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Theorem seqcl2 11156
Description: Closure properties of the recursive sequence builder. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqcl2.1  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  C )
seqcl2.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  D ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  C )
seqcl2.3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
seqcl2.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( F `  x )  e.  D )
Assertion
Ref Expression
seqcl2  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  e.  C )
Distinct variable groups:    x, y, C    x, D, y    x, F, y    x, M, y   
x, N    x,  .+ , y    ph, x, y
Allowed substitution hint:    N( y)

Proof of Theorem seqcl2
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqcl2.3 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 eluzfz2 10896 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
31, 2syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M ... N ) )
4 eleq1 2418 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  M  e.  ( M ... N ) ) )
5 fveq2 5608 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  M
) )
65eleq1d 2424 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  x )  e.  C  <->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  M
)  e.  C ) )
74, 6imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  x )  e.  C )  <->  ( M  e.  ( M ... N
)  ->  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  M )  e.  C ) ) )
87imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  M  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
)  e.  C ) )  <->  ( ph  ->  ( M  e.  ( M ... N )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  M )  e.  C
) ) ) )
9 eleq1 2418 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  n  e.  ( M ... N ) ) )
10 fveq2 5608 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
) )
1110eleq1d 2424 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  x )  e.  C  <->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
)  e.  C ) )
129, 11imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  x )  e.  C )  <->  ( n  e.  ( M ... N
)  ->  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  n )  e.  C ) ) )
1312imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  n  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
)  e.  C ) )  <->  ( ph  ->  ( n  e.  ( M ... N )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  n )  e.  C
) ) ) )
14 eleq1 2418 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
) ) )
15 fveq2 5608 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )
1615eleq1d 2424 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  x )  e.  C  <->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  e.  C ) )
1714, 16imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  x )  e.  C )  <->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  e.  C ) ) )
1817imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
)  e.  C ) )  <->  ( ph  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( n  +  1
) )  e.  C
) ) ) )
19 eleq1 2418 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  N  e.  ( M ... N ) ) )
20 fveq2 5608 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  N
) )
2120eleq1d 2424 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  x )  e.  C  <->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  N
)  e.  C ) )
2219, 21imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  x )  e.  C )  <->  ( N  e.  ( M ... N
)  ->  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  N )  e.  C ) ) )
2322imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
)  e.  C ) )  <->  ( ph  ->  ( N  e.  ( M ... N )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  N )  e.  C
) ) ) )
24 seqcl2.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  C )
25 seq1 11151 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  M
)  =  ( F `
 M ) )
2625eleq1d 2424 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  M )  e.  C  <->  ( F `  M )  e.  C ) )
2724, 26syl5ibr 212 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  M )  e.  C ) )
2827a1dd 42 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  ( M  e.  ( M ... N
)  ->  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  M )  e.  C ) ) )
29 peano2fzr 10900 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  n  e.  ( M ... N ) )
3029adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  n  e.  ( M ... N ) )
3130expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  n  e.  ( M ... N
) ) )
3231imim1d 69 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  e.  ( M ... N )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  n )  e.  C
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
)  e.  C ) ) )
33 eluzp1p1 10345 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
3433ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
35 elfzuz3 10887 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )
3635ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )
37 elfzuzb 10884 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  <->  ( (
n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ) )
3834, 36, 37sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )
39 seqcl2.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( F `  x )  e.  D )
4039ralrimiva 2702 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ( F `  x
)  e.  D )
4140adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  A. x  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ( F `  x )  e.  D
)
42 fveq2 5608 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
4342eleq1d 2424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  x
)  e.  D  <->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  D
) )
4443rspcv 2956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  ( A. x  e.  (
( M  +  1 ) ... N ) ( F `  x
)  e.  D  -> 
( F `  (
n  +  1 ) )  e.  D ) )
4538, 41, 44sylc 56 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  D
)
46 seqcl2.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  D ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  C )
4746caovclg 6099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
)  e.  C  /\  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  D ) )  ->  ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  e.  C )
4847ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
)  e.  C  /\  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  D )  -> 
( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) )  e.  C
) )
4948adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( (
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  n )  e.  C  /\  ( F `  (
n  +  1 ) )  e.  D )  ->  ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  e.  C ) )
5045, 49mpan2d 655 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
)  e.  C  -> 
( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) )  e.  C
) )
51 seqp1 11153 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
5251ad2antrl 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
5352eleq1d 2424 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  e.  C  <->  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  e.  C ) )
5450, 53sylibrd 225 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
)  e.  C  -> 
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( n  +  1
) )  e.  C
) )
5554expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  n )  e.  C  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) )  e.  C ) ) )
5655a2d 23 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  n )  e.  C
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  e.  C ) ) )
5732, 56syld 40 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  e.  ( M ... N )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  n )  e.  C
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  e.  C ) ) )
5857expcom 424 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( ( n  e.  ( M ... N
)  ->  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  n )  e.  C )  ->  (
( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( n  +  1
) )  e.  C
) ) ) )
5958a2d 23 . . . 4  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ph  ->  ( n  e.  ( M ... N
)  ->  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  n )  e.  C ) )  -> 
( ph  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  e.  C ) ) ) )
608, 13, 18, 23, 28, 59uzind4 10368 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( N  e.  ( M ... N )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  N )  e.  C ) ) )
611, 60mpcom 32 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  e.  ( M ... N )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  N )  e.  C ) )
623, 61mpd 14 1  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  e.  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   1c1 8828    + caddc 8830   ZZcz 10116   ZZ>=cuz 10322   ...cfz 10874    seq cseq 11138
This theorem is referenced by:  seqf2  11157  seqcl  11158  seqz  11186
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-fz 10875  df-seq 11139
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