MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqcl Unicode version

Theorem seqcl 11066
Description: Closure properties of the recursive sequence builder. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqcl.1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
seqcl.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
seqcl.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
Assertion
Ref Expression
seqcl  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  e.  S )
Distinct variable groups:    x, y,  .+    x, F, y    x, M, y    ph, x, y   
x, S, y    x, N
Allowed substitution hint:    N( y)

Proof of Theorem seqcl
StepHypRef Expression
1 seqcl.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 eluzfz1 10803 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
31, 2syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M ... N ) )
4 seqcl.2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
54ralrimiva 2626 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M ... N ) ( F `  x
)  e.  S )
6 fveq2 5525 . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  ( F `  x )  =  ( F `  M ) )
76eleq1d 2349 . . . 4  |-  ( x  =  M  ->  (
( F `  x
)  e.  S  <->  ( F `  M )  e.  S
) )
87rspcv 2880 . . 3  |-  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( A. x  e.  ( M ... N ) ( F `  x )  e.  S  ->  ( F `  M )  e.  S ) )
93, 5, 8sylc 56 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  S )
10 seqcl.3 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
11 eluzel2 10235 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
121, 11syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
13 fzp1ss 10837 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( M  +  1 ) ... N ) 
C_  ( M ... N ) )
1412, 13syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  C_  ( M ... N ) )
1514sselda 3180 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  x  e.  ( M ... N
) )
1615, 4syldan 456 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( F `  x )  e.  S )
179, 10, 1, 16seqcl2 11064 1  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    C_ wss 3152   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1c1 8738    + caddc 8740   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782    seq cseq 11046
This theorem is referenced by:  sermono  11078  seqsplit  11079  seqcaopr2  11082  seqf1olem2a  11084  seqf1olem2  11086  seqid3  11090  seqhomo  11093  seqz  11094  seqdistr  11097  serge0  11100  serle  11101  seqof  11103  seqcoll  11401  seqcoll2  11402  fsumcl2lem  12204  eulerthlem2  12850  gsumwsubmcl  14461  mulgnnsubcl  14579  gsumzcl  15195  gsumzaddlem  15203  lgscllem  20542  lgsval4a  20557  lgsneg  20558  lgsdir  20569  lgsdilem2  20570  lgsdi  20571  lgsne0  20572  dmgmseqn0  23696  clfsebs  25347  fmul01  27710  fmulcl  27711  fmuldfeq  27713  fmul01lt1lem1  27714  fmul01lt1lem2  27715  stoweidlem3  27752  stoweidlem42  27791  stoweidlem48  27797  wallispilem4  27817  wallispi  27819  wallispi2lem1  27820  wallispi2  27822  stirlinglem5  27827  stirlinglem7  27829  stirlinglem10  27832
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-seq 11047
  Copyright terms: Public domain W3C validator