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Theorem seqf1olem2 11318
Description: Lemma for seqf1o 11319. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
seqf1o.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
seqf1o.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
seqf1o.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
seqf1o.4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
seqf1o.5  |-  ( ph  ->  C  C_  S )
seqf1olem.5  |-  ( ph  ->  F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N  + 
1 ) ) )
seqf1olem.6  |-  ( ph  ->  G : ( M ... ( N  + 
1 ) ) --> C )
seqf1olem.7  |-  J  =  ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  ( F `  if ( k  <  K ,  k ,  ( k  +  1 ) ) ) )
seqf1olem.8  |-  K  =  ( `' F `  ( N  +  1
) )
seqf1olem.9  |-  ( ph  ->  A. g A. f
( ( f : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  g : ( M ... N ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  N
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  N
) ) )
Assertion
Ref Expression
seqf1olem2  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  ( G  o.  F ) ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 ( N  + 
1 ) ) )
Distinct variable groups:    f, g,
k, x, y, z, F    f, G, g, k, x, y, z   
f, M, g, k, x, y, z    .+ , f,
g, k, x, y, z    f, J, g, x, y, z    f, N, g, k, x, y, z    k, K, x, y, z    ph, f,
g, k, x, y, z    S, k, x, y, z    C, f, g, k, x, y, z
Allowed substitution hints:    S( f, g)    J( k)    K( f, g)

Proof of Theorem seqf1olem2
StepHypRef Expression
1 seqf1olem.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G : ( M ... ( N  + 
1 ) ) --> C )
2 ffn 5550 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : ( M ... ( N  +  1
) ) --> C  ->  G  Fn  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
31, 2syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  Fn  ( M ... ( N  + 
1 ) ) )
4 fzssp1 11051 . . . . . . . . 9  |-  ( M ... N )  C_  ( M ... ( N  +  1 ) )
5 fnssres 5517 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  Fn  ( M ... ( N  + 
1 ) )  /\  ( M ... N ) 
C_  ( M ... ( N  +  1
) ) )  -> 
( G  |`  ( M ... N ) )  Fn  ( M ... N ) )
63, 4, 5sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( M ... N ) )  Fn  ( M ... N ) )
7 fzfid 11267 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  e.  Fin )
8 fnfi 7343 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  |`  ( M ... N ) )  Fn  ( M ... N )  /\  ( M ... N )  e. 
Fin )  ->  ( G  |`  ( M ... N ) )  e. 
Fin )
96, 7, 8syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( M ... N ) )  e.  Fin )
10 elex 2924 . . . . . . 7  |-  ( ( G  |`  ( M ... N ) )  e. 
Fin  ->  ( G  |`  ( M ... N ) )  e.  _V )
119, 10syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( M ... N ) )  e.  _V )
12 seqf1o.1 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
13 seqf1o.2 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
14 seqf1o.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
15 seqf1o.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
16 seqf1o.5 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  C_  S )
17 seqf1olem.5 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N  + 
1 ) ) )
18 seqf1olem.7 . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  ( F `  if ( k  <  K ,  k ,  ( k  +  1 ) ) ) )
19 seqf1olem.8 . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( `' F `  ( N  +  1
) )
2012, 13, 14, 15, 16, 17, 1, 18, 19seqf1olem1 11317 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
21 f1of 5633 . . . . . . . 8  |-  ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  ->  J :
( M ... N
) --> ( M ... N ) )
2220, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
23 fex2 5562 . . . . . . 7  |-  ( ( J : ( M ... N ) --> ( M ... N )  /\  ( M ... N )  e.  Fin  /\  ( M ... N
)  e.  Fin )  ->  J  e.  _V )
2422, 7, 7, 23syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  _V )
2511, 24jca 519 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( G  |`  ( M ... N ) )  e.  _V  /\  J  e.  _V )
)
26 seqf1olem.9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. g A. f
( ( f : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  g : ( M ... N ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  N
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  N
) ) )
27 fssres 5569 . . . . . . 7  |-  ( ( G : ( M ... ( N  + 
1 ) ) --> C  /\  ( M ... N )  C_  ( M ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( G  |`  ( M ... N ) ) : ( M ... N ) --> C )
281, 4, 27sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( M ... N ) ) : ( M ... N ) --> C )
2920, 28jca 519 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  ( G  |`  ( M ... N ) ) : ( M ... N ) --> C ) )
30 f1oeq1 5624 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  J  ->  (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  <->  J :
( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N ) ) )
31 feq1 5535 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( G  |`  ( M ... N ) )  ->  ( g : ( M ... N ) --> C  <->  ( G  |`  ( M ... N
) ) : ( M ... N ) --> C ) )
3230, 31bi2anan9r 845 . . . . . . 7  |-  ( ( g  =  ( G  |`  ( M ... N
) )  /\  f  =  J )  ->  (
( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  g : ( M ... N ) --> C )  <->  ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  ( G  |`  ( M ... N
) ) : ( M ... N ) --> C ) ) )
33 coeq1 4989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  ( G  |`  ( M ... N ) )  ->  ( g  o.  f )  =  ( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  f ) )
34 coeq2 4990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  J  ->  (
( G  |`  ( M ... N ) )  o.  f )  =  ( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) )
3533, 34sylan9eq 2456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  =  ( G  |`  ( M ... N
) )  /\  f  =  J )  ->  (
g  o.  f )  =  ( ( G  |`  ( M ... N
) )  o.  J
) )
3635seqeq3d 11286 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  =  ( G  |`  ( M ... N
) )  /\  f  =  J )  ->  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) )  =  seq  M
(  .+  ,  (
( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) )
3736fveq1d 5689 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  =  ( G  |`  ( M ... N
) )  /\  f  =  J )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  N
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  N ) )
38 simpl 444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  =  ( G  |`  ( M ... N
) )  /\  f  =  J )  ->  g  =  ( G  |`  ( M ... N ) ) )
3938seqeq3d 11286 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  =  ( G  |`  ( M ... N
) )  /\  f  =  J )  ->  seq  M (  .+  ,  g )  =  seq  M
(  .+  ,  ( G  |`  ( M ... N ) ) ) )
4039fveq1d 5689 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  =  ( G  |`  ( M ... N
) )  /\  f  =  J )  ->  (  seq  M (  .+  , 
g ) `  N
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
( G  |`  ( M ... N ) ) ) `  N ) )
4137, 40eqeq12d 2418 . . . . . . 7  |-  ( ( g  =  ( G  |`  ( M ... N
) )  /\  f  =  J )  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  N )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  N )  <->  (  seq  M (  .+  ,  ( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `
 N )  =  (  seq  M ( 
.+  ,  ( G  |`  ( M ... N
) ) ) `  N ) ) )
4232, 41imbi12d 312 . . . . . 6  |-  ( ( g  =  ( G  |`  ( M ... N
) )  /\  f  =  J )  ->  (
( ( f : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  g : ( M ... N ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  N
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  N
) )  <->  ( ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  ( G  |`  ( M ... N
) ) : ( M ... N ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  N )  =  (  seq  M
(  .+  ,  ( G  |`  ( M ... N ) ) ) `
 N ) ) ) )
4342spc2gv 2999 . . . . 5  |-  ( ( ( G  |`  ( M ... N ) )  e.  _V  /\  J  e.  _V )  ->  ( A. g A. f ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  g : ( M ... N ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  N
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  N
) )  ->  (
( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  ( G  |`  ( M ... N ) ) : ( M ... N ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  ,  ( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `
 N )  =  (  seq  M ( 
.+  ,  ( G  |`  ( M ... N
) ) ) `  N ) ) ) )
4425, 26, 29, 43syl3c 59 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  ( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  N )  =  (  seq  M (  .+  ,  ( G  |`  ( M ... N ) ) ) `  N
) )
45 fvres 5704 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  (
( G  |`  ( M ... N ) ) `
 x )  =  ( G `  x
) )
4645adantl 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( ( G  |`  ( M ... N ) ) `  x )  =  ( G `  x ) )
4715, 46seqfveq 11302 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  ( G  |`  ( M ... N
) ) ) `  N )  =  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  N
) )
4844, 47eqtrd 2436 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  ( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  N )  =  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  N
) )
4948oveq1d 6055 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  seq  M
(  .+  ,  (
( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `
 N )  .+  ( G `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  N
)  .+  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
5012adantlr 696 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( M ... N
) )  /\  (
x  e.  S  /\  y  e.  S )
)  ->  ( x  .+  y )  e.  S
)
5114adantlr 696 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( M ... N
) )  /\  (
x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )
)  ->  ( (
x  .+  y )  .+  z )  =  ( x  .+  ( y 
.+  z ) ) )
52 elfzuz3 11012 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
5352adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( M ... N ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
54 eluzp1p1 10467 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )
5553, 54syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( M ... N ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )
56 elfzuz 11011 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
5756adantl 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( M ... N ) )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
58 f1of 5633 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : ( M ... ( N  +  1
) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N  +  1 ) )  ->  F :
( M ... ( N  +  1 ) ) --> ( M ... ( N  +  1
) ) )
5917, 58syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) --> ( M ... ( N  +  1 ) ) )
60 fco 5559 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G : ( M ... ( N  + 
1 ) ) --> C  /\  F : ( M ... ( N  +  1 ) ) --> ( M ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( G  o.  F ) : ( M ... ( N  +  1
) ) --> C )
611, 59, 60syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
) : ( M ... ( N  + 
1 ) ) --> C )
62 fss 5558 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  o.  F
) : ( M ... ( N  + 
1 ) ) --> C  /\  C  C_  S
)  ->  ( G  o.  F ) : ( M ... ( N  +  1 ) ) --> S )
6361, 16, 62syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
) : ( M ... ( N  + 
1 ) ) --> S )
6463ffvelrnda 5829 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( G  o.  F ) `  x )  e.  S
)
6564adantlr 696 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( M ... N
) )  /\  x  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( G  o.  F
) `  x )  e.  S )
6650, 51, 55, 57, 65seqsplit 11311 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( M ... N ) )  ->  (  seq  M (  .+  ,  ( G  o.  F ) ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  K
)  .+  (  seq  ( K  +  1
) (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
67 elfzp12 11081 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ( M ... N
)  <->  ( K  =  M  \/  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) ) )
6867biimpa 471 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ( M ... N
) )  ->  ( K  =  M  \/  K  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )
6915, 68sylan 458 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( M ... N ) )  ->  ( K  =  M  \/  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
70 seqeq1 11281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  =  M  ->  seq  K (  .+  ,  ( G  o.  F ) )  =  seq  M
(  .+  ,  ( G  o.  F )
) )
7170eqcomd 2409 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  =  M  ->  seq  M (  .+  ,  ( G  o.  F ) )  =  seq  K
(  .+  ,  ( G  o.  F )
) )
7271fveq1d 5689 . . . . . . . . 9  |-  ( K  =  M  ->  (  seq  M (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  K
)  =  (  seq 
K (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  K
) )
73 f1ocnv 5646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : ( M ... ( N  +  1
) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N  +  1 ) )  ->  `' F : ( M ... ( N  +  1
) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N  +  1 ) ) )
74 f1of 5633 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N  + 
1 ) )  ->  `' F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) --> ( M ... ( N  +  1 ) ) )
7517, 73, 743syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  `' F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) --> ( M ... ( N  +  1 ) ) )
76 peano2uz 10486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
77 eluzfz2 11021 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
7815, 76, 773syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ( M ... ( N  + 
1 ) ) )
7975, 78ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( `' F `  ( N  +  1
) )  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
8019, 79syl5eqel 2488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  ( M ... ( N  + 
1 ) ) )
81 elfzelz 11015 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( M ... ( N  +  1
) )  ->  K  e.  ZZ )
82 seq1 11291 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (  seq  K (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  K
)  =  ( ( G  o.  F ) `
 K ) )
8380, 81, 823syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (  seq  K ( 
.+  ,  ( G  o.  F ) ) `
 K )  =  ( ( G  o.  F ) `  K
) )
8472, 83sylan9eqr 2458 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  K  =  M )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  K
)  =  ( ( G  o.  F ) `
 K ) )
8584oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  K  =  M )  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  ( G  o.  F ) ) `  K )  .+  (  seq  ( K  +  1 ) (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( ( G  o.  F ) `  K
)  .+  (  seq  ( K  +  1
) (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
86 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  K  =  M )  ->  K  =  M )
87 eluzfz1 11020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
8815, 87syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M ... N ) )
8988adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  K  =  M )  ->  M  e.  ( M ... N
) )
9086, 89eqeltrd 2478 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  K  =  M )  ->  K  e.  ( M ... N
) )
9113adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( M ... N
) )  /\  (
x  e.  C  /\  y  e.  C )
)  ->  ( x  .+  y )  =  ( y  .+  x ) )
9216adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( M ... N ) )  ->  C  C_  S
)
9361adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( M ... N ) )  ->  ( G  o.  F ) : ( M ... ( N  +  1 ) ) --> C )
9480adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( M ... N ) )  ->  K  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
95 peano2uz 10486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
96 fzss1 11047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( K  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) )  C_  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
9757, 95, 963syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( M ... N ) )  ->  ( ( K  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) )  C_  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
9850, 91, 51, 55, 92, 93, 94, 97seqf1olem2a 11316 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
( G  o.  F
) `  K )  .+  (  seq  ( K  +  1 ) ( 
.+  ,  ( G  o.  F ) ) `
 ( N  + 
1 ) ) )  =  ( (  seq  ( K  +  1 ) (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  ( N  +  1 ) )  .+  ( ( G  o.  F ) `
 K ) ) )
99 1z 10267 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ZZ
10099a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( M ... N ) )  ->  1  e.  ZZ )
101 elfzuz 11011 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ( M ... ( N  +  1
) )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
102 fzss1 11047 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K ... N )  C_  ( M ... N ) )
10380, 101, 1023syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( K ... N
)  C_  ( M ... N ) )
104103sselda 3308 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  x  e.  ( M ... N ) )
10522ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( J `  x )  e.  ( M ... N ) )
106104, 105syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  ( J `  x )  e.  ( M ... N ) )
107 fvres 5704 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J `  x )  e.  ( M ... N )  ->  (
( G  |`  ( M ... N ) ) `
 ( J `  x ) )  =  ( G `  ( J `  x )
) )
108106, 107syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  ( ( G  |`  ( M ... N ) ) `  ( J `  x ) )  =  ( G `
 ( J `  x ) ) )
109 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  x  ->  (
k  <  K  <->  x  <  K ) )
110 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  x  ->  k  =  x )
111 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  x  ->  (
k  +  1 )  =  ( x  + 
1 ) )
112109, 110, 111ifbieq12d 3721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  x  ->  if ( k  <  K ,  k ,  ( k  +  1 ) )  =  if ( x  <  K ,  x ,  ( x  +  1 ) ) )
113112fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  x  ->  ( F `  if (
k  <  K , 
k ,  ( k  +  1 ) ) )  =  ( F `
 if ( x  <  K ,  x ,  ( x  + 
1 ) ) ) )
114 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F `
 if ( x  <  K ,  x ,  ( x  + 
1 ) ) )  e.  _V
115113, 18, 114fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  ( J `  x )  =  ( F `  if ( x  <  K ,  x ,  ( x  +  1 ) ) ) )
116104, 115syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  ( J `  x )  =  ( F `  if ( x  <  K ,  x ,  ( x  +  1 ) ) ) )
117 elfzle1 11016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( K ... N )  ->  K  <_  x )
118117adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  K  <_  x )
11980, 81syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
120119zred 10331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
121120adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  K  e.  RR )
122 elfzelz 11015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( K ... N )  ->  x  e.  ZZ )
123122adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  x  e.  ZZ )
124123zred 10331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  x  e.  RR )
125121, 124lenltd 9175 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  ( K  <_  x  <->  -.  x  <  K ) )
126118, 125mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  -.  x  <  K )
127 iffalse 3706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  x  <  K  ->  if ( x  <  K ,  x ,  ( x  +  1 ) )  =  ( x  + 
1 ) )
128127fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  x  <  K  -> 
( F `  if ( x  <  K ,  x ,  ( x  +  1 ) ) )  =  ( F `
 ( x  + 
1 ) ) )
129126, 128syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  ( F `  if ( x  < 
K ,  x ,  ( x  +  1 ) ) )  =  ( F `  (
x  +  1 ) ) )
130116, 129eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  ( J `  x )  =  ( F `  ( x  +  1 ) ) )
131130fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  ( G `  ( J `  x
) )  =  ( G `  ( F `
 ( x  + 
1 ) ) ) )
132108, 131eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  ( ( G  |`  ( M ... N ) ) `  ( J `  x ) )  =  ( G `
 ( F `  ( x  +  1
) ) ) )
133 fvco3 5759 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J : ( M ... N ) --> ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) `  x )  =  ( ( G  |`  ( M ... N ) ) `
 ( J `  x ) ) )
13422, 133sylan 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) `  x )  =  ( ( G  |`  ( M ... N ) ) `
 ( J `  x ) ) )
135104, 134syldan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  ( (
( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) `  x )  =  ( ( G  |`  ( M ... N ) ) `
 ( J `  x ) ) )
136 fzp1elp1 11056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  (
x  +  1 )  e.  ( M ... ( N  +  1
) ) )
137104, 136syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  ( x  +  1 )  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
138 fvco3 5759 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) --> ( M ... ( N  +  1 ) )  /\  ( x  + 
1 )  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( G  o.  F ) `  ( x  +  1 ) )  =  ( G `  ( F `
 ( x  + 
1 ) ) ) )
13959, 138sylan 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  +  1 )  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( G  o.  F
) `  ( x  +  1 ) )  =  ( G `  ( F `  ( x  +  1 ) ) ) )
140137, 139syldan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  ( ( G  o.  F ) `  ( x  +  1 ) )  =  ( G `  ( F `
 ( x  + 
1 ) ) ) )
141132, 135, 1403eqtr4d 2446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  ( (
( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) `  x )  =  ( ( G  o.  F
) `  ( x  +  1 ) ) )
142141adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( M ... N
) )  /\  x  e.  ( K ... N
) )  ->  (
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) `
 x )  =  ( ( G  o.  F ) `  (
x  +  1 ) ) )
14353, 100, 142seqshft2 11304 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( M ... N ) )  ->  (  seq  K (  .+  ,  ( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `
 N )  =  (  seq  ( K  +  1 ) ( 
.+  ,  ( G  o.  F ) ) `
 ( N  + 
1 ) ) )
144 fvco3 5759 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) --> ( M ... ( N  +  1 ) )  /\  K  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( G  o.  F ) `  K )  =  ( G `  ( F `
 K ) ) )
14559, 80, 144syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  F ) `  K
)  =  ( G `
 ( F `  K ) ) )
14619fveq2i 5690 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F `
 K )  =  ( F `  ( `' F `  ( N  +  1 ) ) )
147 f1ocnvfv2 5974 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N  + 
1 ) )  /\  ( N  +  1
)  e.  ( M ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( F `  ( `' F `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( N  +  1 ) )
14817, 78, 147syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F `  ( `' F `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( N  +  1 ) )
149146, 148syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F `  K
)  =  ( N  +  1 ) )
150149fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G `  ( F `  K )
)  =  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) )
151145, 150eqtr2d 2437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( G  o.  F ) `
 K ) )
152151adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( M ... N ) )  ->  ( G `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( G  o.  F
) `  K )
)
153143, 152oveq12d 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (  seq  K (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  N ) 
.+  ( G `  ( N  +  1
) ) )  =  ( (  seq  ( K  +  1 ) (  .+  ,  ( G  o.  F ) ) `  ( N  +  1 ) ) 
.+  ( ( G  o.  F ) `  K ) ) )
15498, 153eqtr4d 2439 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
( G  o.  F
) `  K )  .+  (  seq  ( K  +  1 ) ( 
.+  ,  ( G  o.  F ) ) `
 ( N  + 
1 ) ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  N ) 
.+  ( G `  ( N  +  1
) ) ) )
15590, 154syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  K  =  M )  ->  (
( ( G  o.  F ) `  K
)  .+  (  seq  ( K  +  1
) (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  ( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  N )  .+  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
15686seqeq1d 11284 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  K  =  M )  ->  seq  K (  .+  ,  ( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) )  =  seq  M ( 
.+  ,  ( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) )
157156fveq1d 5689 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  K  =  M )  ->  (  seq  K (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  N )  =  (  seq  M
(  .+  ,  (
( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `
 N ) )
158157oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  K  =  M )  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  ( ( G  |`  ( M ... N
) )  o.  J
) ) `  N
)  .+  ( G `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  M
(  .+  ,  (
( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `
 N )  .+  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
15985, 155, 1583eqtrd 2440 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  K  =  M )  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  ( G  o.  F ) ) `  K )  .+  (  seq  ( K  +  1 ) (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  ( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  N )  .+  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
160 eluzel2 10449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
16115, 160syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
162 elfzuz 11011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
163 eluzp1m1 10465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( K  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
164161, 162, 163syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( K  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
) )
165 eluzelz 10452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
16615, 165syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
167166zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
168 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  CC
169 pncan 9267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
170167, 168, 169sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
171 peano2zm 10276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  -  1 )  e.  ZZ )
17280, 81, 1713syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( K  -  1 )  e.  ZZ )
173 elfzuz3 11012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( K  e.  ( M ... ( N  +  1
) )  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K
) )
17480, 173syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K ) )
175119zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
176 npcan 9270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( K  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( K  - 
1 )  +  1 )  =  K )
177175, 168, 176sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( K  - 
1 )  +  1 )  =  K )
178177fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( ( K  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ZZ>= `  K
) )
179174, 178eleqtrrd 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( ( K  - 
1 )  +  1 ) ) )
180 eluzp1m1 10465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( K  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( N  +  1
)  e.  ( ZZ>= `  ( ( K  - 
1 )  +  1 ) ) )  -> 
( ( N  + 
1 )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( K  -  1
) ) )
181172, 179, 180syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( K  -  1
) ) )
182170, 181eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( K  -  1
) ) )
183 fzss2 11048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( K  -  1 ) )  ->  ( M ... ( K  -  1 ) )  C_  ( M ... N ) )
184182, 183syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( M ... ( K  -  1 ) )  C_  ( M ... N ) )
185184sselda 3308 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  x  e.  ( M ... N ) )
186185, 105syldan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( J `  x )  e.  ( M ... N ) )
187186, 107syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( ( G  |`  ( M ... N ) ) `  ( J `  x ) )  =  ( G `
 ( J `  x ) ) )
188185, 115syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( J `  x )  =  ( F `  if ( x  <  K ,  x ,  ( x  +  1 ) ) ) )
189 elfzm11 11071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) )  <-> 
( x  e.  ZZ  /\  M  <_  x  /\  x  <  K ) ) )
190161, 119, 189syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) )  <-> 
( x  e.  ZZ  /\  M  <_  x  /\  x  <  K ) ) )
191190biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( x  e.  ZZ  /\  M  <_  x  /\  x  <  K
) )
192191simp3d 971 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  x  <  K )
193 iftrue 3705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  <  K  ->  if ( x  <  K ,  x ,  ( x  +  1 ) )  =  x )
194193fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  <  K  ->  ( F `  if (
x  <  K ,  x ,  ( x  +  1 ) ) )  =  ( F `
 x ) )
195192, 194syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( F `  if ( x  < 
K ,  x ,  ( x  +  1 ) ) )  =  ( F `  x
) )
196188, 195eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( J `  x )  =  ( F `  x ) )
197196fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( G `  ( J `  x
) )  =  ( G `  ( F `
 x ) ) )
198187, 197eqtr2d 2437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( G `  ( F `  x
) )  =  ( ( G  |`  ( M ... N ) ) `
 ( J `  x ) ) )
199 peano2uz 10486 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( K  -  1 ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( K  -  1 ) ) )
200 fzss2 11048 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( K  -  1 ) )  ->  ( M ... ( K  -  1 ) )  C_  ( M ... ( N  + 
1 ) ) )
201182, 199, 2003syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M ... ( K  -  1 ) )  C_  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
202201sselda 3308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  x  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
203 fvco3 5759 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) --> ( M ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( G  o.  F ) `  x )  =  ( G `  ( F `
 x ) ) )
20459, 203sylan 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( G  o.  F ) `  x )  =  ( G `  ( F `
 x ) ) )
205202, 204syldan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( ( G  o.  F ) `  x )  =  ( G `  ( F `
 x ) ) )
206185, 134syldan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( (
( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) `  x )  =  ( ( G  |`  ( M ... N ) ) `
 ( J `  x ) ) )
207198, 205, 2063eqtr4d 2446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( ( G  o.  F ) `  x )  =  ( ( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) `
 x ) )
208207adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( G  o.  F
) `  x )  =  ( ( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) `  x
) )
209164, 208seqfveq 11302 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  ( K  -  1 ) )  =  (  seq 
M (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  ( K  -  1 ) ) )
210 fzp1ss 11054 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( M  +  1 ) ... N ) 
C_  ( M ... N ) )
21115, 160, 2103syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  C_  ( M ... N ) )
212211sselda 3308 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  K  e.  ( M ... N
) )
213212, 154syldan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
( ( G  o.  F ) `  K
)  .+  (  seq  ( K  +  1
) (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  ( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  N )  .+  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
214209, 213oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  ( G  o.  F ) ) `  ( K  -  1
) )  .+  (
( ( G  o.  F ) `  K
)  .+  (  seq  ( K  +  1
) (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( (  seq  M
(  .+  ,  (
( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `
 ( K  - 
1 ) )  .+  ( (  seq  K
(  .+  ,  (
( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `
 N )  .+  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) ) )
215202, 64syldan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( ( G  o.  F ) `  x )  e.  S
)
216215adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( G  o.  F
) `  x )  e.  S )
21712adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  /\  (
x  e.  S  /\  y  e.  S )
)  ->  ( x  .+  y )  e.  S
)
218164, 216, 217seqcl 11298 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  ( K  -  1 ) )  e.  S )
21961, 80ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  F ) `  K
)  e.  C )
22016, 219sseldd 3309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  F ) `  K
)  e.  S )
221220adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
( G  o.  F
) `  K )  e.  S )
22297sselda 3308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( M ... N
) )  /\  x  e.  ( ( K  + 
1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  x  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
223222, 65syldan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( M ... N
) )  /\  x  e.  ( ( K  + 
1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( G  o.  F
) `  x )  e.  S )
22455, 223, 50seqcl 11298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( M ... N ) )  ->  (  seq  ( K  +  1
) (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  ( N  +  1 ) )  e.  S )
225212, 224syldan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (  seq  ( K  +  1 ) (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  ( N  +  1 ) )  e.  S )
226218, 221, 2253jca 1134 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  ( G  o.  F ) ) `  ( K  -  1
) )  e.  S  /\  ( ( G  o.  F ) `  K
)  e.  S  /\  (  seq  ( K  + 
1 ) (  .+  ,  ( G  o.  F ) ) `  ( N  +  1
) )  e.  S
) )
22714caovassg 6204 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (  seq  M (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  ( K  -  1 ) )  e.  S  /\  ( ( G  o.  F ) `  K
)  e.  S  /\  (  seq  ( K  + 
1 ) (  .+  ,  ( G  o.  F ) ) `  ( N  +  1
) )  e.  S
) )  ->  (
( (  seq  M
(  .+  ,  ( G  o.  F )
) `  ( K  -  1 ) ) 
.+  ( ( G  o.  F ) `  K ) )  .+  (  seq  ( K  + 
1 ) (  .+  ,  ( G  o.  F ) ) `  ( N  +  1
) ) )  =  ( (  seq  M
(  .+  ,  ( G  o.  F )
) `  ( K  -  1 ) ) 
.+  ( ( ( G  o.  F ) `
 K )  .+  (  seq  ( K  + 
1 ) (  .+  ,  ( G  o.  F ) ) `  ( N  +  1
) ) ) ) )
228226, 227syldan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
( (  seq  M
(  .+  ,  ( G  o.  F )
) `  ( K  -  1 ) ) 
.+  ( ( G  o.  F ) `  K ) )  .+  (  seq  ( K  + 
1 ) (  .+  ,  ( G  o.  F ) ) `  ( N  +  1
) ) )  =  ( (  seq  M
(  .+  ,  ( G  o.  F )
) `  ( K  -  1 ) ) 
.+  ( ( ( G  o.  F ) `
 K )  .+  (  seq  ( K  + 
1 ) (  .+  ,  ( G  o.  F ) ) `  ( N  +  1
) ) ) ) )
229 fss 5558 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G : ( M ... ( N  + 
1 ) ) --> C  /\  C  C_  S
)  ->  G :
( M ... ( N  +  1 ) ) --> S )
2301, 16, 229syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  G : ( M ... ( N  + 
1 ) ) --> S )
231 fssres 5569 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G : ( M ... ( N  + 
1 ) ) --> S  /\  ( M ... N )  C_  ( M ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( G  |`  ( M ... N ) ) : ( M ... N ) --> S )
232230, 4, 231sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( M ... N ) ) : ( M ... N ) --> S )
233 fco 5559 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  |`  ( M ... N ) ) : ( M ... N ) --> S  /\  J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )  ->  ( ( G  |`  ( M ... N
) )  o.  J
) : ( M ... N ) --> S )
234232, 22, 233syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) : ( M ... N ) --> S )
235234ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) `  x )  e.  S
)
236185, 235syldan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( (
( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) `  x )  e.  S
)
237236adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) `
 x )  e.  S )
238164, 237, 217seqcl 11298 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  ( K  -  1 ) )  e.  S )
239 elfzuz3 11012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
240239adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
241104, 235syldan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  ( (
( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) `  x )  e.  S
)
242241adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  /\  x  e.  ( K ... N
) )  ->  (
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) `
 x )  e.  S )
243240, 242, 217seqcl 11298 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (  seq  K (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  N )  e.  S )
244230, 78ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G `  ( N  +  1 ) )  e.  S )
245244adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( G `  ( N  +  1 ) )  e.  S )
246238, 243, 2453jca 1134 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  ( ( G  |`  ( M ... N
) )  o.  J
) ) `  ( K  -  1 ) )  e.  S  /\  (  seq  K (  .+  ,  ( ( G  |`  ( M ... N
) )  o.  J
) ) `  N
)  e.  S  /\  ( G `  ( N  +  1 ) )  e.  S ) )
24714caovassg 6204 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (  seq  M (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  ( K  -  1 ) )  e.  S  /\  (  seq  K (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  N )  e.  S  /\  ( G `  ( N  +  1 ) )  e.  S ) )  ->  ( ( (  seq  M (  .+  ,  ( ( G  |`  ( M ... N
) )  o.  J
) ) `  ( K  -  1 ) )  .+  (  seq 
K (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  N ) )  .+  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) )  =  ( (  seq 
M (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  ( K  -  1 ) ) 
.+  ( (  seq 
K (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  N ) 
.+  ( G `  ( N  +  1
) ) ) ) )
248246, 247syldan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
( (  seq  M
(  .+  ,  (
( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `
 ( K  - 
1 ) )  .+  (  seq  K (  .+  ,  ( ( G  |`  ( M ... N
) )  o.  J
) ) `  N
) )  .+  ( G `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  M (  .+  ,  ( ( G  |`  ( M ... N
) )  o.  J
) ) `  ( K  -  1 ) )  .+  ( (  seq  K (  .+  ,  ( ( G  |`  ( M ... N
) )  o.  J
) ) `  N
)  .+  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) ) )
249214, 228, 2483eqtr4d 2446 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
( (  seq  M
(  .+  ,  ( G  o.  F )
) `  ( K  -  1 ) ) 
.+  ( ( G  o.  F ) `  K ) )  .+  (  seq  ( K  + 
1 ) (  .+  ,  ( G  o.  F ) ) `  ( N  +  1
) ) )  =  ( ( (  seq 
M (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  ( K  -  1 ) ) 
.+  (  seq  K
(  .+  ,  (
( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `
 N ) ) 
.+  ( G `  ( N  +  1
) ) ) )
250 seqm1 11295 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( G  o.  F ) ) `  K )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  ( G  o.  F ) ) `
 ( K  - 
1 ) )  .+  ( ( G  o.  F ) `  K
) ) )
251161, 162, 250syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  K
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  ( G  o.  F ) ) `  ( K  -  1
) )  .+  (
( G  o.  F
) `  K )
) )
252251oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  ( G  o.  F ) ) `  K )  .+  (  seq  ( K  +  1 ) (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq  M
(  .+  ,  ( G  o.  F )
) `  ( K  -  1 ) ) 
.+  ( ( G  o.  F ) `  K ) )  .+  (  seq  ( K  + 
1 ) (  .+  ,  ( G  o.  F ) ) `  ( N  +  1
) ) ) )
25314adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  /\  (
x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )
)  ->  ( (
x  .+  y )  .+  z )  =  ( x  .+  ( y 
.+  z ) ) )
254 elfzelz 11015 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  K  e.  ZZ )
255254adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  K  e.  ZZ )
256255zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  K  e.  CC )
257256, 168, 176sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
( K  -  1 )  +  1 )  =  K )
258257fveq2d 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( ZZ>=
`  ( ( K  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ZZ>= `  K )
)
259240, 258eleqtrrd 2481 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( ( K  -  1 )  +  1 ) ) )
260235adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  /\  x  e.  ( M ... N
) )  ->  (
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) `
 x )  e.  S )
261217, 253, 259, 164, 260seqsplit 11311 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  N )  =  ( (  seq 
M (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  ( K  -  1 ) ) 
.+  (  seq  (
( K  -  1 )  +  1 ) (  .+  ,  ( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `
 N ) ) )
262257seqeq1d 11284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  seq  ( ( K  - 
1 )  +  1 ) (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) )  =  seq  K
(  .+  ,  (
( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) )
263262fveq1d 5689 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (  seq  ( ( K  - 
1 )  +  1 ) (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  N )  =  (  seq  K
(  .+  ,  (
( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `
 N ) )
264263oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  ( ( G  |`  ( M ... N
) )  o.  J
) ) `  ( K  -  1 ) )  .+  (  seq  ( ( K  - 
1 )  +  1 ) (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  N ) )  =  ( (  seq  M (  .+  ,  ( ( G  |`  ( M ... N
) )  o.  J
) ) `  ( K  -  1 ) )  .+  (  seq 
K (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  N ) ) )
265261, 264eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  N )  =  ( (  seq 
M (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  ( K  -  1 ) ) 
.+  (  seq  K
(  .+  ,  (
( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `
 N ) ) )
266265oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  ( ( G  |`  ( M ... N
) )  o.  J
) ) `  N
)  .+  ( G `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq 
M (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  ( K  -  1 ) ) 
.+  (  seq  K
(  .+  ,  (
( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `
 N ) ) 
.+  ( G `  ( N  +  1
) ) ) )
267249, 252, 2663eqtr4d 2446 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  ( G  o.  F ) ) `  K )  .+  (  seq  ( K  +  1 ) (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  ( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  N )  .+  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
268159, 267jaodan 761 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( K  =  M  \/  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )  -> 
( (  seq  M
(  .+  ,  ( G  o.  F )
) `  K )  .+  (  seq  ( K  +  1 ) ( 
.+  ,  ( G  o.  F ) ) `
 ( N  + 
1 ) ) )  =  ( (  seq 
M (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  N ) 
.+  ( G `  ( N  +  1
) ) ) )
26969, 268syldan 457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (  seq  M (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  K
)  .+  (  seq  ( K  +  1
) (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  ( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  N )  .+  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
27066, 269eqtrd 2436 . . 3  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( M ... N ) )  ->  (  seq  M (  .+  ,  ( G  o.  F ) ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  N ) 
.+  ( G `  ( N  +  1
) ) ) )
27115adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  =  ( N  +  1
) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
272 seqp1 11293 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq  M (  .+  ,  ( G  o.  F ) ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  N
)  .+  ( ( G  o.  F ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
273271, 272syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  =  ( N  +  1
) )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq  M (  .+  ,  ( G  o.  F ) ) `  N )  .+  (
( G  o.  F
) `  ( N  +  1 ) ) ) )
274115adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( J `  x
)  =  ( F `
 if ( x  <  K ,  x ,  ( x  + 
1 ) ) ) )
275 elfzelz 11015 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  ZZ )
276275zred 10331 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  RR )
277276adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  x  e.  RR )
278166zred 10331 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
279278adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  N  e.  RR )
280 peano2re 9195 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
281279, 280syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
282 elfzle2 11017 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  <_  N )
283282adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  x  <_  N )
284279ltp1d 9897 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
285277, 279, 281, 283, 284lelttrd 9184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  x  <  ( N  +  1 ) )
286285adantlr 696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  x  <  ( N  + 
1 ) )
287 simplr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  K  =  ( N  +  1 ) )
288286, 287breqtrrd 4198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  x  <  K )
289288, 194syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( F `  if ( x  <  K ,  x ,  ( x  +  1 ) ) )  =  ( F `
 x ) )
290274, 289eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( J `  x
)  =  ( F `
 x ) )
291290fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( G  |`  ( M ... N ) ) `  ( J `
 x ) )  =  ( ( G  |`  ( M ... N
) ) `  ( F `  x )
) )
292276adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  x  e.  RR )
293292, 288gtned 9164 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  K  =/=  x )
29459ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  F : ( M ... ( N  +  1
) ) --> ( M ... ( N  + 
1 ) ) )
295 fzelp1 11055 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
296295adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  x  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
297294, 296ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( F `  x
)  e.  ( M ... ( N  + 
1 ) ) )
29815ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
299 elfzp1 11053 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( F `  x )  e.  ( M ... ( N  +  1 ) )  <->  ( ( F `
 x )  e.  ( M ... N
)  \/  ( F `
 x )  =  ( N  +  1 ) ) ) )
300298, 299syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( F `  x )  e.  ( M ... ( N  +  1 ) )  <-> 
( ( F `  x )  e.  ( M ... N )  \/  ( F `  x )  =  ( N  +  1 ) ) ) )
301297, 300mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( F `  x )  e.  ( M ... N )  \/  ( F `  x )  =  ( N  +  1 ) ) )
302301ord 367 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( -.  ( F `
 x )  e.  ( M ... N
)  ->  ( F `  x )  =  ( N  +  1 ) ) )
30317ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  F : ( M ... ( N  +  1
) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N  +  1 ) ) )
304 f1ocnvfv 5975 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( N  +  1 )  ->  ( `' F `  ( N  +  1 ) )  =  x ) )
305303, 296, 304syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( N  +  1 )  ->  ( `' F `  ( N  +  1 ) )  =  x ) )
30619eqeq1i 2411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  =  x  <->  ( `' F `  ( N  +  1 ) )  =  x )
307305, 306syl6ibr 219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( N  +  1 )  ->  K  =  x ) )
308302, 307syld 42 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( -.  ( F `
 x )  e.  ( M ... N
)  ->  K  =  x ) )
309308necon1ad 2634 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( K  =/=  x  ->  ( F `  x
)  e.  ( M ... N ) ) )
310293, 309mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( F `  x
)  e.  ( M ... N ) )
311 fvres 5704 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  x )  e.  ( M ... N )  ->  (
( G  |`  ( M ... N ) ) `
 ( F `  x ) )  =  ( G `  ( F `  x )
) )
312310, 311syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( G  |`  ( M ... N ) ) `  ( F `
 x ) )  =  ( G `  ( F `  x ) ) )
313291, 312eqtr2d 2437 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( G `  ( F `  x )
)  =  ( ( G  |`  ( M ... N ) ) `  ( J `  x ) ) )
31459, 295, 203syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( ( G  o.  F ) `  x )  =  ( G `  ( F `
 x ) ) )
315314adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( G  o.  F ) `  x
)  =  ( G `
 ( F `  x ) ) )
316134adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( ( G  |`  ( M ... N
) )  o.  J
) `  x )  =  ( ( G  |`  ( M ... N
) ) `  ( J `  x )
) )
317313, 315, 3163eqtr4d 2446 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( G  o.  F ) `  x
)  =  ( ( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) `  x ) )
318271, 317seqfveq 11302 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  =  ( N  +  1
) )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  N
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  N ) )
319 fvco3 5759 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) --> ( M ... ( N  +  1 ) )  /\  ( N  + 
1 )  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( G  o.  F ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( G `  ( F `
 ( N  + 
1 ) ) ) )
32059, 78, 319syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  F ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( G `
 ( F `  ( N  +  1
) ) ) )
321320adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  K  =  ( N  +  1
) )  ->  (
( G  o.  F
) `  ( N  +  1 ) )  =  ( G `  ( F `  ( N  +  1 ) ) ) )
322 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  K  =  ( N  +  1
) )  ->  K  =  ( N  + 
1 ) )
32319, 322syl5eqr 2450 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  K  =  ( N  +  1
) )  ->  ( `' F `  ( N  +  1 ) )  =  ( N  + 
1 ) )
324323fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  K  =  ( N  +  1
) )  ->  ( F `  ( `' F `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( F `
 ( N  + 
1 ) ) )
325148adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  K  =  ( N  +  1
) )  ->  ( F `  ( `' F `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( N  +  1 ) )
326324, 325eqtr3d 2438 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  K  =  ( N  +  1
) )  ->  ( F `  ( N  +  1 ) )  =  ( N  + 
1 ) )
327326fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  K  =  ( N  +  1
) )  ->  ( G `  ( F `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( G `  ( N  +  1 ) ) )
328321, 327eqtrd 2436 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  =  ( N  +  1
) )  ->  (
( G  o.  F
) `  ( N  +  1 ) )  =  ( G `  ( N  +  1
) ) )
329318, 328oveq12d 6058 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  =  ( N  +  1
) )  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  ( G  o.  F ) ) `  N )  .+  (
( G  o.  F
) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  M (  .+  ,  ( ( G  |`  ( M ... N
) )  o.  J
) ) `  N
)  .+  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
330273, 329eqtrd 2436 . . 3  |-  ( (
ph  /\  K  =  ( N  +  1
) )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq  M (  .+  ,  ( ( G  |`  ( M ... N
) )  o.  J
) ) `  N
)  .+  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
331 elfzp1 11053 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ( M ... ( N  +  1 ) )  <->  ( K  e.  ( M ... N
)  \/  K  =  ( N  +  1 ) ) ) )
33215, 331syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  ( M ... ( N  +  1 ) )  <-> 
( K  e.  ( M ... N )  \/  K  =  ( N  +  1 ) ) ) )
33380, 332mpbid 202 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  ( M ... N )  \/  K  =  ( N  +  1 ) ) )
334270, 330, 333mpjaodan 762 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  ( G  o.  F ) ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( (  seq  M
(  .+  ,  (
( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `
 N )  .+  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
335 seqp1 11293 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq  M (  .+  ,  G
) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  N
)  .+  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
33615, 335syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  N )  .+  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
33749, 334, 3363eqtr4d 2446 1  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  ( G  o.  F ) ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 ( N  + 
1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1546    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   ifcif 3699   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   `'ccnv 4836    |` cres 4839    o. ccom 4841    Fn wfn 5408   -->wf 5409   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   CCcc 8944   RRcr 8945   1c1 8947    + caddc 8949    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999    seq cseq 11278
This theorem is referenced by:  seqf1o  11319
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279
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