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Theorem seqf1o 11087
Description: Rearrange a sum via an arbitrary bijection on  ( M ... N
). (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
seqf1o.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
seqf1o.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
seqf1o.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
seqf1o.4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
seqf1o.5  |-  ( ph  ->  C  C_  S )
seqf1o.6  |-  ( ph  ->  F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
seqf1o.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( G `  x )  e.  C
)
seqf1o.8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( H `  k )  =  ( G `  ( F `
 k ) ) )
Assertion
Ref Expression
seqf1o  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  H ) `
 N )  =  (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 N ) )
Distinct variable groups:    x, k,
y, z, F    k, G, x, y, z    k, M, x, y, z    .+ , k, x, y, z    k, N, x, y, z    ph, k, x, y, z    S, k, x, y, z    C, k, x, y, z    k, H
Allowed substitution hints:    H( x, y, z)

Proof of Theorem seqf1o
Dummy variables  f 
g  s  t  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqf1o.6 . . 3  |-  ( ph  ->  F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
2 seqf1o.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( G `  x )  e.  C
)
3 eqid 2283 . . . 4  |-  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  =  ( x  e.  ( M ... N
)  |->  ( G `  x ) )
42, 3fmptd 5684 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) ) : ( M ... N ) --> C )
5 seqf1o.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
6 oveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  M  ->  ( M ... x )  =  ( M ... M
) )
7 f1oeq23 5466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M ... x
)  =  ( M ... M )  /\  ( M ... x )  =  ( M ... M ) )  -> 
( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  <-> 
f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) ) )
86, 6, 7syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  M  ->  (
f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  <->  f :
( M ... M
)
-1-1-onto-> ( M ... M ) ) )
96feq2d 5380 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  M  ->  (
g : ( M ... x ) --> C  <-> 
g : ( M ... M ) --> C ) )
108, 9anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  M  ->  (
( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  /\  g : ( M ... x ) --> C )  <->  ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M
)  /\  g :
( M ... M
) --> C ) ) )
11 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  M  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  M
) )
12 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  M  ->  (  seq  M (  .+  , 
g ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  M
) )
1311, 12eqeq12d 2297 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  M  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  x )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  x )  <->  (  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  M )  =  (  seq  M
(  .+  ,  g
) `  M )
) )
1410, 13imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  M  ->  (
( ( f : ( M ... x
)
-1-1-onto-> ( M ... x )  /\  g : ( M ... x ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  x
) )  <->  ( (
f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M )  /\  g : ( M ... M ) --> C )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  (
g  o.  f ) ) `  M )  =  (  seq  M
(  .+  ,  g
) `  M )
) ) )
15142albidv 1613 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  ( A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  /\  g : ( M ... x ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  x
) )  <->  A. g A. f ( ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M
)  /\  g :
( M ... M
) --> C )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  M )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  M ) ) ) )
1615imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
( ph  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x
)  /\  g :
( M ... x
) --> C )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  x )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  x ) ) )  <-> 
( ph  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M
)  /\  g :
( M ... M
) --> C )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  M )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  M ) ) ) ) )
17 oveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  k  ->  ( M ... x )  =  ( M ... k
) )
18 f1oeq23 5466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M ... x
)  =  ( M ... k )  /\  ( M ... x )  =  ( M ... k ) )  -> 
( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  <-> 
f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) ) )
1917, 17, 18syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  k  ->  (
f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  <->  f :
( M ... k
)
-1-1-onto-> ( M ... k ) ) )
2017feq2d 5380 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  k  ->  (
g : ( M ... x ) --> C  <-> 
g : ( M ... k ) --> C ) )
2119, 20anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  k  ->  (
( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  /\  g : ( M ... x ) --> C )  <->  ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k
)  /\  g :
( M ... k
) --> C ) ) )
22 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  k  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
) )
23 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  k  ->  (  seq  M (  .+  , 
g ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  k
) )
2422, 23eqeq12d 2297 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  k  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  x )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  x )  <->  (  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  k )  =  (  seq  M
(  .+  ,  g
) `  k )
) )
2521, 24imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  k  ->  (
( ( f : ( M ... x
)
-1-1-onto-> ( M ... x )  /\  g : ( M ... x ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  x
) )  <->  ( (
f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  (
g  o.  f ) ) `  k )  =  (  seq  M
(  .+  ,  g
) `  k )
) ) )
26252albidv 1613 . . . . . . 7  |-  ( x  =  k  ->  ( A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  /\  g : ( M ... x ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  x
) )  <->  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k
)  /\  g :
( M ... k
) --> C )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  k )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  k ) ) ) )
2726imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  (
( ph  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x
)  /\  g :
( M ... x
) --> C )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  x )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  x ) ) )  <-> 
( ph  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k
)  /\  g :
( M ... k
) --> C )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  k )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  k ) ) ) ) )
28 oveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( M ... x )  =  ( M ... (
k  +  1 ) ) )
29 f1oeq23 5466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M ... x
)  =  ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  ( M ... x )  =  ( M ... ( k  +  1 ) ) )  -> 
( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  <-> 
f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) ) ) )
3028, 28, 29syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  <->  f :
( M ... (
k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... (
k  +  1 ) ) ) )
3128feq2d 5380 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
g : ( M ... x ) --> C  <-> 
g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C ) )
3230, 31anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  /\  g : ( M ... x ) --> C )  <->  ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... (
k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... (
k  +  1 ) ) --> C ) ) )
33 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  (
k  +  1 ) ) )
34 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (  seq  M (  .+  , 
g ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  (
k  +  1 ) ) )
3533, 34eqeq12d 2297 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  x )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  x )  <->  (  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq  M
(  .+  ,  g
) `  ( k  +  1 ) ) ) )
3632, 35imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( f : ( M ... x
)
-1-1-onto-> ( M ... x )  /\  g : ( M ... x ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  x
) )  <->  ( (
f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  (
g  o.  f ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq  M
(  .+  ,  g
) `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
37362albidv 1613 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  /\  g : ( M ... x ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  x
) )  <->  A. g A. f ( ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... (
k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... (
k  +  1 ) ) --> C )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
3837imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x
)  /\  g :
( M ... x
) --> C )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  x )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  x ) ) )  <-> 
( ph  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... (
k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... (
k  +  1 ) ) --> C )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
39 oveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  N  ->  ( M ... x )  =  ( M ... N
) )
40 f1oeq23 5466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M ... x
)  =  ( M ... N )  /\  ( M ... x )  =  ( M ... N ) )  -> 
( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  <-> 
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) ) )
4139, 39, 40syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  N  ->  (
f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  <->  f :
( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N ) ) )
4239feq2d 5380 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  N  ->  (
g : ( M ... x ) --> C  <-> 
g : ( M ... N ) --> C ) )
4341, 42anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  N  ->  (
( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  /\  g : ( M ... x ) --> C )  <->  ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  g :
( M ... N
) --> C ) ) )
44 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  N  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  N
) )
45 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  N  ->  (  seq  M (  .+  , 
g ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  N
) )
4644, 45eqeq12d 2297 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  N  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  x )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  x )  <->  (  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  N )  =  (  seq  M
(  .+  ,  g
) `  N )
) )
4743, 46imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  (
( ( f : ( M ... x
)
-1-1-onto-> ( M ... x )  /\  g : ( M ... x ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  x
) )  <->  ( (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  g : ( M ... N ) --> C )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  (
g  o.  f ) ) `  N )  =  (  seq  M
(  .+  ,  g
) `  N )
) ) )
48472albidv 1613 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  ( A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  /\  g : ( M ... x ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  x
) )  <->  A. g A. f ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  g :
( M ... N
) --> C )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  N )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  N ) ) ) )
4948imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x
)  /\  g :
( M ... x
) --> C )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  x )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  x ) ) )  <-> 
( ph  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  g :
( M ... N
) --> C )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  N )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  N ) ) ) ) )
50 f1of 5472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M
)  ->  f :
( M ... M
) --> ( M ... M ) )
5150adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M )  /\  g : ( M ... M ) --> C )  ->  f : ( M ... M ) --> ( M ... M
) )
52 elfz3 10806 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( M ... M
) )
53 fvco3 5596 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : ( M ... M ) --> ( M ... M )  /\  M  e.  ( M ... M ) )  ->  ( (
g  o.  f ) `
 M )  =  ( g `  (
f `  M )
) )
5451, 52, 53syl2anr 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M )  /\  g : ( M ... M ) --> C ) )  -> 
( ( g  o.  f ) `  M
)  =  ( g `
 ( f `  M ) ) )
55 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : ( M ... M ) --> ( M ... M )  /\  M  e.  ( M ... M ) )  ->  ( f `  M )  e.  ( M ... M ) )
5650, 52, 55syl2anr 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M
) )  ->  (
f `  M )  e.  ( M ... M
) )
57 fzsn 10833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... M )  =  { M } )
5857eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( f `  M
)  e.  ( M ... M )  <->  ( f `  M )  e.  { M } ) )
59 elsni 3664 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f `  M )  e.  { M }  ->  ( f `  M
)  =  M )
6058, 59syl6bi 219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( f `  M
)  e.  ( M ... M )  -> 
( f `  M
)  =  M ) )
6160imp 418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( f `  M
)  e.  ( M ... M ) )  ->  ( f `  M )  =  M )
6256, 61syldan 456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M
) )  ->  (
f `  M )  =  M )
6362adantrr 697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M )  /\  g : ( M ... M ) --> C ) )  -> 
( f `  M
)  =  M )
6463fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M )  /\  g : ( M ... M ) --> C ) )  -> 
( g `  (
f `  M )
)  =  ( g `
 M ) )
6554, 64eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M )  /\  g : ( M ... M ) --> C ) )  -> 
( ( g  o.  f ) `  M
)  =  ( g `
 M ) )
66 seq1 11059 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  M
)  =  ( ( g  o.  f ) `
 M ) )
6766adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M )  /\  g : ( M ... M ) --> C ) )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  M )  =  ( ( g  o.  f
) `  M )
)
68 seq1 11059 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq  M (  .+  , 
g ) `  M
)  =  ( g `
 M ) )
6968adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M )  /\  g : ( M ... M ) --> C ) )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  g ) `  M )  =  ( g `  M ) )
7065, 67, 693eqtr4d 2325 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M )  /\  g : ( M ... M ) --> C ) )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  M )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  M ) )
7170ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M )  /\  g : ( M ... M ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  M
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  M
) ) )
7271alrimivv 1618 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M
)  /\  g :
( M ... M
) --> C )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  M )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  M ) ) )
7372a1d 22 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  A. g A. f
( ( f : ( M ... M
)
-1-1-onto-> ( M ... M )  /\  g : ( M ... M ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  M
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  M
) ) ) )
74 f1oeq1 5463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  t  ->  (
f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  <->  t :
( M ... k
)
-1-1-onto-> ( M ... k ) ) )
75 feq1 5375 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  s  ->  (
g : ( M ... k ) --> C  <-> 
s : ( M ... k ) --> C ) )
7674, 75bi2anan9r 844 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  =  s  /\  f  =  t )  ->  ( ( f : ( M ... k
)
-1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  <->  ( t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k
)  /\  s :
( M ... k
) --> C ) ) )
77 coeq1 4841 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  s  ->  (
g  o.  f )  =  ( s  o.  f ) )
78 coeq2 4842 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  t  ->  (
s  o.  f )  =  ( s  o.  t ) )
7977, 78sylan9eq 2335 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g  =  s  /\  f  =  t )  ->  ( g  o.  f
)  =  ( s  o.  t ) )
8079seqeq3d 11054 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  =  s  /\  f  =  t )  ->  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) )  =  seq  M (  .+  ,  ( s  o.  t ) ) )
8180fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  =  s  /\  f  =  t )  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  ( g  o.  f ) ) `
 k )  =  (  seq  M ( 
.+  ,  ( s  o.  t ) ) `
 k ) )
82 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g  =  s  /\  f  =  t )  ->  g  =  s )
8382seqeq3d 11054 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  =  s  /\  f  =  t )  ->  seq  M (  .+  ,  g )  =  seq  M (  .+  ,  s ) )
8483fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  =  s  /\  f  =  t )  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  g ) `
 k )  =  (  seq  M ( 
.+  ,  s ) `
 k ) )
8581, 84eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  =  s  /\  f  =  t )  ->  ( (  seq  M
(  .+  ,  (
g  o.  f ) ) `  k )  =  (  seq  M
(  .+  ,  g
) `  k )  <->  (  seq  M (  .+  ,  ( s  o.  t ) ) `  k )  =  (  seq  M (  .+  ,  s ) `  k ) ) )
8676, 85imbi12d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  =  s  /\  f  =  t )  ->  ( ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k
)  /\  g :
( M ... k
) --> C )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  k )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  k ) )  <->  ( (
t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  s : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  (
s  o.  t ) ) `  k )  =  (  seq  M
(  .+  ,  s
) `  k )
) ) )
8786cbval2v 1946 . . . . . . . . 9  |-  ( A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  (
g  o.  f ) ) `  k )  =  (  seq  M
(  .+  ,  g
) `  k )
)  <->  A. s A. t
( ( t : ( M ... k
)
-1-1-onto-> ( M ... k )  /\  s : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( s  o.  t
) ) `  k
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
s ) `  k
) ) )
88 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )  /\  ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C ) )  ->  ph )
89 seqf1o.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
9088, 89sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )  /\  ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x  .+  y )  e.  S )
91 seqf1o.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
9288, 91sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )  /\  ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C ) )  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C
) )  ->  (
x  .+  y )  =  ( y  .+  x ) )
93 seqf1o.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
9488, 93sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )  /\  ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S
) )  ->  (
( x  .+  y
)  .+  z )  =  ( x  .+  ( y  .+  z
) ) )
95 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )  /\  ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C ) )  -> 
k  e.  ( ZZ>= `  M ) )
96 seqf1o.5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  C_  S )
9788, 96syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )  /\  ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C ) )  ->  C  C_  S )
98 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )  /\  ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C ) )  -> 
f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) ) )
99 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )  /\  ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C ) )  -> 
g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C )
100 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  ( M ... k )  |->  ( f `
 if ( w  <  ( `' f `
 ( k  +  1 ) ) ,  w ,  ( w  +  1 ) ) ) )  =  ( w  e.  ( M ... k )  |->  ( f `  if ( w  <  ( `' f `  ( k  +  1 ) ) ,  w ,  ( w  +  1 ) ) ) )
101 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' f `  ( k  +  1 ) )  =  ( `' f `
 ( k  +  1 ) )
102 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )  /\  ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C ) )  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )
103102, 87sylib 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )  /\  ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C ) )  ->  A. s A. t ( ( t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  s : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( s  o.  t
) ) `  k
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
s ) `  k
) ) )
10490, 92, 94, 95, 97, 98, 99, 100, 101, 103seqf1olem2 11086 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )  /\  ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C ) )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  ( k  +  1 ) ) )
105104exp31 587 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  (
g  o.  f ) ) `  k )  =  (  seq  M
(  .+  ,  g
) `  k )
)  ->  ( (
f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  (
g  o.  f ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq  M
(  .+  ,  g
) `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
10687, 105syl5bir 209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A. s A. t ( ( t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  s : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  (
s  o.  t ) ) `  k )  =  (  seq  M
(  .+  ,  s
) `  k )
)  ->  ( (
f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  (
g  o.  f ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq  M
(  .+  ,  g
) `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
107106alrimdv 1619 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A. s A. t ( ( t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  s : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  (
s  o.  t ) ) `  k )  =  (  seq  M
(  .+  ,  s
) `  k )
)  ->  A. f
( ( f : ( M ... (
k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... (
k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... (
k  +  1 ) ) --> C )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
108107alrimdv 1619 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A. s A. t ( ( t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  s : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  (
s  o.  t ) ) `  k )  =  (  seq  M
(  .+  ,  s
) `  k )
)  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... (
k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... (
k  +  1 ) ) --> C )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
10987, 108syl5bi 208 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  (
g  o.  f ) ) `  k )  =  (  seq  M
(  .+  ,  g
) `  k )
)  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... (
k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... (
k  +  1 ) ) --> C )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
110109expcom 424 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k
)  /\  g :
( M ... k
) --> C )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  k )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  k ) )  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  (
k  +  1 ) )  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
111110a2d 23 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ph  ->  A. g A. f
( ( f : ( M ... k
)
-1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )  -> 
( ph  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... (
k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... (
k  +  1 ) ) --> C )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
11216, 27, 38, 49, 73, 111uzind4 10276 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  A. g A. f
( ( f : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  g : ( M ... N ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  N
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  N
) ) ) )
1135, 112mpcom 32 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. g A. f
( ( f : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  g : ( M ... N ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  N
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  N
) ) )
114 fvex 5539 . . . . . . 7  |-  ( G `
 x )  e. 
_V
115114, 3fnmpti 5372 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  Fn  ( M ... N )
116 fzfi 11034 . . . . . 6  |-  ( M ... N )  e. 
Fin
117 fnfi 7134 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) )  Fn  ( M ... N )  /\  ( M ... N )  e.  Fin )  -> 
( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) )  e.  Fin )
118115, 116, 117mp2an 653 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  e.  Fin
119 f1of 5472 . . . . . . 7  |-  ( F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  ->  F :
( M ... N
) --> ( M ... N ) )
1201, 119syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
121 ovex 5883 . . . . . . 7  |-  ( M ... N )  e. 
_V
122121a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  e.  _V )
123 fex2 5401 . . . . . 6  |-  ( ( F : ( M ... N ) --> ( M ... N )  /\  ( M ... N )  e.  _V  /\  ( M ... N
)  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
124120, 122, 122, 123syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
125 f1oeq1 5463 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  <->  F :
( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N ) ) )
126 feq1 5375 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( x  e.  ( M ... N
)  |->  ( G `  x ) )  -> 
( g : ( M ... N ) --> C  <->  ( x  e.  ( M ... N
)  |->  ( G `  x ) ) : ( M ... N
) --> C ) )
127125, 126bi2anan9r 844 . . . . . . 7  |-  ( ( g  =  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  /\  f  =  F )  ->  ( (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  g : ( M ... N ) --> C )  <-> 
( F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  ( x  e.  ( M ... N
)  |->  ( G `  x ) ) : ( M ... N
) --> C ) ) )
128 coeq1 4841 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  ( x  e.  ( M ... N
)  |->  ( G `  x ) )  -> 
( g  o.  f
)  =  ( ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `  x ) )  o.  f ) )
129 coeq2 4842 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  F  ->  (
( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) )  o.  f
)  =  ( ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `  x ) )  o.  F ) )
130128, 129sylan9eq 2335 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  =  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  /\  f  =  F )  ->  ( g  o.  f )  =  ( ( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) )  o.  F
) )
131130seqeq3d 11054 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  =  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  /\  f  =  F )  ->  seq  M ( 
.+  ,  ( g  o.  f ) )  =  seq  M ( 
.+  ,  ( ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `  x ) )  o.  F ) ) )
132131fveq1d 5527 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  =  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  /\  f  =  F )  ->  (  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  N )  =  (  seq  M
(  .+  ,  (
( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) )  o.  F
) ) `  N
) )
133 simpl 443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  =  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  /\  f  =  F )  ->  g  =  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `  x ) ) )
134133seqeq3d 11054 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  =  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  /\  f  =  F )  ->  seq  M ( 
.+  ,  g )  =  seq  M ( 
.+  ,  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) ) ) )
135134fveq1d 5527 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  =  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  /\  f  =  F )  ->  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  N )  =  (  seq  M
(  .+  ,  (
x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `  x ) ) ) `  N
) )
136132, 135eqeq12d 2297 . . . . . . 7  |-  ( ( g  =  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  /\  f  =  F )  ->  ( (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  N
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  N
)  <->  (  seq  M
(  .+  ,  (
( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) )  o.  F
) ) `  N
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) ) ) `  N ) ) )
137127, 136imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( ( g  =  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  /\  f  =  F )  ->  ( (
( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  g : ( M ... N ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  N
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  N
) )  <->  ( ( F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  ( x  e.  ( M ... N
)  |->  ( G `  x ) ) : ( M ... N
) --> C )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  o.  F ) ) `
 N )  =  (  seq  M ( 
.+  ,  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) ) ) `  N ) ) ) )
138137spc2gv 2871 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) )  e.  Fin  /\  F  e.  _V )  ->  ( A. g A. f ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  g :
( M ... N
) --> C )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  N )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  N ) )  -> 
( ( F :
( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  ( x  e.  ( M ... N
)  |->  ( G `  x ) ) : ( M ... N
) --> C )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  o.  F ) ) `
 N )  =  (  seq  M ( 
.+  ,  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) ) ) `  N ) ) ) )
139118, 124, 138sylancr 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. g A. f ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  g :
( M ... N
) --> C )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  N )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  N ) )  -> 
( ( F :
( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  ( x  e.  ( M ... N
)  |->  ( G `  x ) ) : ( M ... N
) --> C )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  o.  F ) ) `
 N )  =  (  seq  M ( 
.+  ,  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) ) ) `  N ) ) ) )
140113, 139mpd 14 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F :
( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  ( x  e.  ( M ... N
)  |->  ( G `  x ) ) : ( M ... N
) --> C )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  o.  F ) ) `
 N )  =  (  seq  M ( 
.+  ,  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) ) ) `  N ) ) )
1411, 4, 140mp2and 660 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  ( ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `  x ) )  o.  F ) ) `  N )  =  (  seq  M
(  .+  ,  (
x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `  x ) ) ) `  N
) )
142 ffvelrn 5663 . . . . . 6  |-  ( ( F : ( M ... N ) --> ( M ... N )  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  e.  ( M ... N ) )
143120, 142sylan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  e.  ( M ... N ) )
144 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( F `  k )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  ( F `  k ) ) )
145 fvex 5539 . . . . . 6  |-  ( G `
 ( F `  k ) )  e. 
_V
146144, 3, 145fvmpt 5602 . . . . 5  |-  ( ( F `  k )  e.  ( M ... N )  ->  (
( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) ) `  ( F `  k )
)  =  ( G `
 ( F `  k ) ) )
147143, 146syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `  x ) ) `  ( F `
 k ) )  =  ( G `  ( F `  k ) ) )
148 fvco3 5596 . . . . 5  |-  ( ( F : ( M ... N ) --> ( M ... N )  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) )  o.  F
) `  k )  =  ( ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) ) `
 ( F `  k ) ) )
149120, 148sylan 457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) )  o.  F
) `  k )  =  ( ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) ) `
 ( F `  k ) ) )
150 seqf1o.8 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( H `  k )  =  ( G `  ( F `
 k ) ) )
151147, 149, 1503eqtr4d 2325 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) )  o.  F
) `  k )  =  ( H `  k ) )
1525, 151seqfveq 11070 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  ( ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `  x ) )  o.  F ) ) `  N )  =  (  seq  M
(  .+  ,  H
) `  N )
)
153 fveq2 5525 . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  ( G `  x )  =  ( G `  k ) )
154 fvex 5539 . . . . 5  |-  ( G `
 k )  e. 
_V
155153, 3, 154fvmpt 5602 . . . 4  |-  ( k  e.  ( M ... N )  ->  (
( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) ) `  k
)  =  ( G `
 k ) )
156155adantl 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `  x ) ) `  k )  =  ( G `  k ) )
1575, 156seqfveq 11070 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) ) ) `  N )  =  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  N )
)
158141, 152, 1573eqtr3d 2323 1  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  H ) `
 N )  =  (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   ifcif 3565   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688    o. ccom 4693    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   1c1 8738    + caddc 8740    < clt 8867   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782    seq cseq 11046
This theorem is referenced by:  summolem3  12187  eulerthlem2  12850  gsumval3eu  15190  gsumval3  15191
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047
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