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Theorem seqcoll 11417
 Description: The function contains a sparse set of non-zero values to be summed. The function is an order isomorphism from the set of non-zero values of to a 1-based finite sequence, and collects these non-zero values together. Under these conditions, the sum over the values in yields the same result as the sum over the original set . (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqcoll.1
seqcoll.1b
seqcoll.c
seqcoll.a
seqcoll.2
seqcoll.3
seqcoll.4
seqcoll.5
seqcoll.6
seqcoll.7
Assertion
Ref Expression
seqcoll
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   ()

Proof of Theorem seqcoll
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqcoll.3 . 2
2 elfznn 10835 . . . 4
31, 2syl 15 . . 3
4 eleq1 2356 . . . . . 6
5 fveq2 5541 . . . . . . . 8
65fveq2d 5545 . . . . . . 7
7 fveq2 5541 . . . . . . 7
86, 7eqeq12d 2310 . . . . . 6
94, 8imbi12d 311 . . . . 5
109imbi2d 307 . . . 4
11 eleq1 2356 . . . . . 6
12 fveq2 5541 . . . . . . . 8
1312fveq2d 5545 . . . . . . 7
14 fveq2 5541 . . . . . . 7
1513, 14eqeq12d 2310 . . . . . 6
1611, 15imbi12d 311 . . . . 5
1716imbi2d 307 . . . 4
18 eleq1 2356 . . . . . 6
19 fveq2 5541 . . . . . . . 8
2019fveq2d 5545 . . . . . . 7
21 fveq2 5541 . . . . . . 7
2220, 21eqeq12d 2310 . . . . . 6
2318, 22imbi12d 311 . . . . 5
2423imbi2d 307 . . . 4
25 eleq1 2356 . . . . . 6
26 fveq2 5541 . . . . . . . 8
2726fveq2d 5545 . . . . . . 7
28 fveq2 5541 . . . . . . 7
2927, 28eqeq12d 2310 . . . . . 6
3025, 29imbi12d 311 . . . . 5
3130imbi2d 307 . . . 4
32 seqcoll.1 . . . . . . . . 9
33 seqcoll.a . . . . . . . . 9
34 seqcoll.4 . . . . . . . . . 10
35 seqcoll.2 . . . . . . . . . . . . 13
36 isof1o 5838 . . . . . . . . . . . . 13
3735, 36syl 15 . . . . . . . . . . . 12
38 f1of 5488 . . . . . . . . . . . 12
3937, 38syl 15 . . . . . . . . . . 11
40 elfzuz2 10817 . . . . . . . . . . . . 13
411, 40syl 15 . . . . . . . . . . . 12
42 eluzfz1 10819 . . . . . . . . . . . 12
4341, 42syl 15 . . . . . . . . . . 11
44 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11
4539, 43, 44syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
4634, 45sseldd 3194 . . . . . . . . 9
47 eluzle 10256 . . . . . . . . . . . . 13
4841, 47syl 15 . . . . . . . . . . . 12
49 elfzelz 10814 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5049ssriv 3197 . . . . . . . . . . . . . . . 16
51 zssre 10047 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5250, 51sstri 3201 . . . . . . . . . . . . . . 15
5352a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14
54 ressxr 8892 . . . . . . . . . . . . . 14
5553, 54syl6ss 3204 . . . . . . . . . . . . 13
56 eluzelre 10255 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5756ssriv 3197 . . . . . . . . . . . . . . 15
5834, 57syl6ss 3204 . . . . . . . . . . . . . 14
5958, 54syl6ss 3204 . . . . . . . . . . . . 13
60 eluzfz2 10820 . . . . . . . . . . . . . 14
6141, 60syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
62 leisorel 11414 . . . . . . . . . . . . 13
6335, 55, 59, 43, 61, 62syl122anc 1191 . . . . . . . . . . . 12
6448, 63mpbid 201 . . . . . . . . . . 11
65 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . 15
6639, 61, 65syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14
6734, 66sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . 13
68 eluzelz 10254 . . . . . . . . . . . . 13
6967, 68syl 15 . . . . . . . . . . . 12
70 elfz5 10806 . . . . . . . . . . . 12
7146, 69, 70syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11
7264, 71mpbird 223 . . . . . . . . . 10
73 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13
7473eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . 12
7574imbi2d 307 . . . . . . . . . . 11
76 seqcoll.5 . . . . . . . . . . . 12
7776expcom 424 . . . . . . . . . . 11
7875, 77vtoclga 2862 . . . . . . . . . 10
7972, 78mpcom 32 . . . . . . . . 9
80 eluzelz 10254 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8146, 80syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
82 peano2zm 10078 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8381, 82syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8483zred 10133 . . . . . . . . . . . . . . 15
8581zred 10133 . . . . . . . . . . . . . . 15
8669zred 10133 . . . . . . . . . . . . . . 15
8785lem1d 9706 . . . . . . . . . . . . . . 15
8884, 85, 86, 87, 64letrd 8989 . . . . . . . . . . . . . 14
89 eluz 10257 . . . . . . . . . . . . . . 15
9083, 69, 89syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14
9188, 90mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13
92 fzss2 10847 . . . . . . . . . . . . 13
9391, 92syl 15 . . . . . . . . . . . 12
9493sselda 3193 . . . . . . . . . . 11
95 eluzel2 10251 . . . . . . . . . . . . . . 15
9646, 95syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
97 elfzm11 10869 . . . . . . . . . . . . . 14
9896, 81, 97syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13
99 simp3 957 . . . . . . . . . . . . . 14
100 f1ocnv 5501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
10137, 100syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
102 f1of 5488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
103101, 102syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
104 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
105103, 104sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
106 elfznn 10835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
107105, 106syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
108107nnge1d 9804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10935adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
11055adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
11159adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
11243adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
113 leisorel 11414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
114109, 110, 111, 112, 105, 113syl122anc 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
115108, 114mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
116 f1ocnvfv2 5809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11737, 116sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
118115, 117breqtrd 4063 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11985adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12058sselda 3193 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
121119, 120lenltd 8981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
122118, 121mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16
123122ex 423 . . . . . . . . . . . . . . 15
124123con2d 107 . . . . . . . . . . . . . 14
12599, 124syl5 28 . . . . . . . . . . . . 13
12698, 125sylbid 206 . . . . . . . . . . . 12
127126imp 418 . . . . . . . . . . 11
128 eldif 3175 . . . . . . . . . . 11
12994, 127, 128sylanbrc 645 . . . . . . . . . 10
130 seqcoll.6 . . . . . . . . . 10
131129, 130syldan 456 . . . . . . . . 9
13232, 33, 46, 79, 131seqid 11107 . . . . . . . 8
133132fveq1d 5543 . . . . . . 7
134 uzid 10258 . . . . . . . . 9
13581, 134syl 15 . . . . . . . 8
136 fvres 5558 . . . . . . . 8
137135, 136syl 15 . . . . . . 7
138 seq1 11075 . . . . . . . . 9
13981, 138syl 15 . . . . . . . 8
140 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12
141 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13
142141fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12
143140, 142eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . 11
144143imbi2d 307 . . . . . . . . . 10
145 seqcoll.7 . . . . . . . . . . 11
146145expcom 424 . . . . . . . . . 10
147144, 146vtoclga 2862 . . . . . . . . 9
14843, 147mpcom 32 . . . . . . . 8
149139, 148eqtr4d 2331 . . . . . . 7
150133, 137, 1493eqtr3d 2336 . . . . . 6
151 1z 10069 . . . . . . 7
152 seq1 11075 . . . . . . 7
153151, 152ax-mp 8 . . . . . 6
154150, 153syl6eqr 2346 . . . . 5
155154a1d 22 . . . 4
156 simplr 731 . . . . . . . . . . 11
157 nnuz 10279 . . . . . . . . . . 11
158156, 157syl6eleq 2386 . . . . . . . . . 10
159 nnz 10061 . . . . . . . . . . . 12
160159ad2antlr 707 . . . . . . . . . . 11
161 elfzuz3 10811 . . . . . . . . . . . 12
162161adantl 452 . . . . . . . . . . 11
163 peano2uzr 10290 . . . . . . . . . . 11
164160, 162, 163syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
165 elfzuzb 10808 . . . . . . . . . 10
166158, 164, 165sylanbrc 645 . . . . . . . . 9
167166ex 423 . . . . . . . 8
168167imim1d 69 . . . . . . 7
169 oveq1 5881 . . . . . . . . . 10
170 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . 15
171 seqcoll.1b . . . . . . . . . . . . . . 15
172170, 171sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14
17334ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15
17439ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16
175 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . 16
176174, 166, 175syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15
177173, 176sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . 14
178 nnre 9769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
179178ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
180179ltp1d 9703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
18135ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
182 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
183 isorel 5839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
184181, 166, 182, 183syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
185180, 184mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16
186 eluzelz 10254 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
187177, 186syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
188 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
189174, 182, 188syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
190173, 189sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
191 eluzelz 10254 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
192190, 191syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
193 zltlem1 10086 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
194187, 192, 193syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16
195185, 194mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15
196 peano2zm 10078 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
197192, 196syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
198 eluz 10257 . . . . . . . . . . . . . . . 16
199187, 197, 198syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15
200195, 199mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . 14
201197zred 10133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
202192zred 10133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
20386ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
204202lem1d 9706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
205 elfzle2 10816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
206205adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
20755ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
20859ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
20961ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
210 leisorel 11414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
211181, 207, 208, 182, 209, 210syl122anc 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
212206, 211mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
213201, 202, 203, 204, 212letrd 8989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
21469ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
215 eluz 10257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
216197, 214, 215syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
217213, 216mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
218 uztrn 10260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
219217, 200, 218syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
220 fzss2 10847 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
221219, 220syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
222221sselda 3193 . . . . . . . . . . . . . . . 16
223170, 76sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16
224222, 223syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . 15
225 seqcoll.c . . . . . . . . . . . . . . . 16
226170, 225sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15
227177, 224, 226seqcl 11082 . . . . . . . . . . . . . 14
228 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . . 15
229 elfzuz 10810 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
230 peano2uz 10288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
231177, 230syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
232 uztrn 10260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
233229, 231, 232syl2anr 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
234 elfzuz3 10811 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
235 uztrn 10260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
236217, 234, 235syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
237 elfzuzb 10808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
238233, 236, 237sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16
239 elfzle1 10815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
240 elfzle2 10816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
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