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Theorem seqcoll 11700
Description: The function  F contains a sparse set of non-zero values to be summed. The function  G is an order isomorphism from the set of non-zero values of  F to a 1-based finite sequence, and  H collects these non-zero values together. Under these conditions, the sum over the values in  H yields the same result as the sum over the original set  F. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqcoll.1  |-  ( (
ph  /\  k  e.  S )  ->  ( Z  .+  k )  =  k )
seqcoll.1b  |-  ( (
ph  /\  k  e.  S )  ->  (
k  .+  Z )  =  k )
seqcoll.c  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  S  /\  n  e.  S ) )  -> 
( k  .+  n
)  e.  S )
seqcoll.a  |-  ( ph  ->  Z  e.  S )
seqcoll.2  |-  ( ph  ->  G  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) )
seqcoll.3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )
seqcoll.4  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
seqcoll.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( G `
 ( # `  A
) ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  S
)
seqcoll.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M ... ( G `  ( # `  A ) ) ) 
\  A ) )  ->  ( F `  k )  =  Z )
seqcoll.7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( H `  n )  =  ( F `  ( G `
 n ) ) )
Assertion
Ref Expression
seqcoll  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 ( G `  N ) )  =  (  seq  1 ( 
.+  ,  H ) `
 N ) )
Distinct variable groups:    k, n, A    k, F, n    k, G, n    n, H    k, M, n    .+ , k, n    ph, k, n    S, k, n    k, Z
Allowed substitution hints:    H( k)    N( k, n)    Z( n)

Proof of Theorem seqcoll
Dummy variables  m  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqcoll.3 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )
2 elfznn 11069 . . . 4  |-  ( N  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  ->  N  e.  NN )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4 eleq1 2495 . . . . . 6  |-  ( y  =  1  ->  (
y  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  <->  1  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) ) )
5 fveq2 5719 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  1  ->  ( G `  y )  =  ( G ` 
1 ) )
65fveq2d 5723 . . . . . . 7  |-  ( y  =  1  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( G `  y )
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  ( G `  1 )
) )
7 fveq2 5719 . . . . . . 7  |-  ( y  =  1  ->  (  seq  1 (  .+  ,  H ) `  y
)  =  (  seq  1 (  .+  ,  H ) `  1
) )
86, 7eqeq12d 2449 . . . . . 6  |-  ( y  =  1  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( G `  y ) )  =  (  seq  1 (  .+  ,  H ) `  y
)  <->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  ( G `  1 ) )  =  (  seq  1
(  .+  ,  H
) `  1 )
) )
94, 8imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( y  =  1  ->  (
( y  e.  ( 1 ... ( # `  A ) )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( G `  y ) )  =  (  seq  1 (  .+  ,  H ) `  y
) )  <->  ( 1  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( G `  1 )
)  =  (  seq  1 (  .+  ,  H ) `  1
) ) ) )
109imbi2d 308 . . . 4  |-  ( y  =  1  ->  (
( ph  ->  ( y  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( G `  y )
)  =  (  seq  1 (  .+  ,  H ) `  y
) ) )  <->  ( ph  ->  ( 1  e.  ( 1 ... ( # `  A ) )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( G `  1 ) )  =  (  seq  1 (  .+  ,  H ) `  1
) ) ) ) )
11 eleq1 2495 . . . . . 6  |-  ( y  =  m  ->  (
y  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  <->  m  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) ) )
12 fveq2 5719 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  m  ->  ( G `  y )  =  ( G `  m ) )
1312fveq2d 5723 . . . . . . 7  |-  ( y  =  m  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( G `  y )
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  ( G `  m )
) )
14 fveq2 5719 . . . . . . 7  |-  ( y  =  m  ->  (  seq  1 (  .+  ,  H ) `  y
)  =  (  seq  1 (  .+  ,  H ) `  m
) )
1513, 14eqeq12d 2449 . . . . . 6  |-  ( y  =  m  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( G `  y ) )  =  (  seq  1 (  .+  ,  H ) `  y
)  <->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  ( G `  m ) )  =  (  seq  1 ( 
.+  ,  H ) `
 m ) ) )
1611, 15imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( y  =  m  ->  (
( y  e.  ( 1 ... ( # `  A ) )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( G `  y ) )  =  (  seq  1 (  .+  ,  H ) `  y
) )  <->  ( m  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  ( G `  m ) )  =  (  seq  1 ( 
.+  ,  H ) `
 m ) ) ) )
1716imbi2d 308 . . . 4  |-  ( y  =  m  ->  (
( ph  ->  ( y  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( G `  y )
)  =  (  seq  1 (  .+  ,  H ) `  y
) ) )  <->  ( ph  ->  ( m  e.  ( 1 ... ( # `  A ) )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( G `  m ) )  =  (  seq  1 (  .+  ,  H ) `  m
) ) ) ) )
18 eleq1 2495 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( m  + 
1 )  ->  (
y  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  <->  ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) ) )
19 fveq2 5719 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( m  + 
1 )  ->  ( G `  y )  =  ( G `  ( m  +  1
) ) )
2019fveq2d 5723 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( m  + 
1 )  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( G `  y )
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  ( G `  ( m  +  1 ) ) ) )
21 fveq2 5719 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( m  + 
1 )  ->  (  seq  1 (  .+  ,  H ) `  y
)  =  (  seq  1 (  .+  ,  H ) `  (
m  +  1 ) ) )
2220, 21eqeq12d 2449 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( m  + 
1 )  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( G `  y ) )  =  (  seq  1 (  .+  ,  H ) `  y
)  <->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  ( G `  ( m  +  1 ) ) )  =  (  seq  1 ( 
.+  ,  H ) `
 ( m  + 
1 ) ) ) )
2318, 22imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( y  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( y  e.  ( 1 ... ( # `  A ) )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( G `  y ) )  =  (  seq  1 (  .+  ,  H ) `  y
) )  <->  ( (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( G `  ( m  +  1 ) ) )  =  (  seq  1 (  .+  ,  H ) `  (
m  +  1 ) ) ) ) )
2423imbi2d 308 . . . 4  |-  ( y  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( y  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( G `  y )
)  =  (  seq  1 (  .+  ,  H ) `  y
) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( m  + 
1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A ) )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( G `  ( m  +  1 ) ) )  =  (  seq  1 (  .+  ,  H ) `  (
m  +  1 ) ) ) ) ) )
25 eleq1 2495 . . . . . 6  |-  ( y  =  N  ->  (
y  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  <->  N  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) ) )
26 fveq2 5719 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  N  ->  ( G `  y )  =  ( G `  N ) )
2726fveq2d 5723 . . . . . . 7  |-  ( y  =  N  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( G `  y )
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  ( G `  N )
) )
28 fveq2 5719 . . . . . . 7  |-  ( y  =  N  ->  (  seq  1 (  .+  ,  H ) `  y
)  =  (  seq  1 (  .+  ,  H ) `  N
) )
2927, 28eqeq12d 2449 . . . . . 6  |-  ( y  =  N  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( G `  y ) )  =  (  seq  1 (  .+  ,  H ) `  y
)  <->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  ( G `  N ) )  =  (  seq  1 ( 
.+  ,  H ) `
 N ) ) )
3025, 29imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( y  =  N  ->  (
( y  e.  ( 1 ... ( # `  A ) )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( G `  y ) )  =  (  seq  1 (  .+  ,  H ) `  y
) )  <->  ( N  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  ( G `  N ) )  =  (  seq  1 ( 
.+  ,  H ) `
 N ) ) ) )
3130imbi2d 308 . . . 4  |-  ( y  =  N  ->  (
( ph  ->  ( y  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( G `  y )
)  =  (  seq  1 (  .+  ,  H ) `  y
) ) )  <->  ( ph  ->  ( N  e.  ( 1 ... ( # `  A ) )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( G `  N ) )  =  (  seq  1 (  .+  ,  H ) `  N
) ) ) ) )
32 seqcoll.1 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  S )  ->  ( Z  .+  k )  =  k )
33 seqcoll.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z  e.  S )
34 seqcoll.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
35 seqcoll.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) )
36 isof1o 6036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G 
Isom  <  ,  <  (
( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A )  ->  G : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )
38 f1of 5665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  G :
( 1 ... ( # `
 A ) ) --> A )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A )
40 elfzuz2 11051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  ->  ( # `
 A )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
411, 40syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( # `  A
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
42 eluzfz1 11053 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  A )  e.  ( ZZ>= `  1 )  ->  1  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )
4439, 43ffvelrnd 5862 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G `  1
)  e.  A )
4534, 44sseldd 3341 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  1
)  e.  ( ZZ>= `  M ) )
46 eluzle 10487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  A )  e.  ( ZZ>= `  1 )  ->  1  <_  ( # `  A
) )
4741, 46syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  <_  ( # `  A
) )
48 elfzelz 11048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  ->  k  e.  ZZ )
4948ssriv 3344 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1 ... ( # `  A
) )  C_  ZZ
50 zssre 10278 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ZZ  C_  RR
5149, 50sstri 3349 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1 ... ( # `  A
) )  C_  RR
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( # `
 A ) ) 
C_  RR )
53 ressxr 9118 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR  C_  RR*
5452, 53syl6ss 3352 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( # `
 A ) ) 
C_  RR* )
55 eluzelre 10486 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  RR )
5655ssriv 3344 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  RR
5734, 56syl6ss 3352 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
5857, 53syl6ss 3352 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  C_  RR* )
59 eluzfz2 11054 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  A )  e.  ( ZZ>= `  1 )  ->  ( # `  A
)  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )
6041, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( # `  A
)  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )
61 leisorel 11697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A )  /\  ( ( 1 ... ( # `  A
) )  C_  RR*  /\  A  C_ 
RR* )  /\  (
1  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  /\  ( # `
 A )  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) ) )  ->  (
1  <_  ( # `  A
)  <->  ( G ` 
1 )  <_  ( G `  ( # `  A
) ) ) )
6235, 54, 58, 43, 60, 61syl122anc 1193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  ( # `
 A )  <->  ( G `  1 )  <_ 
( G `  ( # `
 A ) ) ) )
6347, 62mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G `  1
)  <_  ( G `  ( # `  A
) ) )
6439, 60ffvelrnd 5862 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( G `  ( # `
 A ) )  e.  A )
6534, 64sseldd 3341 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G `  ( # `
 A ) )  e.  ( ZZ>= `  M
) )
66 eluzelz 10485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G `  ( # `  A ) )  e.  ( ZZ>= `  M )  ->  ( G `  ( # `
 A ) )  e.  ZZ )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G `  ( # `
 A ) )  e.  ZZ )
68 elfz5 11040 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G `  1
)  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( G `  ( # `  A
) )  e.  ZZ )  ->  ( ( G `
 1 )  e.  ( M ... ( G `  ( # `  A
) ) )  <->  ( G `  1 )  <_ 
( G `  ( # `
 A ) ) ) )
6945, 67, 68syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( G ` 
1 )  e.  ( M ... ( G `
 ( # `  A
) ) )  <->  ( G `  1 )  <_ 
( G `  ( # `
 A ) ) ) )
7063, 69mpbird 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G `  1
)  e.  ( M ... ( G `  ( # `  A ) ) ) )
71 fveq2 5719 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( G ` 
1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( G `  1 ) ) )
7271eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( G ` 
1 )  ->  (
( F `  k
)  e.  S  <->  ( F `  ( G `  1
) )  e.  S
) )
7372imbi2d 308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( G ` 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( F `
 k )  e.  S )  <->  ( ph  ->  ( F `  ( G `  1 )
)  e.  S ) ) )
74 seqcoll.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( G `
 ( # `  A
) ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  S
)
7574expcom 425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( M ... ( G `  ( # `  A ) ) )  ->  ( ph  ->  ( F `  k )  e.  S ) )
7673, 75vtoclga 3009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  1 )  e.  ( M ... ( G `  ( # `  A ) ) )  ->  ( ph  ->  ( F `  ( G `
 1 ) )  e.  S ) )
7770, 76mpcom 34 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  ( G `  1 )
)  e.  S )
78 eluzelz 10485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G `  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( G `  1 )  e.  ZZ )
7945, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( G `  1
)  e.  ZZ )
80 peano2zm 10309 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G `  1 )  e.  ZZ  ->  (
( G `  1
)  -  1 )  e.  ZZ )
8179, 80syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( G ` 
1 )  -  1 )  e.  ZZ )
8281zred 10364 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( G ` 
1 )  -  1 )  e.  RR )
8379zred 10364 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( G `  1
)  e.  RR )
8467zred 10364 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( G `  ( # `
 A ) )  e.  RR )
8583lem1d 9933 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( G ` 
1 )  -  1 )  <_  ( G `  1 ) )
8682, 83, 84, 85, 63letrd 9216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( G ` 
1 )  -  1 )  <_  ( G `  ( # `  A
) ) )
87 eluz 10488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G ` 
1 )  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( G `  ( # `  A ) )  e.  ZZ )  ->  (
( G `  ( # `
 A ) )  e.  ( ZZ>= `  (
( G `  1
)  -  1 ) )  <->  ( ( G `
 1 )  - 
1 )  <_  ( G `  ( # `  A
) ) ) )
8881, 67, 87syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( G `  ( # `  A ) )  e.  ( ZZ>= `  ( ( G ` 
1 )  -  1 ) )  <->  ( ( G `  1 )  -  1 )  <_ 
( G `  ( # `
 A ) ) ) )
8986, 88mpbird 224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G `  ( # `
 A ) )  e.  ( ZZ>= `  (
( G `  1
)  -  1 ) ) )
90 fzss2 11081 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G `  ( # `  A ) )  e.  ( ZZ>= `  ( ( G `  1 )  -  1 ) )  ->  ( M ... ( ( G ` 
1 )  -  1 ) )  C_  ( M ... ( G `  ( # `  A ) ) ) )
9189, 90syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( M ... (
( G `  1
)  -  1 ) )  C_  ( M ... ( G `  ( # `
 A ) ) ) )
9291sselda 3340 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( ( G `  1 )  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( M ... ( G `
 ( # `  A
) ) ) )
93 eluzel2 10482 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G `  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
9445, 93syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
95 elfzm11 11104 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( G `  1 )  e.  ZZ )  -> 
( k  e.  ( M ... ( ( G `  1 )  -  1 ) )  <-> 
( k  e.  ZZ  /\  M  <_  k  /\  k  <  ( G ` 
1 ) ) ) )
9694, 79, 95syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( M ... ( ( G `  1 )  -  1 ) )  <-> 
( k  e.  ZZ  /\  M  <_  k  /\  k  <  ( G ` 
1 ) ) ) )
97 simp3 959 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  M  <_  k  /\  k  <  ( G `  1
) )  ->  k  <  ( G `  1
) )
98 f1ocnv 5678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( G : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  `' G : A -1-1-onto-> ( 1 ... ( # `
 A ) ) )
9937, 98syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  `' G : A -1-1-onto-> ( 1 ... ( # `  A
) ) )
100 f1of 5665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( `' G : A -1-1-onto-> ( 1 ... ( # `  A
) )  ->  `' G : A --> ( 1 ... ( # `  A
) ) )
10199, 100syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  `' G : A --> ( 1 ... ( # `  A
) ) )
102101ffvelrnda 5861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( `' G `  k )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )
103 elfznn 11069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( `' G `  k )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  ->  ( `' G `  k )  e.  NN )
104102, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( `' G `  k )  e.  NN )
105104nnge1d 10031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  1  <_  ( `' G `  k ) )
10635adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  G  Isom  <  ,  <  (
( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) )
10754adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
1 ... ( # `  A
) )  C_  RR* )
10858adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  A  C_ 
RR* )
10943adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  1  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )
110 leisorel 11697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A )  /\  ( ( 1 ... ( # `  A
) )  C_  RR*  /\  A  C_ 
RR* )  /\  (
1  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  /\  ( `' G `  k )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) ) )  ->  ( 1  <_ 
( `' G `  k )  <->  ( G `  1 )  <_ 
( G `  ( `' G `  k ) ) ) )
111106, 107, 108, 109, 102, 110syl122anc 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
1  <_  ( `' G `  k )  <->  ( G `  1 )  <_  ( G `  ( `' G `  k ) ) ) )
112105, 111mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( G `  1 )  <_  ( G `  ( `' G `  k ) ) )
113 f1ocnvfv2 6006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  /\  k  e.  A )  ->  ( G `  ( `' G `  k )
)  =  k )
11437, 113sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( G `  ( `' G `  k )
)  =  k )
115112, 114breqtrd 4228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( G `  1 )  <_  k )
11683adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( G `  1 )  e.  RR )
11757sselda 3340 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  RR )
118116, 117lenltd 9208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( G `  1
)  <_  k  <->  -.  k  <  ( G `  1
) ) )
119115, 118mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  -.  k  <  ( G ` 
1 ) )
120119ex 424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  -.  k  <  ( G `  1 )
) )
121120con2d 109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( k  <  ( G `  1 )  ->  -.  k  e.  A
) )
12297, 121syl5 30 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ZZ  /\  M  <_ 
k  /\  k  <  ( G `  1 ) )  ->  -.  k  e.  A ) )
12396, 122sylbid 207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( M ... ( ( G `  1 )  -  1 ) )  ->  -.  k  e.  A ) )
124123imp 419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( ( G `  1 )  -  1 ) ) )  ->  -.  k  e.  A )
12592, 124eldifd 3323 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( ( G `  1 )  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( ( M ... ( G `  ( # `  A ) ) ) 
\  A ) )
126 seqcoll.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M ... ( G `  ( # `  A ) ) ) 
\  A ) )  ->  ( F `  k )  =  Z )
127125, 126syldan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( ( G `  1 )  -  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  =  Z )
12832, 33, 45, 77, 127seqid 11356 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  F )  |`  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  =  seq  ( G `  1 )
(  .+  ,  F
) )
129128fveq1d 5721 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (  seq  M
(  .+  ,  F
)  |`  ( ZZ>= `  ( G `  1 )
) ) `  ( G `  1 )
)  =  (  seq  ( G `  1
) (  .+  ,  F ) `  ( G `  1 )
) )
130 uzid 10489 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G `  1 )  e.  ZZ  ->  ( G `  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )
13179, 130syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G `  1
)  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )
132 fvres 5736 . . . . . . . 8  |-  ( ( G `  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 )
)  ->  ( (  seq  M (  .+  ,  F )  |`  ( ZZ>=
`  ( G ` 
1 ) ) ) `
 ( G ` 
1 ) )  =  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 ( G ` 
1 ) ) )
133131, 132syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (  seq  M
(  .+  ,  F
)  |`  ( ZZ>= `  ( G `  1 )
) ) `  ( G `  1 )
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  ( G `  1 )
) )
134 seq1 11324 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G `  1 )  e.  ZZ  ->  (  seq  ( G `  1
) (  .+  ,  F ) `  ( G `  1 )
)  =  ( F `
 ( G ` 
1 ) ) )
13579, 134syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  seq  ( G `
 1 ) ( 
.+  ,  F ) `
 ( G ` 
1 ) )  =  ( F `  ( G `  1 )
) )
136 fveq2 5719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  ( H `  n )  =  ( H ` 
1 ) )
137 fveq2 5719 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  1  ->  ( G `  n )  =  ( G ` 
1 ) )
138137fveq2d 5723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  ( F `  ( G `  n ) )  =  ( F `  ( G `  1 )
) )
139136, 138eqeq12d 2449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  (
( H `  n
)  =  ( F `
 ( G `  n ) )  <->  ( H `  1 )  =  ( F `  ( G `  1 )
) ) )
140139imbi2d 308 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  1  ->  (
( ph  ->  ( H `
 n )  =  ( F `  ( G `  n )
) )  <->  ( ph  ->  ( H `  1
)  =  ( F `
 ( G ` 
1 ) ) ) ) )
141 seqcoll.7 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( H `  n )  =  ( F `  ( G `
 n ) ) )
142141expcom 425 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  ->  ( ph  ->  ( H `  n )  =  ( F `  ( G `
 n ) ) ) )
143140, 142vtoclga 3009 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  ->  ( ph  ->  ( H ` 
1 )  =  ( F `  ( G `
 1 ) ) ) )
14443, 143mpcom 34 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( H `  1
)  =  ( F `
 ( G ` 
1 ) ) )
145135, 144eqtr4d 2470 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq  ( G `
 1 ) ( 
.+  ,  F ) `
 ( G ` 
1 ) )  =  ( H `  1
) )
146129, 133, 1453eqtr3d 2475 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 ( G ` 
1 ) )  =  ( H `  1
) )
147 1z 10300 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
148 seq1 11324 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (  seq  1 (  .+  ,  H ) `  1
)  =  ( H `
 1 ) )
149147, 148ax-mp 8 . . . . . 6  |-  (  seq  1 (  .+  ,  H ) `  1
)  =  ( H `
 1 )
150146, 149syl6eqr 2485 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 ( G ` 
1 ) )  =  (  seq  1 ( 
.+  ,  H ) `
 1 ) )
151150a1d 23 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  ( 1 ... ( # `  A ) )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( G `  1 ) )  =  (  seq  1 (  .+  ,  H ) `  1
) ) )
152 simplr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  ->  m  e.  NN )
153 nnuz 10510 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
154152, 153syl6eleq 2525 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  ->  m  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
155 nnz 10292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  ZZ )
156155ad2antlr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  ->  m  e.  ZZ )
157 elfzuz3 11045 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  ->  ( # `
 A )  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )
158157adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( # `  A )  e.  ( ZZ>= `  (
m  +  1 ) ) )
159 peano2uzr 10521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( # `  A )  e.  ( ZZ>= `  (
m  +  1 ) ) )  ->  ( # `
 A )  e.  ( ZZ>= `  m )
)
160156, 158, 159syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( # `  A )  e.  ( ZZ>= `  m
) )
161 elfzuzb 11042 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  <->  ( m  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  ( # `  A
)  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )
162154, 160, 161sylanbrc 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  ->  m  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )
163162ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  ->  m  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) ) )
164163imim1d 71 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( G `  m )
)  =  (  seq  1 (  .+  ,  H ) `  m
) )  ->  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( G `  m )
)  =  (  seq  1 (  .+  ,  H ) `  m
) ) ) )
165 oveq1 6079 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( G `  m )
)  =  (  seq  1 (  .+  ,  H ) `  m
)  ->  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( G `  m )
)  .+  ( H `  ( m  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  1
(  .+  ,  H
) `  m )  .+  ( H `  (
m  +  1 ) ) ) )
166 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  ->  ph )
167 seqcoll.1b . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  S )  ->  (
k  .+  Z )  =  k )
168166, 167sylan 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  /\  k  e.  S )  ->  ( k  .+  Z
)  =  k )
16934ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M
) )
17039ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  ->  G : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A )
171170, 162ffvelrnd 5862 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( G `  m
)  e.  A )
172169, 171sseldd 3341 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( G `  m
)  e.  ( ZZ>= `  M ) )
173 nnre 9996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  RR )
174173ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  ->  m  e.  RR )
175174ltp1d 9930 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  ->  m  <  ( m  + 
1 ) )
17635ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  ->  G  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) )
177 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )
178 isorel 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A )  /\  ( m  e.  (
1 ... ( # `  A
) )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) ) )  ->  ( m  < 
( m  +  1 )  <->  ( G `  m )  <  ( G `  ( m  +  1 ) ) ) )
179176, 162, 177, 178syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( m  <  (
m  +  1 )  <-> 
( G `  m
)  <  ( G `  ( m  +  1 ) ) ) )
180175, 179mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( G `  m
)  <  ( G `  ( m  +  1 ) ) )
181 eluzelz 10485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G `  m )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( G `  m )  e.  ZZ )
182172, 181syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( G `  m
)  e.  ZZ )
183170, 177ffvelrnd 5862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( G `  (
m  +  1 ) )  e.  A )
184169, 183sseldd 3341 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( G `  (
m  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
185 eluzelz 10485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G `  ( m  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( G `  ( m  +  1 ) )  e.  ZZ )
186184, 185syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( G `  (
m  +  1 ) )  e.  ZZ )
187 zltlem1 10317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( G `  m
)  e.  ZZ  /\  ( G `  ( m  +  1 ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( G `  m )  <  ( G `  ( m  +  1 ) )  <-> 
( G `  m
)  <_  ( ( G `  ( m  +  1 ) )  -  1 ) ) )
188182, 186, 187syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( G `  m )  <  ( G `  ( m  +  1 ) )  <-> 
( G `  m
)  <_  ( ( G `  ( m  +  1 ) )  -  1 ) ) )
189180, 188mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( G `  m
)  <_  ( ( G `  ( m  +  1 ) )  -  1 ) )
190 peano2zm 10309 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G `  ( m  +  1 ) )  e.  ZZ  ->  (
( G `  (
m  +  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ )
191186, 190syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( G `  ( m  +  1
) )  -  1 )  e.  ZZ )
192 eluz 10488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G `  m
)  e.  ZZ  /\  ( ( G `  ( m  +  1
) )  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( G `  ( m  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( G `  m ) )  <->  ( G `  m )  <_  (
( G `  (
m  +  1 ) )  -  1 ) ) )
193182, 191, 192syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( G `
 ( m  + 
1 ) )  - 
1 )  e.  (
ZZ>= `  ( G `  m ) )  <->  ( G `  m )  <_  (
( G `  (
m  +  1 ) )  -  1 ) ) )
194189, 193mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( G `  ( m  +  1
) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( G `  m ) ) )
195191zred 10364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( G `  ( m  +  1
) )  -  1 )  e.  RR )
196186zred 10364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( G `  (
m  +  1 ) )  e.  RR )
19784ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( G `  ( # `
 A ) )  e.  RR )
198196lem1d 9933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( G `  ( m  +  1
) )  -  1 )  <_  ( G `  ( m  +  1 ) ) )
199 elfzle2 11050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  ->  (
m  +  1 )  <_  ( # `  A
) )
200199adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( m  +  1 )  <_  ( # `  A
) )
20154ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( 1 ... ( # `
 A ) ) 
C_  RR* )
20258ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  ->  A  C_  RR* )
20360ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( # `  A )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )
204 leisorel 11697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( G  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A )  /\  ( ( 1 ... ( # `  A
) )  C_  RR*  /\  A  C_ 
RR* )  /\  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  /\  ( # `
 A )  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) ) )  ->  (
( m  +  1 )  <_  ( # `  A
)  <->  ( G `  ( m  +  1
) )  <_  ( G `  ( # `  A
) ) ) )
205176, 201, 202, 177, 203, 204syl122anc 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( m  + 
1 )  <_  ( # `
 A )  <->  ( G `  ( m  +  1 ) )  <_  ( G `  ( # `  A
) ) ) )
206200, 205mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( G `  (
m  +  1 ) )  <_  ( G `  ( # `  A
) ) )
207195, 196, 197, 198, 206letrd 9216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( G `  ( m  +  1
) )  -  1 )  <_  ( G `  ( # `  A
) ) )
20867ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( G `  ( # `
 A ) )  e.  ZZ )
209 eluz 10488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( G `  ( m  +  1
) )  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( G `  ( # `  A ) )  e.  ZZ )  ->  (
( G `  ( # `
 A ) )  e.  ( ZZ>= `  (
( G `  (
m  +  1 ) )  -  1 ) )  <->  ( ( G `
 ( m  + 
1 ) )  - 
1 )  <_  ( G `  ( # `  A
) ) ) )
210191, 208, 209syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( G `  ( # `  A ) )  e.  ( ZZ>= `  ( ( G `  ( m  +  1
) )  -  1 ) )  <->  ( ( G `  ( m  +  1 ) )  -  1 )  <_ 
( G `  ( # `
 A ) ) ) )
211207, 210mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( G `  ( # `
 A ) )  e.  ( ZZ>= `  (
( G `  (
m  +  1 ) )  -  1 ) ) )
212 uztrn 10491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( G `  ( # `
 A ) )  e.  ( ZZ>= `  (
( G `  (
m  +  1 ) )  -  1 ) )  /\  ( ( G `  ( m  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( G `  m ) ) )  ->  ( G `  ( # `  A ) )  e.  ( ZZ>= `  ( G `  m ) ) )
213211, 194, 212syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( G `  ( # `
 A ) )  e.  ( ZZ>= `  ( G `  m )
) )
214 fzss2 11081 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G `  ( # `  A ) )  e.  ( ZZ>= `  ( G `  m ) )  -> 
( M ... ( G `  m )
)  C_  ( M ... ( G `  ( # `
 A ) ) ) )
215213, 214syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( M ... ( G `  m )
)  C_  ( M ... ( G `  ( # `
 A ) ) ) )
216215sselda 3340 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  /\  k  e.  ( M ... ( G `  m
) ) )  -> 
k  e.  ( M ... ( G `  ( # `  A ) ) ) )
217166, 74sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  /\  k  e.  ( M ... ( G `  ( # `
 A ) ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  S )
218216, 217syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  /\  k  e.  ( M ... ( G `  m
) ) )  -> 
( F `  k
)  e.  S )
219 seqcoll.c . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  S  /\  n  e.  S ) )  -> 
( k  .+  n
)  e.  S )
220166, 219sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  /\  ( k  e.  S  /\  n  e.  S
) )  ->  (
k  .+  n )  e.  S )
221172, 218, 220seqcl 11331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( G `  m ) )  e.  S )
222 simplll 735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  /\  k  e.  ( (
( G `  m
)  +  1 ) ... ( ( G `
 ( m  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  ->  ph )
223 elfzuz 11044 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( ( ( G `  m )  +  1 ) ... ( ( G `  ( m  +  1
) )  -  1 ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( G `  m )  +  1 ) ) )
224 peano2uz 10519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G `  m )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( G `  m )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
225172, 224syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( G `  m )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
226 uztrn 10491 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  ( ( G `  m )  +  1 ) )  /\  (
( G `  m
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
227223, 225, 226syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  /\  k  e.  ( (
( G `  m
)  +  1 ) ... ( ( G `
 ( m  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  M ) )
228 elfzuz3 11045 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( ( ( G `  m )  +  1 ) ... ( ( G `  ( m  +  1
) )  -  1 ) )  ->  (
( G `  (
m  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  k
) )
229 uztrn 10491 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( G `  ( # `
 A ) )  e.  ( ZZ>= `  (
( G `  (
m  +  1 ) )  -  1 ) )  /\  ( ( G `  ( m  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  ( G `  ( # `  A
) )  e.  (
ZZ>= `  k ) )
230211, 228, 229syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  /\  k  e.  ( (
( G `  m
)  +  1 ) ... ( ( G `
 ( m  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  ->  ( G `  ( # `  A ) )  e.  ( ZZ>= `  k ) )
231 elfzuzb 11042 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( M ... ( G `  ( # `  A ) ) )  <-> 
( k  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( G `  ( # `  A ) )  e.  ( ZZ>= `  k )
) )
232227, 230, 231sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  /\  k  e.  ( (
( G `  m
)  +  1 ) ... ( ( G `
 ( m  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  ->  k  e.  ( M ... ( G `
 ( # `  A
) ) ) )
233 elfzle1 11049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( ( ( G `  m )  +  1 ) ... ( ( G `  ( m  +  1
) )  -  1 ) )  ->  (
( G `  m
)  +  1 )  <_  k )
234 elfzle2 11050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( ( ( G `  m )  +  1 ) ... ( ( G `  ( m  +  1
) )  -  1 ) )  ->  k  <_  ( ( G `  ( m  +  1
) )  -  1 ) )
235233, 234jca 519 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( ( ( G `  m )  +  1 ) ... ( ( G `  ( m  +  1
) )  -  1 ) )  ->  (
( ( G `  m )  +  1 )  <_  k  /\  k  <_  ( ( G `
 ( m  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )
236155ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  /\  k  e.  A ) )  ->  m  e.  ZZ )
237101ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  /\  k  e.  A ) )  ->  `' G : A --> ( 1 ... ( # `  A
) ) )
238 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  /\  k  e.  A ) )  -> 
k  e.  A )
239237, 238ffvelrnd 5862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  /\  k  e.  A ) )  -> 
( `' G `  k )  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )
240 elfzelz 11048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( `' G `  k )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  ->  ( `' G `  k )  e.  ZZ )
241239, 240syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  /\  k  e.  A ) )  -> 
( `' G `  k )  e.  ZZ )
242 btwnnz 10335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  m  <  ( `' G `  k )  /\  ( `' G `  k )  <  ( m  + 
1 ) )  ->  -.  ( `' G `  k )  e.  ZZ )
2432423expib 1156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( m  e.  ZZ  ->  (
( m  <  ( `' G `  k )  /\  ( `' G `  k )  <  (
m  +  1 ) )  ->  -.  ( `' G `  k )  e.  ZZ ) )
244243con2d 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  e.  ZZ  ->  (
( `' G `  k )  e.  ZZ  ->  -.  ( m  < 
( `' G `  k )  /\  ( `' G `  k )  <  ( m  + 
1 ) ) ) )
245236, 241, 244sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  /\  k  e.  A ) )  ->  -.  ( m  <  ( `' G `  k )  /\  ( `' G `  k )  <  (
m  +  1 ) ) )
24635ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  /\  k  e.  A ) )  ->  G  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) )
247162adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  /\  k  e.  A ) )  ->  m  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )
248 isorel 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( G  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A )  /\  ( m  e.  (
1 ... ( # `  A
) )  /\  ( `' G `  k )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) ) )  ->  ( m  < 
( `' G `  k )  <->  ( G `  m )  <  ( G `  ( `' G `  k )
) ) )
249246, 247, 239, 248syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  /\  k  e.  A ) )  -> 
( m  <  ( `' G `  k )  <-> 
( G `  m
)  <  ( G `  ( `' G `  k ) ) ) )
25037ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  /\  k  e.  A ) )  ->  G : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )
251250, 238, 113syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  /\  k  e.  A ) )  -> 
( G `  ( `' G `  k ) )  =  k )
252251breq2d 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  /\  k  e.  A ) )  -> 
( ( G `  m )  <  ( G `  ( `' G `  k )
)  <->  ( G `  m )  <  k
) )
253182adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  /\  k  e.  A ) )  -> 
( G `  m
)  e.  ZZ )
25434ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  /\  k  e.  A ) )  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M
) )
255254, 238sseldd 3341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  /\  k  e.  A ) )  -> 
k  e.  ( ZZ>= `  M ) )
256 eluzelz 10485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ZZ )
257255, 256syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  /\  k  e.  A ) )  -> 
k  e.  ZZ )
258 zltp1le 10314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( G `  m
)  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( G `  m )  <  k  <->  ( ( G `  m
)  +  1 )  <_  k ) )
259253, 257, 258syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  /\  k  e.  A ) )  -> 
( ( G `  m )  <  k  <->  ( ( G `  m
)  +  1 )  <_  k ) )
260249, 252, 2593bitrd 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  /\  k  e.  A ) )  -> 
( m  <  ( `' G `  k )  <-> 
( ( G `  m )  +  1 )  <_  k )
)
261177adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  /\  k  e.  A ) )  -> 
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )
262 isorel 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( G  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A )  /\  ( ( `' G `  k )  e.  ( 1 ... ( # `  A ) )  /\  ( m  +  1
)  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) ) )  ->  ( ( `' G `  k )  <  ( m  + 
1 )  <->  ( G `  ( `' G `  k ) )  < 
( G `  (
m  +  1 ) ) ) )
263246, 239, 261, 262syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  /\  k  e.  A ) )  -> 
( ( `' G `  k )  <  (
m  +  1 )  <-> 
( G `  ( `' G `  k ) )  <  ( G `
 ( m  + 
1 ) ) ) )
264251breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  /\  k  e.  A ) )  -> 
( ( G `  ( `' G `  k ) )  <  ( G `
 ( m  + 
1 ) )  <->  k  <  ( G `  ( m  +  1 ) ) ) )
265186adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  /\  k  e.  A ) )  -> 
( G `  (
m  +  1 ) )  e.  ZZ )
266 zltlem1 10317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( G `  ( m  +  1 ) )  e.  ZZ )  -> 
( k  <  ( G `  ( m  +  1 ) )  <-> 
k  <_  ( ( G `  ( m  +  1 ) )  -  1 ) ) )
267257, 265, 266syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  /\  k  e.  A ) )  -> 
( k  <  ( G `  ( m  +  1 ) )  <-> 
k  <_  ( ( G `  ( m  +  1 ) )  -  1 ) ) )
268263, 264, 2673bitrd 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  /\  k  e.  A ) )  -> 
( ( `' G `  k )  <  (
m  +  1 )  <-> 
k  <_  ( ( G `  ( m  +  1 ) )  -  1 ) ) )
269260, 268anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  /\  k  e.  A ) )  -> 
( ( m  < 
( `' G `  k )  /\  ( `' G `  k )  <  ( m  + 
1 ) )  <->  ( (
( G `  m
)  +  1 )  <_  k  /\  k  <_  ( ( G `  ( m  +  1
) )  -  1 ) ) ) )
270245, 269mtbid 292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  /\  k  e.  A ) )  ->  -.  ( ( ( G `
 m )  +  1 )  <_  k  /\  k  <_  ( ( G `  ( m  +  1 ) )  -  1 ) ) )
271270expr 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( k  e.  A  ->  -.  ( ( ( G `  m )  +  1 )  <_ 
k  /\  k  <_  ( ( G `  (
m  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )
272271con2d 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( ( G `  m )  +  1 )  <_ 
k  /\  k  <_  ( ( G `  (
m  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  -.  k  e.  A ) )
273235, 272syl5 30 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( k  e.  ( ( ( G `  m )  +  1 ) ... ( ( G `  ( m  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  -.  k  e.  A ) )
274273imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  /\  k  e.  ( (
( G `  m
)  +  1 ) ... ( ( G `
 ( m  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  ->  -.  k  e.  A )
275232, 274eldifd 3323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  /\  k  e.  ( (
( G `  m
)  +  1 ) ... ( ( G `
 ( m  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  ->  k  e.  ( ( M ... ( G `  ( # `  A
) ) )  \  A ) )
276222, 275, 126syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  /\  k  e.  ( (
( G `  m
)  +  1 ) ... ( ( G `
 ( m  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  ->  ( F `  k )  =  Z )
277168, 172, 194, 221, 276seqid2 11357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( G `  m ) )  =  (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  (
( G `  (
m  +  1 ) )  -  1 ) ) )
278277oveq1d 6087 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  ( G `  m ) )  .+  ( F `  ( G `
 ( m  + 
1 ) ) ) )  =  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  (
( G `  (
m  +  1 ) )  -  1 ) )  .+  ( F `
 ( G `  ( m  +  1
) ) ) ) )
279 fveq2 5719 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  ( H `  n )  =  ( H `  ( m  +  1
) ) )
280 fveq2 5719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  ( G `  n )  =  ( G `  ( m  +  1
) ) )
281280fveq2d 5723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  ( F `  ( G `  n ) )  =  ( F `  ( G `  ( m  +  1 ) ) ) )
282279, 281eqeq12d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( H `  n
)  =  ( F `
 ( G `  n ) )  <->  ( H `  ( m  +  1 ) )  =  ( F `  ( G `
 ( m  + 
1 ) ) ) ) )
283282imbi2d 308 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( H `
 n )  =  ( F `  ( G `  n )
) )  <->  ( ph  ->  ( H `  (
m  +  1 ) )  =  ( F `
 ( G `  ( m  +  1
) ) ) ) ) )
284283, 142vtoclga 3009 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  ->  ( ph  ->  ( H `  ( m  +  1
) )  =  ( F `  ( G `
 ( m  + 
1 ) ) ) ) )
285284impcom 420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( H `  ( m  +  1 ) )  =  ( F `  ( G `
 ( m  + 
1 ) ) ) )
286285adantlr 696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( H `  (
m  +  1 ) )  =  ( F `
 ( G `  ( m  +  1
) ) ) )
287286oveq2d 6088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  ( G `  m ) )  .+  ( H `  ( m  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( G `  m )
)  .+  ( F `  ( G `  (
m  +  1 ) ) ) ) )
28894ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  ->  M  e.  ZZ )
289186zcnd 10365 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( G `  (
m  +  1 ) )  e.  CC )
290 ax-1cn 9037 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
291 npcan 9303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G `  (
m  +  1 ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( G `
 ( m  + 
1 ) )  - 
1 )  +  1 )  =  ( G `
 ( m  + 
1 ) ) )
292289, 290, 291sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( G `
 ( m  + 
1 ) )  - 
1 )  +  1 )  =  ( G `
 ( m  + 
1 ) ) )
293 uztrn 10491 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G `  ( m  +  1
) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( G `  m ) )  /\  ( G `
 m )  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( G `  ( m  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
294194, 172, 293syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( G `  ( m  +  1
) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
295 eluzp1p1 10500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G `  (
m  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( G `  (
m  +  1 ) )  -  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
296294, 295syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( G `
 ( m  + 
1 ) )  - 
1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )
297292, 296eqeltrrd 2510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( G `  (
m  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )
298 seqm1 11328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( G `  ( m  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( G `  ( m  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  (
( G `  (
m  +  1 ) )  -  1 ) )  .+  ( F `
 ( G `  ( m  +  1
) ) ) ) )
299288, 297, 298syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( G `  ( m  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  (
( G `  (
m  +  1 ) )  -  1 ) )  .+  ( F `
 ( G `  ( m  +  1
) ) ) ) )
300278, 287, 2993eqtr4rd 2478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( G `  ( m  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( G `  m )
)  .+  ( H `  ( m  +  1 ) ) ) )
301 seqp1 11326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq  1 (  .+  ,  H ) `  (
m  +  1 ) )  =  ( (  seq  1 (  .+  ,  H ) `  m
)  .+  ( H `  ( m  +  1 ) ) ) )
302154, 301syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
(  seq  1 ( 
.+  ,  H ) `
 ( m  + 
1 ) )  =  ( (  seq  1
(  .+  ,  H
) `  m )  .+  ( H `  (
m  +  1 ) ) ) )
303300, 302eqeq12d 2449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  ( G `  ( m  +  1 ) ) )  =  (  seq  1 ( 
.+  ,  H ) `
 ( m  + 
1 ) )  <->  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( G `  m )
)  .+  ( H `  ( m  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  1
(  .+  ,  H
) `  m )  .+  ( H `  (
m  +  1 ) ) ) ) )
304165, 303syl5ibr 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  ( G `  m ) )  =  (  seq  1 ( 
.+  ,  H ) `
 m )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( G `  ( m  +  1 ) ) )  =  (  seq  1 (  .+  ,  H ) `  (
m  +  1 ) ) ) )
305304ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( G `  m ) )  =  (  seq  1 (  .+  ,  H ) `  m
)  ->  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  ( G `  ( m  +  1 ) ) )  =  (  seq  1 ( 
.+  ,  H ) `
 ( m  + 
1 ) ) ) ) )
306305a2d 24 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( G `  m )
)  =  (  seq  1 (  .+  ,  H ) `  m
) )  ->  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( G `  ( m  +  1 ) ) )  =  (  seq  1 (  .+  ,  H ) `  (
m  +  1 ) ) ) ) )
307164, 306syld 42 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( G `  m )
)  =  (  seq  1 (  .+  ,  H ) `  m
) )  ->  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
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m  +  1 ) ) ) ) )
308307expcom 425 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  ( ph  ->  ( ( m  e.  ( 1 ... ( # `  A
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m  +  1 ) ) ) ) ) )
309308a2d 24 . . . 4  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ph  ->  ( m  e.  ( 1 ... ( # `  A
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( ph  ->  ( ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
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m  +  1 ) ) ) ) ) )
31010, 17, 24, 31, 151, 309nnind 10007 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ph  ->  ( N  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  ( G `  N ) )  =  (  seq  1 ( 
.+  ,  H ) `
 N ) ) ) )
3113, 310mpcom 34 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  e.  ( 1 ... ( # `  A ) )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( G `  N ) )  =  (  seq  1 (  .+  ,  H ) `  N
) ) )
3121, 311mpd 15 1  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 ( G `  N ) )  =  (  seq  1 ( 
.+  ,  H ) `
 N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    \ cdif 3309    C_ wss 3312   class class class wbr 4204   `'ccnv 4868    |` cres 4871   -->wf 5441   -1-1-onto->wf1o 5444   ` cfv 5445    Isom wiso 5446  (class class class)co 6072   CCcc 8977   RRcr 8978   1c1 8980    + caddc 8982   RR*cxr 9108    < clt 9109    <_ cle 9110    - cmin 9280   NNcn 9989   ZZcz 10271   ZZ>=cuz 10477   ...cfz 11032    seq cseq 11311   #chash 11606
This theorem is referenced by:  seqcoll2  11701  summolem2a  12497  prodmolem2a  25249
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-isom 5454  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-nn 9990  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-fz 11033  df-seq 11312
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