MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqcl Unicode version

Theorem seqcl 11113
Description: Closure properties of the recursive sequence builder. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqcl.1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
seqcl.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
seqcl.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
Assertion
Ref Expression
seqcl  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  e.  S )
Distinct variable groups:    x, y,  .+    x, F, y    x, M, y    ph, x, y   
x, S, y    x, N
Allowed substitution hint:    N( y)

Proof of Theorem seqcl
StepHypRef Expression
1 seqcl.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 eluzfz1 10850 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
31, 2syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M ... N ) )
4 seqcl.2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
54ralrimiva 2660 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M ... N ) ( F `  x
)  e.  S )
6 fveq2 5563 . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  ( F `  x )  =  ( F `  M ) )
76eleq1d 2382 . . . 4  |-  ( x  =  M  ->  (
( F `  x
)  e.  S  <->  ( F `  M )  e.  S
) )
87rspcv 2914 . . 3  |-  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( A. x  e.  ( M ... N ) ( F `  x )  e.  S  ->  ( F `  M )  e.  S ) )
93, 5, 8sylc 56 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  S )
10 seqcl.3 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
11 eluzel2 10282 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
121, 11syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
13 fzp1ss 10884 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( M  +  1 ) ... N ) 
C_  ( M ... N ) )
1412, 13syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  C_  ( M ... N ) )
1514sselda 3214 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  x  e.  ( M ... N
) )
1615, 4syldan 456 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( F `  x )  e.  S )
179, 10, 1, 16seqcl2 11111 1  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   A.wral 2577    C_ wss 3186   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   1c1 8783    + caddc 8785   ZZcz 10071   ZZ>=cuz 10277   ...cfz 10829    seq cseq 11093
This theorem is referenced by:  sermono  11125  seqsplit  11126  seqcaopr2  11129  seqf1olem2a  11131  seqf1olem2  11133  seqid3  11137  seqhomo  11140  seqz  11141  seqdistr  11144  serge0  11147  serle  11148  seqof  11150  seqcoll  11448  seqcoll2  11449  fsumcl2lem  12251  eulerthlem2  12897  gsumwsubmcl  14510  mulgnnsubcl  14628  gsumzcl  15244  gsumzaddlem  15252  lgscllem  20595  lgsval4a  20610  lgsneg  20611  lgsdir  20622  lgsdilem2  20623  lgsdi  20624  lgsne0  20625  dmgmseqn0  23980  fprodcl2lem  24453  faclim  24484  fmul01  26858  fmulcl  26859  fmuldfeq  26861  fmul01lt1lem1  26862  fmul01lt1lem2  26863  stoweidlem3  26900  stoweidlem42  26939  stoweidlem48  26945  wallispilem4  26965  wallispi  26967  wallispi2lem1  26968  wallispi2  26970  stirlinglem5  26975  stirlinglem7  26977  stirlinglem10  26980
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-fz 10830  df-seq 11094
  Copyright terms: Public domain W3C validator