 2635 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. w  e.  S  ( ( x Q z )  .+  (
y Q w ) )  =  ( ( x  .+  y ) Q ( z  .+  w ) ) )
4443adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. w  e.  S  ( ( x Q z )  .+  (
y Q w ) )  =  ( ( x  .+  y ) Q ( z  .+  w ) ) )
45 oveq1 5865 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( x Q z )  =  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) Q z ) )
4645oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( ( x Q z )  .+  (
y Q w ) )  =  ( ( (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 n ) Q z )  .+  (
y Q w ) ) )
47 oveq1 5865 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( x  .+  y
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  y )
)
4847oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( ( x  .+  y ) Q ( z  .+  w ) )  =  ( ( (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 n )  .+  y ) Q ( z  .+  w ) ) )
4946, 48eqeq12d 2297 . . . . . 6  |-  ( x  =  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( ( ( x Q z )  .+  ( y Q w ) )  =  ( ( x  .+  y
) Q ( z 
.+  w ) )  <-> 
( ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
) Q z ) 
.+  ( y Q w ) )  =  ( ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  y ) Q ( z  .+  w ) ) ) )
50492ralbidv 2585 . . . . 5  |-  ( x  =  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( A. z  e.  S  A. w  e.  S  ( ( x Q z )  .+  ( y Q w ) )  =  ( ( x  .+  y
) Q ( z 
.+  w ) )  <->  A. z  e.  S  A. w  e.  S  ( ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
) Q z ) 
.+  ( y Q w ) )  =  ( ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  y ) Q ( z  .+  w ) ) ) )
51 oveq1 5865 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  (
y Q w )  =  ( ( F `
 ( n  + 
1 ) ) Q w ) )
5251oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  (
( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n ) Q z )  .+  ( y Q w ) )  =  ( ( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n ) Q z )  .+  ( ( F `  ( n  +  1
) ) Q w ) ) )
53 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  n )  .+  y
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
5453oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  (
( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  y ) Q ( z  .+  w ) )  =  ( ( (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( z 
.+  w ) ) )
5552, 54eqeq12d 2297 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  (
( ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
) Q z ) 
.+  ( y Q w ) )  =  ( ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  y ) Q ( z  .+  w ) )  <->  ( (
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  n ) Q z )  .+  ( ( F `  ( n  +  1 ) ) Q w ) )  =  ( ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( z  .+  w
) ) ) )
56552ralbidv 2585 . . . . 5  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  ( A. z  e.  S  A. w  e.  S  ( ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
) Q z ) 
.+  ( y Q w ) )  =  ( ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  y ) Q ( z  .+  w ) )  <->  A. z  e.  S  A. w  e.  S  ( (
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  n ) Q z )  .+  ( ( F `  ( n  +  1 ) ) Q w ) )  =  ( ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( z  .+  w
) ) ) )
5750, 56rspc2va 2891 . . . 4  |-  ( ( ( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  e.  S  /\  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. w  e.  S  (
( x Q z )  .+  ( y Q w ) )  =  ( ( x 
.+  y ) Q ( z  .+  w
) ) )  ->  A. z  e.  S  A. w  e.  S  ( ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
) Q z ) 
.+  ( ( F `
 ( n  + 
1 ) ) Q w ) )  =  ( ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( z  .+  w
) ) )
5835, 39, 44, 57syl21anc 1181 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. z  e.  S  A. w  e.  S  ( ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
) Q z ) 
.+  ( ( F `
 ( n  + 
1 ) ) Q w ) )  =  ( ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( z  .+  w
) ) )
59 oveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( z  =  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  n )  ->  ( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n ) Q z )  =  ( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n ) Q (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  n )
) )
6059oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( z  =  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  n )  ->  ( ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
) Q z ) 
.+  ( ( F `
 ( n  + 
1 ) ) Q w ) )  =  ( ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
) Q (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  n
) )  .+  (
( F `  (
n  +  1 ) ) Q w ) ) )
61 oveq1 5865 . . . . . 6  |-  ( z  =  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  n )  ->  ( z  .+  w
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  w )
)
6261oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( z  =  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  n )  ->  ( ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( z  .+  w
) )  =  ( ( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) Q ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 n )  .+  w ) ) )
6360, 62eqeq12d 2297 . . . 4  |-  ( z  =  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  n )  ->  ( ( ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) Q z ) 
.+  ( ( F `
 ( n  + 
1 ) ) Q w ) )  =  ( ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( z  .+  w
) )  <->  ( (
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  n ) Q (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
) )  .+  (
( F `  (
n  +  1 ) ) Q w ) )  =  ( ( (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  w )
) ) )
64 oveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( G `  ( n  +  1
) )  ->  (
( F `  (
n  +  1 ) ) Q w )  =  ( ( F `
 ( n  + 
1 ) ) Q ( G `  (
n  +  1 ) ) ) )
6564oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( w  =  ( G `  ( n  +  1
) )  ->  (
( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n ) Q (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  n )
)  .+  ( ( F `  ( n  +  1 ) ) Q w ) )  =  ( ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) Q (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  n
) )  .+  (
( F `  (
n  +  1 ) ) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) )
66 oveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( G `  ( n  +  1
) )  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  G ) `  n )  .+  w
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
6766oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( w  =  ( G `  ( n  +  1
) )  ->  (
( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) Q ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 n )  .+  w ) )  =  ( ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  n )  .+  ( G `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
6865, 67eqeq12d 2297 . . . 4  |-  ( w  =  ( G `  ( n  +  1
) )  ->  (
( ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
) Q (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  n
) )  .+  (
( F `  (
n  +  1 ) ) Q w ) )  =  ( ( (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  w )
)  <->  ( ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) Q (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  n
) )  .+  (
( F `  (
n  +  1 ) ) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
6963, 68rspc2va 2891 . . 3  |-  ( ( ( (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  n )  e.  S  /\  ( G `  ( n  +  1 ) )  e.  S )  /\  A. z  e.  S  A. w  e.  S  (
( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n ) Q z )  .+  ( ( F `  ( n  +  1
) ) Q w ) )  =  ( ( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) Q ( z  .+  w ) ) )  ->  (
( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n ) Q (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  n )
)  .+  ( ( F `  ( n  +  1 ) ) Q ( G `  ( n  +  1
) ) ) )  =  ( ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  n )  .+  ( G `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
7022, 27, 58, 69syl21anc 1181 . 2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) Q (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  n
) )  .+  (
( F `  (
n  +  1 ) ) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
711, 2, 3, 4, 5, 6, 70seqcaopr3 11081 1  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  H ) `
 N )  =  ( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  N ) Q (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  N )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    C_ wss 3152   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1c1 8738    + caddc 8740   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782  ..^cfzo 10870    seq cseq 11046
This theorem is referenced by:  seqcaopr  11083  sersub  11089  fprodsub  25379
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047
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