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Theorem seqf1olem2a 11100
Description: Lemma for seqf1o 11103. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
seqf1o.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
seqf1o.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
seqf1o.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
seqf1o.4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
seqf1o.5  |-  ( ph  ->  C  C_  S )
seqf1olem2a.1  |-  ( ph  ->  G : A --> C )
seqf1olem2a.3  |-  ( ph  ->  K  e.  A )
seqf1olem2a.4  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  C_  A )
Assertion
Ref Expression
seqf1olem2a  |-  ( ph  ->  ( ( G `  K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  N
) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 N )  .+  ( G `  K ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, G    x, M, y, z    x,  .+ , y,
z    x, N, y, z   
x, K, y, z    ph, x, y, z    x, S, y, z    x, C, y, z
Allowed substitution hints:    A( x, y, z)

Proof of Theorem seqf1olem2a
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqf1o.4 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 eluzfz2 10820 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
31, 2syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M ... N ) )
4 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  m
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  M
) )
54oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  (
( G `  K
)  .+  (  seq  M (  .+  ,  G
) `  m )
)  =  ( ( G `  K ) 
.+  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  M )
) )
64oveq1d 5889 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  G ) `  m )  .+  ( G `  K )
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  M
)  .+  ( G `  K ) ) )
75, 6eqeq12d 2310 . . . 4  |-  ( m  =  M  ->  (
( ( G `  K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  m
) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 m )  .+  ( G `  K ) )  <->  ( ( G `
 K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  M
) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 M )  .+  ( G `  K ) ) ) )
87imbi2d 307 . . 3  |-  ( m  =  M  ->  (
( ph  ->  ( ( G `  K ) 
.+  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  m )
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  m
)  .+  ( G `  K ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( G `  K ) 
.+  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  M )
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  M
)  .+  ( G `  K ) ) ) ) )
9 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  m
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  n
) )
109oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  (
( G `  K
)  .+  (  seq  M (  .+  ,  G
) `  m )
)  =  ( ( G `  K ) 
.+  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  n )
) )
119oveq1d 5889 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  G ) `  m )  .+  ( G `  K )
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  K ) ) )
1210, 11eqeq12d 2310 . . . 4  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( G `  K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  m
) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 m )  .+  ( G `  K ) )  <->  ( ( G `
 K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 n )  .+  ( G `  K ) ) ) )
1312imbi2d 307 . . 3  |-  ( m  =  n  ->  (
( ph  ->  ( ( G `  K ) 
.+  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  m )
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  m
)  .+  ( G `  K ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( G `  K ) 
.+  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  n )
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  K ) ) ) ) )
14 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  m
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) )
1514oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( G `  K
)  .+  (  seq  M (  .+  ,  G
) `  m )
)  =  ( ( G `  K ) 
.+  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  ( n  +  1 ) ) ) )
1614oveq1d 5889 . . . . 5  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  G ) `  m )  .+  ( G `  K )
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) )  .+  ( G `
 K ) ) )
1715, 16eqeq12d 2310 . . . 4  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( G `  K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  m
) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 m )  .+  ( G `  K ) )  <->  ( ( G `
 K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 ( n  + 
1 ) )  .+  ( G `  K ) ) ) )
1817imbi2d 307 . . 3  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( ( G `  K ) 
.+  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  m )
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  m
)  .+  ( G `  K ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( G `  K ) 
.+  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) )  .+  ( G `
 K ) ) ) ) )
19 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( m  =  N  ->  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  m
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  N
) )
2019oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( m  =  N  ->  (
( G `  K
)  .+  (  seq  M (  .+  ,  G
) `  m )
)  =  ( ( G `  K ) 
.+  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  N )
) )
2119oveq1d 5889 . . . . 5  |-  ( m  =  N  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  G ) `  m )  .+  ( G `  K )
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  N
)  .+  ( G `  K ) ) )
2220, 21eqeq12d 2310 . . . 4  |-  ( m  =  N  ->  (
( ( G `  K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  m
) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 m )  .+  ( G `  K ) )  <->  ( ( G `
 K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  N
) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 N )  .+  ( G `  K ) ) ) )
2322imbi2d 307 . . 3  |-  ( m  =  N  ->  (
( ph  ->  ( ( G `  K ) 
.+  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  m )
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  m
)  .+  ( G `  K ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( G `  K ) 
.+  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  N )
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  N
)  .+  ( G `  K ) ) ) ) )
24 seqf1o.2 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
25 seqf1olem2a.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : A --> C )
26 seqf1olem2a.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  A )
27 ffvelrn 5679 . . . . . 6  |-  ( ( G : A --> C  /\  K  e.  A )  ->  ( G `  K
)  e.  C )
2825, 26, 27syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  K
)  e.  C )
29 eluzel2 10251 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
30 seq1 11075 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  M
)  =  ( G `
 M ) )
311, 29, 303syl 18 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 M )  =  ( G `  M
) )
32 seqf1olem2a.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  C_  A )
33 eluzfz1 10819 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
341, 33syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M ... N ) )
3532, 34sseldd 3194 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  A )
36 ffvelrn 5679 . . . . . . 7  |-  ( ( G : A --> C  /\  M  e.  A )  ->  ( G `  M
)  e.  C )
3725, 35, 36syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G `  M
)  e.  C )
3831, 37eqeltrd 2370 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 M )  e.  C )
3924, 28, 38caovcomd 6032 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( G `  K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  M
) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 M )  .+  ( G `  K ) ) )
4039a1i 10 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( ( G `  K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  M
) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 M )  .+  ( G `  K ) ) ) )
41 oveq1 5881 . . . . . 6  |-  ( ( ( G `  K
)  .+  (  seq  M (  .+  ,  G
) `  n )
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  K ) )  -> 
( ( ( G `
 K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
) )  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 n )  .+  ( G `  K ) )  .+  ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
42 elfzouz 10895 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
4342adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  n  e.  (
ZZ>= `  M ) )
44 seqp1 11077 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq  M (  .+  ,  G
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
4543, 44syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
4645oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( G `
 K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( G `  K
)  .+  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
47 seqf1o.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
4847adantlr 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
49 seqf1o.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  C_  S )
5049, 28sseldd 3194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G `  K
)  e.  S )
5150adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( G `  K )  e.  S
)
5249adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  C  C_  S
)
5352adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M ... n
) )  ->  C  C_  S )
5425adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  G : A --> C )
5554adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M ... n
) )  ->  G : A --> C )
56 elfzouz2 10904 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  n )
)
5756adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  N  e.  (
ZZ>= `  n ) )
58 fzss2 10847 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  ( M ... n )  C_  ( M ... N ) )
5957, 58syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M ... n )  C_  ( M ... N ) )
6032adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M ... N )  C_  A
)
6159, 60sstrd 3202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M ... n )  C_  A
)
6261sselda 3193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M ... n
) )  ->  x  e.  A )
63 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G : A --> C  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x
)  e.  C )
6455, 62, 63syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M ... n
) )  ->  ( G `  x )  e.  C )
6553, 64sseldd 3194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M ... n
) )  ->  ( G `  x )  e.  S )
66 seqf1o.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
6766adantlr 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
6843, 65, 67seqcl 11082 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  n )  e.  S )
69 fzofzp1 10932 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
7069adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N ) )
7160, 70sseldd 3194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  A
)
72 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G : A --> C  /\  ( n  +  1
)  e.  A )  ->  ( G `  ( n  +  1
) )  e.  C
)
7354, 71, 72syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( G `  ( n  +  1
) )  e.  C
)
7452, 73sseldd 3194 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( G `  ( n  +  1
) )  e.  S
)
7548, 51, 68, 74caovassd 6035 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( ( G `  K ) 
.+  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  n )
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( G `  K )  .+  (
(  seq  M (  .+  ,  G ) `  n )  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
7646, 75eqtr4d 2331 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( G `
 K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( ( G `  K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
) )  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
7748, 68, 74, 51caovassd 6035 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) )  .+  ( G `  K ) )  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( ( G `  ( n  +  1 ) ) 
.+  ( G `  K ) ) ) )
7845oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) )  .+  ( G `
 K ) )  =  ( ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) )  .+  ( G `  K ) ) )
7948, 68, 51, 74caovassd 6035 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  K ) )  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( ( G `  K )  .+  ( G `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
8024adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
8128adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( G `  K )  e.  C
)
8280, 73, 81caovcomd 6032 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( G `
 ( n  + 
1 ) )  .+  ( G `  K ) )  =  ( ( G `  K ) 
.+  ( G `  ( n  +  1
) ) ) )
8382oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( ( G `  ( n  +  1 ) ) 
.+  ( G `  K ) ) )  =  ( (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( ( G `  K )  .+  ( G `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
8479, 83eqtr4d 2331 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  K ) )  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( ( G `  ( n  +  1 ) ) 
.+  ( G `  K ) ) ) )
8577, 78, 843eqtr4d 2338 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) )  .+  ( G `
 K ) )  =  ( ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  K ) )  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
8676, 85eqeq12d 2310 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( ( G `  K ) 
.+  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) )  .+  ( G `
 K ) )  <-> 
( ( ( G `
 K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
) )  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 n )  .+  ( G `  K ) )  .+  ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) )
8741, 86syl5ibr 212 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( ( G `  K ) 
.+  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  n )
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  K ) )  -> 
( ( G `  K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 ( n  + 
1 ) )  .+  ( G `  K ) ) ) )
8887expcom 424 . . . 4  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ph  ->  ( ( ( G `
 K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 n )  .+  ( G `  K ) )  ->  ( ( G `  K )  .+  (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  ( (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) )  .+  ( G `
 K ) ) ) ) )
8988a2d 23 . . 3  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ( ph  ->  ( ( G `
 K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 n )  .+  ( G `  K ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( G `
 K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 ( n  + 
1 ) )  .+  ( G `  K ) ) ) ) )
908, 13, 18, 23, 40, 89fzind2 10939 . 2  |-  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( ph  ->  ( ( G `
 K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  N
) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 N )  .+  ( G `  K ) ) ) )
913, 90mpcom 32 1  |-  ( ph  ->  ( ( G `  K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  N
) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 N )  .+  ( G `  K ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    C_ wss 3165   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1c1 8754    + caddc 8756   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798  ..^cfzo 10886    seq cseq 11062
This theorem is referenced by:  seqf1olem2  11102
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063
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