MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqcl Structured version   Unicode version

Theorem seqcl 11343
Description: Closure properties of the recursive sequence builder. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqcl.1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
seqcl.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
seqcl.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
Assertion
Ref Expression
seqcl  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  e.  S )
Distinct variable groups:    x, y,  .+    x, F, y    x, M, y    ph, x, y   
x, S, y    x, N
Allowed substitution hint:    N( y)

Proof of Theorem seqcl
StepHypRef Expression
1 seqcl.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 eluzfz1 11064 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M ... N ) )
4 seqcl.2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
54ralrimiva 2789 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M ... N ) ( F `  x
)  e.  S )
6 fveq2 5728 . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  ( F `  x )  =  ( F `  M ) )
76eleq1d 2502 . . . 4  |-  ( x  =  M  ->  (
( F `  x
)  e.  S  <->  ( F `  M )  e.  S
) )
87rspcv 3048 . . 3  |-  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( A. x  e.  ( M ... N ) ( F `  x )  e.  S  ->  ( F `  M )  e.  S ) )
93, 5, 8sylc 58 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  S )
10 seqcl.3 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
11 eluzel2 10493 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
121, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
13 fzp1ss 11098 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( M  +  1 ) ... N ) 
C_  ( M ... N ) )
1412, 13syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  C_  ( M ... N ) )
1514sselda 3348 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  x  e.  ( M ... N
) )
1615, 4syldan 457 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( F `  x )  e.  S )
179, 10, 1, 16seqcl2 11341 1  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705    C_ wss 3320   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   1c1 8991    + caddc 8993   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   ...cfz 11043    seq cseq 11323
This theorem is referenced by:  sermono  11355  seqsplit  11356  seqcaopr2  11359  seqf1olem2a  11361  seqf1olem2  11363  seqid3  11367  seqhomo  11370  seqz  11371  seqdistr  11374  serge0  11377  serle  11378  seqof  11380  seqcoll  11712  seqcoll2  11713  fsumcl2lem  12525  eulerthlem2  13171  gsumwsubmcl  14784  mulgnnsubcl  14902  gsumzcl  15518  gsumzaddlem  15526  lgscllem  21087  lgsval4a  21102  lgsneg  21103  lgsdir  21114  lgsdilem2  21115  lgsdi  21116  lgsne0  21117  prodfn0  25222  prodfrec  25223  prodfdiv  25224  fprodcl2lem  25276  faclim  25365  mblfinlem2  26244  fmul01  27686  fmulcl  27687  fmuldfeq  27689  fmul01lt1lem1  27690  fmul01lt1lem2  27691  stoweidlem3  27728  stoweidlem42  27767  stoweidlem48  27773  wallispilem4  27793  wallispi  27795  wallispi2lem1  27796  wallispi2  27798  stirlinglem5  27803  stirlinglem7  27805  stirlinglem10  27808
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-seq 11324
  Copyright terms: Public domain W3C validator