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Theorem seqcaopr3 11360
Description: Lemma for seqcaopr2 11361. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
seqcaopr3.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
seqcaopr3.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x Q y )  e.  S )
seqcaopr3.3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
seqcaopr3.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  e.  S
)
seqcaopr3.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( G `  k )  e.  S
)
seqcaopr3.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( H `  k )  =  ( ( F `  k
) Q ( G `
 k ) ) )
seqcaopr3.7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) Q (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  n
) )  .+  (
( F `  (
n  +  1 ) ) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
seqcaopr3  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  H ) `
 N )  =  ( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  N ) Q (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  N )
) )
Distinct variable groups:    k, n, x, y, F    k, H, n    k, N, n, x, y    ph, k, n, x, y    k, G, n, x, y    k, M, n, x, y    Q, k, n, x, y    .+ , n, x, y    S, k, x, y
Allowed substitution hints:    .+ ( k)    S( n)    H( x, y)

Proof of Theorem seqcaopr3
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqcaopr3.3 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 eluzfz2 11067 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M ... N ) )
4 fveq2 5730 . . . . 5  |-  ( z  =  M  ->  (  seq  M (  .+  ,  H ) `  z
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  H ) `  M
) )
5 fveq2 5730 . . . . . 6  |-  ( z  =  M  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  z
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  M
) )
6 fveq2 5730 . . . . . 6  |-  ( z  =  M  ->  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  z
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  M
) )
75, 6oveq12d 6101 . . . . 5  |-  ( z  =  M  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  z ) Q (  seq  M (  .+  ,  G ) `  z
) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 M ) Q (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 M ) ) )
84, 7eqeq12d 2452 . . . 4  |-  ( z  =  M  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  H ) `  z )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 z ) Q (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 z ) )  <-> 
(  seq  M (  .+  ,  H ) `  M )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 M ) Q (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 M ) ) ) )
98imbi2d 309 . . 3  |-  ( z  =  M  ->  (
( ph  ->  (  seq 
M (  .+  ,  H ) `  z
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  z
) Q (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  z
) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  H ) `
 M )  =  ( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  M ) Q (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  M )
) ) ) )
10 fveq2 5730 . . . . 5  |-  ( z  =  n  ->  (  seq  M (  .+  ,  H ) `  z
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  H ) `  n
) )
11 fveq2 5730 . . . . . 6  |-  ( z  =  n  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  z
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
) )
12 fveq2 5730 . . . . . 6  |-  ( z  =  n  ->  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  z
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  n
) )
1311, 12oveq12d 6101 . . . . 5  |-  ( z  =  n  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  z ) Q (  seq  M (  .+  ,  G ) `  z
) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 n ) Q (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 n ) ) )
1410, 13eqeq12d 2452 . . . 4  |-  ( z  =  n  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  H ) `  z )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 z ) Q (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 z ) )  <-> 
(  seq  M (  .+  ,  H ) `  n )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 n ) Q (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 n ) ) ) )
1514imbi2d 309 . . 3  |-  ( z  =  n  ->  (
( ph  ->  (  seq 
M (  .+  ,  H ) `  z
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  z
) Q (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  z
) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  H ) `
 n )  =  ( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n ) Q (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  n )
) ) ) )
16 fveq2 5730 . . . . 5  |-  ( z  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq  M (  .+  ,  H ) `  z
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  H ) `  (
n  +  1 ) ) )
17 fveq2 5730 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  z
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )
18 fveq2 5730 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  z
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) )
1917, 18oveq12d 6101 . . . . 5  |-  ( z  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  z ) Q (  seq  M (  .+  ,  G ) `  z
) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) Q (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
2016, 19eqeq12d 2452 . . . 4  |-  ( z  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  H ) `  z )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 z ) Q (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 z ) )  <-> 
(  seq  M (  .+  ,  H ) `  ( n  +  1
) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) Q (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) )
2120imbi2d 309 . . 3  |-  ( z  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  (  seq 
M (  .+  ,  H ) `  z
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  z
) Q (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  z
) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  H ) `
 ( n  + 
1 ) )  =  ( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) ) Q (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
22 fveq2 5730 . . . . 5  |-  ( z  =  N  ->  (  seq  M (  .+  ,  H ) `  z
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  H ) `  N
) )
23 fveq2 5730 . . . . . 6  |-  ( z  =  N  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  z
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  N
) )
24 fveq2 5730 . . . . . 6  |-  ( z  =  N  ->  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  z
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  N
) )
2523, 24oveq12d 6101 . . . . 5  |-  ( z  =  N  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  z ) Q (  seq  M (  .+  ,  G ) `  z
) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 N ) Q (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 N ) ) )
2622, 25eqeq12d 2452 . . . 4  |-  ( z  =  N  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  H ) `  z )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 z ) Q (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 z ) )  <-> 
(  seq  M (  .+  ,  H ) `  N )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 N ) Q (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 N ) ) ) )
2726imbi2d 309 . . 3  |-  ( z  =  N  ->  (
( ph  ->  (  seq 
M (  .+  ,  H ) `  z
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  z
) Q (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  z
) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  H ) `
 N )  =  ( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  N ) Q (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  N )
) ) ) )
28 eluzfz1 11066 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
291, 28syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M ... N ) )
30 seqcaopr3.6 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( H `  k )  =  ( ( F `  k
) Q ( G `
 k ) ) )
3130ralrimiva 2791 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... N ) ( H `  k
)  =  ( ( F `  k ) Q ( G `  k ) ) )
32 fveq2 5730 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  M  ->  ( H `  k )  =  ( H `  M ) )
33 fveq2 5730 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  M  ->  ( F `  k )  =  ( F `  M ) )
34 fveq2 5730 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  M  ->  ( G `  k )  =  ( G `  M ) )
3533, 34oveq12d 6101 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  M  ->  (
( F `  k
) Q ( G `
 k ) )  =  ( ( F `
 M ) Q ( G `  M
) ) )
3632, 35eqeq12d 2452 . . . . . . 7  |-  ( k  =  M  ->  (
( H `  k
)  =  ( ( F `  k ) Q ( G `  k ) )  <->  ( H `  M )  =  ( ( F `  M
) Q ( G `
 M ) ) ) )
3736rspcv 3050 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( H `  k )  =  ( ( F `
 k ) Q ( G `  k
) )  ->  ( H `  M )  =  ( ( F `
 M ) Q ( G `  M
) ) ) )
3829, 31, 37sylc 59 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H `  M
)  =  ( ( F `  M ) Q ( G `  M ) ) )
39 eluzel2 10495 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
401, 39syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
41 seq1 11338 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq  M (  .+  ,  H ) `  M
)  =  ( H `
 M ) )
4240, 41syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  H ) `
 M )  =  ( H `  M
) )
43 seq1 11338 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  M
)  =  ( F `
 M ) )
44 seq1 11338 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  M
)  =  ( G `
 M ) )
4543, 44oveq12d 6101 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  M ) Q (  seq  M (  .+  ,  G ) `  M
) )  =  ( ( F `  M
) Q ( G `
 M ) ) )
4640, 45syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  M ) Q (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  M )
)  =  ( ( F `  M ) Q ( G `  M ) ) )
4738, 42, 463eqtr4d 2480 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  H ) `
 M )  =  ( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  M ) Q (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  M )
) )
4847a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  H ) `
 M )  =  ( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  M ) Q (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  M )
) ) )
49 oveq1 6090 . . . . . 6  |-  ( (  seq  M (  .+  ,  H ) `  n
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) Q (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  n
) )  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  H ) `  n )  .+  ( H `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 n ) Q (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 n ) ) 
.+  ( H `  ( n  +  1
) ) ) )
50 elfzouz 11146 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
5150adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  n  e.  (
ZZ>= `  M ) )
52 seqp1 11340 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq  M (  .+  ,  H
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  .+  ,  H ) `  n
)  .+  ( H `  ( n  +  1 ) ) ) )
5351, 52syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  H
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  .+  ,  H ) `  n
)  .+  ( H `  ( n  +  1 ) ) ) )
54 seqcaopr3.7 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) Q (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  n
) )  .+  (
( F `  (
n  +  1 ) ) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
55 fzofzp1 11191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
5655adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N ) )
5731adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. k  e.  ( M ... N ) ( H `  k
)  =  ( ( F `  k ) Q ( G `  k ) ) )
58 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( H `  k )  =  ( H `  ( n  +  1
) ) )
59 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
60 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  ( n  +  1
) ) )
6159, 60oveq12d 6101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  k
) Q ( G `
 k ) )  =  ( ( F `
 ( n  + 
1 ) ) Q ( G `  (
n  +  1 ) ) ) )
6258, 61eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( H `  k
)  =  ( ( F `  k ) Q ( G `  k ) )  <->  ( H `  ( n  +  1 ) )  =  ( ( F `  (
n  +  1 ) ) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) )
6362rspcv 3050 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( H `  k )  =  ( ( F `
 k ) Q ( G `  k
) )  ->  ( H `  ( n  +  1 ) )  =  ( ( F `
 ( n  + 
1 ) ) Q ( G `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
6456, 57, 63sylc 59 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( H `  ( n  +  1
) )  =  ( ( F `  (
n  +  1 ) ) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
6564oveq2d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) Q (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  n
) )  .+  ( H `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 n ) Q (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 n ) ) 
.+  ( ( F `
 ( n  + 
1 ) ) Q ( G `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
66 seqp1 11340 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
67 seqp1 11340 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq  M (  .+  ,  G
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
6866, 67oveq12d 6101 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) Q (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) Q ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 n )  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
6951, 68syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) Q (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) Q ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 n )  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
7054, 65, 693eqtr4rd 2481 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) Q (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n ) Q (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  n )
)  .+  ( H `  ( n  +  1 ) ) ) )
7153, 70eqeq12d 2452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( (  seq 
M (  .+  ,  H ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) Q (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) )  <->  ( (  seq  M (  .+  ,  H ) `  n
)  .+  ( H `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
) Q (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  n
) )  .+  ( H `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
7249, 71syl5ibr 214 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( (  seq 
M (  .+  ,  H ) `  n
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) Q (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  n
) )  ->  (  seq  M (  .+  ,  H ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) Q (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
7372expcom 426 . . . 4  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ph  ->  ( (  seq  M
(  .+  ,  H
) `  n )  =  ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
) Q (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  n
) )  ->  (  seq  M (  .+  ,  H ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) Q (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
7473a2d 25 . . 3  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ( ph  ->  (  seq  M
(  .+  ,  H
) `  n )  =  ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
) Q (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  n
) ) )  -> 
( ph  ->  (  seq 
M (  .+  ,  H ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) Q (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
759, 15, 21, 27, 48, 74fzind2 11200 . 2  |-  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( ph  ->  (  seq  M
(  .+  ,  H
) `  N )  =  ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  N
) Q (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  N
) ) ) )
763, 75mpcom 35 1  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  H ) `
 N )  =  ( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  N ) Q (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  N )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   1c1 8993    + caddc 8995   ZZcz 10284   ZZ>=cuz 10490   ...cfz 11045  ..^cfzo 11137    seq cseq 11325
This theorem is referenced by:  seqcaopr2  11361  gsumzaddlem  15528
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326
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