MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqex Unicode version

Theorem seqex 11048
Description: Existence of the sequence builder operation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
seqex  |-  seq  M
(  .+  ,  F
)  e.  _V

Proof of Theorem seqex
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-seq 11047 . 2  |-  seq  M
(  .+  ,  F
)  =  ( rec ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( y  .+  ( F `
 ( x  + 
1 ) ) )
>. ) ,  <. M , 
( F `  M
) >. ) " om )
2 rdgfun 6429 . . 3  |-  Fun  rec ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( y  .+  ( F `
 ( x  + 
1 ) ) )
>. ) ,  <. M , 
( F `  M
) >. )
3 omex 7344 . . 3  |-  om  e.  _V
4 funimaexg 5329 . . 3  |-  ( ( Fun  rec ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  <.
( x  +  1 ) ,  ( y 
.+  ( F `  ( x  +  1
) ) ) >.
) ,  <. M , 
( F `  M
) >. )  /\  om  e.  _V )  ->  ( rec ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( y  .+  ( F `
 ( x  + 
1 ) ) )
>. ) ,  <. M , 
( F `  M
) >. ) " om )  e.  _V )
52, 3, 4mp2an 653 . 2  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( y  .+  ( F `
 ( x  + 
1 ) ) )
>. ) ,  <. M , 
( F `  M
) >. ) " om )  e.  _V
61, 5eqeltri 2353 1  |-  seq  M
(  .+  ,  F
)  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   <.cop 3643   omcom 4656   "cima 4692   Fun wfun 5249   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   reccrdg 6422   1c1 8738    + caddc 8740    seq cseq 11046
This theorem is referenced by:  seqshft  11580  clim2ser  12128  clim2ser2  12129  isermulc2  12131  isershft  12137  isercoll  12141  isercoll2  12142  iseralt  12157  fsumcvg  12185  sumrb  12186  isumclim3  12222  isumadd  12230  cvgcmp  12274  cvgcmpce  12276  trireciplem  12320  geolim  12326  geolim2  12327  geo2lim  12331  geomulcvg  12332  geoisum1c  12336  cvgrat  12339  mertens  12342  efcj  12373  eftlub  12389  eflegeo  12401  rpnnen2lem5  12497  mulgfval  14568  ovoliunnul  18866  ioombl1lem4  18918  vitalilem5  18967  dvnfval  19271  aaliou3lem3  19724  dvradcnv  19797  pserulm  19798  abelthlem6  19812  abelthlem7  19814  abelthlem9  19816  logtayllem  20006  logtayl  20007  atantayl  20233  leibpilem2  20237  leibpi  20238  log2tlbnd  20241  dchrisumlem3  20640  dchrisum0re  20662  zetacvg  23689  cntrset  25602  geomcau  26475  stirlinglem5  27827  stirlinglem7  27829
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-seq 11047
  Copyright terms: Public domain W3C validator