MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqex Structured version   Unicode version

Theorem seqex 11325
Description: Existence of the sequence builder operation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
seqex  |-  seq  M
(  .+  ,  F
)  e.  _V

Proof of Theorem seqex
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-seq 11324 . 2  |-  seq  M
(  .+  ,  F
)  =  ( rec ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( y  .+  ( F `
 ( x  + 
1 ) ) )
>. ) ,  <. M , 
( F `  M
) >. ) " om )
2 rdgfun 6674 . . 3  |-  Fun  rec ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( y  .+  ( F `
 ( x  + 
1 ) ) )
>. ) ,  <. M , 
( F `  M
) >. )
3 omex 7598 . . 3  |-  om  e.  _V
4 funimaexg 5530 . . 3  |-  ( ( Fun  rec ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  <.
( x  +  1 ) ,  ( y 
.+  ( F `  ( x  +  1
) ) ) >.
) ,  <. M , 
( F `  M
) >. )  /\  om  e.  _V )  ->  ( rec ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( y  .+  ( F `
 ( x  + 
1 ) ) )
>. ) ,  <. M , 
( F `  M
) >. ) " om )  e.  _V )
52, 3, 4mp2an 654 . 2  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( y  .+  ( F `
 ( x  + 
1 ) ) )
>. ) ,  <. M , 
( F `  M
) >. ) " om )  e.  _V
61, 5eqeltri 2506 1  |-  seq  M
(  .+  ,  F
)  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1725   _Vcvv 2956   <.cop 3817   omcom 4845   "cima 4881   Fun wfun 5448   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    e. cmpt2 6083   reccrdg 6667   1c1 8991    + caddc 8993    seq cseq 11323
This theorem is referenced by:  seqshft  11900  clim2ser  12448  clim2ser2  12449  isermulc2  12451  isershft  12457  isercoll  12461  isercoll2  12462  iseralt  12478  fsumcvg  12506  sumrb  12507  isumclim3  12543  isumadd  12551  cvgcmp  12595  cvgcmpce  12597  trireciplem  12641  geolim  12647  geolim2  12648  geo2lim  12652  geomulcvg  12653  geoisum1c  12657  cvgrat  12660  mertens  12663  efcj  12694  eftlub  12710  eflegeo  12722  rpnnen2lem5  12818  mulgfval  14891  ovoliunnul  19403  ioombl1lem4  19455  vitalilem5  19504  dvnfval  19808  aaliou3lem3  20261  dvradcnv  20337  pserulm  20338  abelthlem6  20352  abelthlem7  20354  abelthlem9  20356  logtayllem  20550  logtayl  20551  atantayl  20777  leibpilem2  20781  leibpi  20782  log2tlbnd  20785  dchrisumlem3  21185  dchrisum0re  21207  zetacvg  24799  lgamgulm2  24820  lgamcvglem  24824  lgamcvg2  24839  clim2prod  25216  clim2div  25217  ntrivcvg  25225  ntrivcvgfvn0  25227  ntrivcvgmullem  25229  fprodcvg  25256  prodrblem2  25257  fprodntriv  25268  iprodclim3  25313  iprodmul  25316  iprodgam  25319  faclim  25365  geomcau  26465  stirlinglem5  27803  stirlinglem7  27805
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-seq 11324
  Copyright terms: Public domain W3C validator