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Theorem seqf1olem2a 11361
Description: Lemma for seqf1o 11364. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
seqf1o.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
seqf1o.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
seqf1o.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
seqf1o.4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
seqf1o.5  |-  ( ph  ->  C  C_  S )
seqf1olem2a.1  |-  ( ph  ->  G : A --> C )
seqf1olem2a.3  |-  ( ph  ->  K  e.  A )
seqf1olem2a.4  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  C_  A )
Assertion
Ref Expression
seqf1olem2a  |-  ( ph  ->  ( ( G `  K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  N
) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 N )  .+  ( G `  K ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, G    x, M, y, z    x,  .+ , y,
z    x, N, y, z   
x, K, y, z    ph, x, y, z    x, S, y, z    x, C, y, z
Allowed substitution hints:    A( x, y, z)

Proof of Theorem seqf1olem2a
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqf1o.4 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 eluzfz2 11065 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M ... N ) )
4 fveq2 5728 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  m
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  M
) )
54oveq2d 6097 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  (
( G `  K
)  .+  (  seq  M (  .+  ,  G
) `  m )
)  =  ( ( G `  K ) 
.+  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  M )
) )
64oveq1d 6096 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  G ) `  m )  .+  ( G `  K )
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  M
)  .+  ( G `  K ) ) )
75, 6eqeq12d 2450 . . . 4  |-  ( m  =  M  ->  (
( ( G `  K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  m
) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 m )  .+  ( G `  K ) )  <->  ( ( G `
 K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  M
) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 M )  .+  ( G `  K ) ) ) )
87imbi2d 308 . . 3  |-  ( m  =  M  ->  (
( ph  ->  ( ( G `  K ) 
.+  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  m )
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  m
)  .+  ( G `  K ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( G `  K ) 
.+  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  M )
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  M
)  .+  ( G `  K ) ) ) ) )
9 fveq2 5728 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  m
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  n
) )
109oveq2d 6097 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  (
( G `  K
)  .+  (  seq  M (  .+  ,  G
) `  m )
)  =  ( ( G `  K ) 
.+  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  n )
) )
119oveq1d 6096 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  G ) `  m )  .+  ( G `  K )
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  K ) ) )
1210, 11eqeq12d 2450 . . . 4  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( G `  K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  m
) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 m )  .+  ( G `  K ) )  <->  ( ( G `
 K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 n )  .+  ( G `  K ) ) ) )
1312imbi2d 308 . . 3  |-  ( m  =  n  ->  (
( ph  ->  ( ( G `  K ) 
.+  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  m )
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  m
)  .+  ( G `  K ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( G `  K ) 
.+  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  n )
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  K ) ) ) ) )
14 fveq2 5728 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  m
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) )
1514oveq2d 6097 . . . . 5  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( G `  K
)  .+  (  seq  M (  .+  ,  G
) `  m )
)  =  ( ( G `  K ) 
.+  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  ( n  +  1 ) ) ) )
1614oveq1d 6096 . . . . 5  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  G ) `  m )  .+  ( G `  K )
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) )  .+  ( G `
 K ) ) )
1715, 16eqeq12d 2450 . . . 4  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( G `  K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  m
) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 m )  .+  ( G `  K ) )  <->  ( ( G `
 K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 ( n  + 
1 ) )  .+  ( G `  K ) ) ) )
1817imbi2d 308 . . 3  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( ( G `  K ) 
.+  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  m )
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  m
)  .+  ( G `  K ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( G `  K ) 
.+  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) )  .+  ( G `
 K ) ) ) ) )
19 fveq2 5728 . . . . . 6  |-  ( m  =  N  ->  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  m
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  N
) )
2019oveq2d 6097 . . . . 5  |-  ( m  =  N  ->  (
( G `  K
)  .+  (  seq  M (  .+  ,  G
) `  m )
)  =  ( ( G `  K ) 
.+  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  N )
) )
2119oveq1d 6096 . . . . 5  |-  ( m  =  N  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  G ) `  m )  .+  ( G `  K )
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  N
)  .+  ( G `  K ) ) )
2220, 21eqeq12d 2450 . . . 4  |-  ( m  =  N  ->  (
( ( G `  K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  m
) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 m )  .+  ( G `  K ) )  <->  ( ( G `
 K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  N
) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 N )  .+  ( G `  K ) ) ) )
2322imbi2d 308 . . 3  |-  ( m  =  N  ->  (
( ph  ->  ( ( G `  K ) 
.+  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  m )
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  m
)  .+  ( G `  K ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( G `  K ) 
.+  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  N )
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  N
)  .+  ( G `  K ) ) ) ) )
24 seqf1o.2 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
25 seqf1olem2a.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : A --> C )
26 seqf1olem2a.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  A )
2725, 26ffvelrnd 5871 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  K
)  e.  C )
28 eluzel2 10493 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
29 seq1 11336 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  M
)  =  ( G `
 M ) )
301, 28, 293syl 19 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 M )  =  ( G `  M
) )
31 seqf1olem2a.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  C_  A )
32 eluzfz1 11064 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
331, 32syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M ... N ) )
3431, 33sseldd 3349 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  A )
3525, 34ffvelrnd 5871 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G `  M
)  e.  C )
3630, 35eqeltrd 2510 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 M )  e.  C )
3724, 27, 36caovcomd 6243 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( G `  K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  M
) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 M )  .+  ( G `  K ) ) )
3837a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( ( G `  K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  M
) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 M )  .+  ( G `  K ) ) ) )
39 oveq1 6088 . . . . . 6  |-  ( ( ( G `  K
)  .+  (  seq  M (  .+  ,  G
) `  n )
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  K ) )  -> 
( ( ( G `
 K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
) )  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 n )  .+  ( G `  K ) )  .+  ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
40 elfzouz 11144 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
4140adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  n  e.  (
ZZ>= `  M ) )
42 seqp1 11338 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq  M (  .+  ,  G
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
4443oveq2d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( G `
 K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( G `  K
)  .+  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
45 seqf1o.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
4645adantlr 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
47 seqf1o.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  C_  S )
4847, 27sseldd 3349 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G `  K
)  e.  S )
4948adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( G `  K )  e.  S
)
5047adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  C  C_  S
)
5150adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M ... n
) )  ->  C  C_  S )
5225adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  G : A --> C )
5352adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M ... n
) )  ->  G : A --> C )
54 elfzouz2 11153 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  n )
)
5554adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  N  e.  (
ZZ>= `  n ) )
56 fzss2 11092 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  ( M ... n )  C_  ( M ... N ) )
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M ... n )  C_  ( M ... N ) )
5831adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M ... N )  C_  A
)
5957, 58sstrd 3358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M ... n )  C_  A
)
6059sselda 3348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M ... n
) )  ->  x  e.  A )
6153, 60ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M ... n
) )  ->  ( G `  x )  e.  C )
6251, 61sseldd 3349 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M ... n
) )  ->  ( G `  x )  e.  S )
63 seqf1o.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
6463adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
6541, 62, 64seqcl 11343 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  n )  e.  S )
66 fzofzp1 11189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
6766adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N ) )
6858, 67sseldd 3349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  A
)
6952, 68ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( G `  ( n  +  1
) )  e.  C
)
7050, 69sseldd 3349 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( G `  ( n  +  1
) )  e.  S
)
7146, 49, 65, 70caovassd 6246 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( ( G `  K ) 
.+  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  n )
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( G `  K )  .+  (
(  seq  M (  .+  ,  G ) `  n )  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
7244, 71eqtr4d 2471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( G `
 K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( ( G `  K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
) )  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
7346, 65, 70, 49caovassd 6246 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) )  .+  ( G `  K ) )  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( ( G `  ( n  +  1 ) ) 
.+  ( G `  K ) ) ) )
7443oveq1d 6096 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) )  .+  ( G `
 K ) )  =  ( ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) )  .+  ( G `  K ) ) )
7546, 65, 49, 70caovassd 6246 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  K ) )  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( ( G `  K )  .+  ( G `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
7624adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
7727adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( G `  K )  e.  C
)
7876, 69, 77caovcomd 6243 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( G `
 ( n  + 
1 ) )  .+  ( G `  K ) )  =  ( ( G `  K ) 
.+  ( G `  ( n  +  1
) ) ) )
7978oveq2d 6097 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( ( G `  ( n  +  1 ) ) 
.+  ( G `  K ) ) )  =  ( (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( ( G `  K )  .+  ( G `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
8075, 79eqtr4d 2471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  K ) )  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( ( G `  ( n  +  1 ) ) 
.+  ( G `  K ) ) ) )
8173, 74, 803eqtr4d 2478 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) )  .+  ( G `
 K ) )  =  ( ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  K ) )  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
8272, 81eqeq12d 2450 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( ( G `  K ) 
.+  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) )  .+  ( G `
 K ) )  <-> 
( ( ( G `
 K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
) )  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 n )  .+  ( G `  K ) )  .+  ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) )
8339, 82syl5ibr 213 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( ( G `  K ) 
.+  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  n )
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  K ) )  -> 
( ( G `  K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 ( n  + 
1 ) )  .+  ( G `  K ) ) ) )
8483expcom 425 . . . 4  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ph  ->  ( ( ( G `
 K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 n )  .+  ( G `  K ) )  ->  ( ( G `  K )  .+  (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  ( (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) )  .+  ( G `
 K ) ) ) ) )
8584a2d 24 . . 3  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ( ph  ->  ( ( G `
 K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 n )  .+  ( G `  K ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( G `
 K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 ( n  + 
1 ) )  .+  ( G `  K ) ) ) ) )
868, 13, 18, 23, 38, 85fzind2 11198 . 2  |-  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( ph  ->  ( ( G `
 K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  N
) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 N )  .+  ( G `  K ) ) ) )
873, 86mpcom 34 1  |-  ( ph  ->  ( ( G `  K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  N
) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 N )  .+  ( G `  K ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3320   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   1c1 8991    + caddc 8993   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   ...cfz 11043  ..^cfzo 11135    seq cseq 11323
This theorem is referenced by:  seqf1olem2  11363
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324
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