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Theorem seqf1olem2a 11084
Description: Lemma for seqf1o 11087. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
seqf1o.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
seqf1o.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
seqf1o.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
seqf1o.4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
seqf1o.5  |-  ( ph  ->  C  C_  S )
seqf1olem2a.1  |-  ( ph  ->  G : A --> C )
seqf1olem2a.3  |-  ( ph  ->  K  e.  A )
seqf1olem2a.4  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  C_  A )
Assertion
Ref Expression
seqf1olem2a  |-  ( ph  ->  ( ( G `  K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  N
) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 N )  .+  ( G `  K ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, G    x, M, y, z    x,  .+ , y,
z    x, N, y, z   
x, K, y, z    ph, x, y, z    x, S, y, z    x, C, y, z
Allowed substitution hints:    A( x, y, z)

Proof of Theorem seqf1olem2a
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqf1o.4 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 eluzfz2 10804 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
31, 2syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M ... N ) )
4 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  m
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  M
) )
54oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  (
( G `  K
)  .+  (  seq  M (  .+  ,  G
) `  m )
)  =  ( ( G `  K ) 
.+  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  M )
) )
64oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  G ) `  m )  .+  ( G `  K )
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  M
)  .+  ( G `  K ) ) )
75, 6eqeq12d 2297 . . . 4  |-  ( m  =  M  ->  (
( ( G `  K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  m
) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 m )  .+  ( G `  K ) )  <->  ( ( G `
 K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  M
) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 M )  .+  ( G `  K ) ) ) )
87imbi2d 307 . . 3  |-  ( m  =  M  ->  (
( ph  ->  ( ( G `  K ) 
.+  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  m )
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  m
)  .+  ( G `  K ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( G `  K ) 
.+  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  M )
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  M
)  .+  ( G `  K ) ) ) ) )
9 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  m
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  n
) )
109oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  (
( G `  K
)  .+  (  seq  M (  .+  ,  G
) `  m )
)  =  ( ( G `  K ) 
.+  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  n )
) )
119oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  G ) `  m )  .+  ( G `  K )
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  K ) ) )
1210, 11eqeq12d 2297 . . . 4  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( G `  K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  m
) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 m )  .+  ( G `  K ) )  <->  ( ( G `
 K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 n )  .+  ( G `  K ) ) ) )
1312imbi2d 307 . . 3  |-  ( m  =  n  ->  (
( ph  ->  ( ( G `  K ) 
.+  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  m )
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  m
)  .+  ( G `  K ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( G `  K ) 
.+  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  n )
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  K ) ) ) ) )
14 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  m
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) )
1514oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( G `  K
)  .+  (  seq  M (  .+  ,  G
) `  m )
)  =  ( ( G `  K ) 
.+  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  ( n  +  1 ) ) ) )
1614oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  G ) `  m )  .+  ( G `  K )
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) )  .+  ( G `
 K ) ) )
1715, 16eqeq12d 2297 . . . 4  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( G `  K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  m
) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 m )  .+  ( G `  K ) )  <->  ( ( G `
 K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 ( n  + 
1 ) )  .+  ( G `  K ) ) ) )
1817imbi2d 307 . . 3  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( ( G `  K ) 
.+  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  m )
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  m
)  .+  ( G `  K ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( G `  K ) 
.+  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) )  .+  ( G `
 K ) ) ) ) )
19 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( m  =  N  ->  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  m
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  N
) )
2019oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( m  =  N  ->  (
( G `  K
)  .+  (  seq  M (  .+  ,  G
) `  m )
)  =  ( ( G `  K ) 
.+  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  N )
) )
2119oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( m  =  N  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  G ) `  m )  .+  ( G `  K )
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  N
)  .+  ( G `  K ) ) )
2220, 21eqeq12d 2297 . . . 4  |-  ( m  =  N  ->  (
( ( G `  K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  m
) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 m )  .+  ( G `  K ) )  <->  ( ( G `
 K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  N
) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 N )  .+  ( G `  K ) ) ) )
2322imbi2d 307 . . 3  |-  ( m  =  N  ->  (
( ph  ->  ( ( G `  K ) 
.+  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  m )
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  m
)  .+  ( G `  K ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( G `  K ) 
.+  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  N )
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  N
)  .+  ( G `  K ) ) ) ) )
24 seqf1o.2 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
25 seqf1olem2a.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : A --> C )
26 seqf1olem2a.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  A )
27 ffvelrn 5663 . . . . . 6  |-  ( ( G : A --> C  /\  K  e.  A )  ->  ( G `  K
)  e.  C )
2825, 26, 27syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  K
)  e.  C )
29 eluzel2 10235 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
30 seq1 11059 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  M
)  =  ( G `
 M ) )
311, 29, 303syl 18 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 M )  =  ( G `  M
) )
32 seqf1olem2a.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  C_  A )
33 eluzfz1 10803 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
341, 33syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M ... N ) )
3532, 34sseldd 3181 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  A )
36 ffvelrn 5663 . . . . . . 7  |-  ( ( G : A --> C  /\  M  e.  A )  ->  ( G `  M
)  e.  C )
3725, 35, 36syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G `  M
)  e.  C )
3831, 37eqeltrd 2357 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 M )  e.  C )
3924, 28, 38caovcomd 6016 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( G `  K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  M
) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 M )  .+  ( G `  K ) ) )
4039a1i 10 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( ( G `  K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  M
) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 M )  .+  ( G `  K ) ) ) )
41 oveq1 5865 . . . . . 6  |-  ( ( ( G `  K
)  .+  (  seq  M (  .+  ,  G
) `  n )
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  K ) )  -> 
( ( ( G `
 K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
) )  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 n )  .+  ( G `  K ) )  .+  ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
42 elfzouz 10879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
4342adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  n  e.  (
ZZ>= `  M ) )
44 seqp1 11061 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq  M (  .+  ,  G
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
4543, 44syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
4645oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( G `
 K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( G `  K
)  .+  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
47 seqf1o.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
4847adantlr 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
49 seqf1o.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  C_  S )
5049, 28sseldd 3181 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G `  K
)  e.  S )
5150adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( G `  K )  e.  S
)
5249adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  C  C_  S
)
5352adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M ... n
) )  ->  C  C_  S )
5425adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  G : A --> C )
5554adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M ... n
) )  ->  G : A --> C )
56 elfzouz2 10888 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  n )
)
5756adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  N  e.  (
ZZ>= `  n ) )
58 fzss2 10831 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  ( M ... n )  C_  ( M ... N ) )
5957, 58syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M ... n )  C_  ( M ... N ) )
6032adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M ... N )  C_  A
)
6159, 60sstrd 3189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M ... n )  C_  A
)
6261sselda 3180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M ... n
) )  ->  x  e.  A )
63 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G : A --> C  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x
)  e.  C )
6455, 62, 63syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M ... n
) )  ->  ( G `  x )  e.  C )
6553, 64sseldd 3181 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M ... n
) )  ->  ( G `  x )  e.  S )
66 seqf1o.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
6766adantlr 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
6843, 65, 67seqcl 11066 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  n )  e.  S )
69 fzofzp1 10916 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
7069adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N ) )
7160, 70sseldd 3181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  A
)
72 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G : A --> C  /\  ( n  +  1
)  e.  A )  ->  ( G `  ( n  +  1
) )  e.  C
)
7354, 71, 72syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( G `  ( n  +  1
) )  e.  C
)
7452, 73sseldd 3181 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( G `  ( n  +  1
) )  e.  S
)
7548, 51, 68, 74caovassd 6019 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( ( G `  K ) 
.+  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  n )
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( G `  K )  .+  (
(  seq  M (  .+  ,  G ) `  n )  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
7646, 75eqtr4d 2318 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( G `
 K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( ( G `  K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
) )  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
7748, 68, 74, 51caovassd 6019 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) )  .+  ( G `  K ) )  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( ( G `  ( n  +  1 ) ) 
.+  ( G `  K ) ) ) )
7845oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) )  .+  ( G `
 K ) )  =  ( ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) )  .+  ( G `  K ) ) )
7948, 68, 51, 74caovassd 6019 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  K ) )  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( ( G `  K )  .+  ( G `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
8024adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
8128adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( G `  K )  e.  C
)
8280, 73, 81caovcomd 6016 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( G `
 ( n  + 
1 ) )  .+  ( G `  K ) )  =  ( ( G `  K ) 
.+  ( G `  ( n  +  1
) ) ) )
8382oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( ( G `  ( n  +  1 ) ) 
.+  ( G `  K ) ) )  =  ( (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( ( G `  K )  .+  ( G `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
8479, 83eqtr4d 2318 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  K ) )  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( ( G `  ( n  +  1 ) ) 
.+  ( G `  K ) ) ) )
8577, 78, 843eqtr4d 2325 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) )  .+  ( G `
 K ) )  =  ( ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  K ) )  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
8676, 85eqeq12d 2297 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( ( G `  K ) 
.+  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) )  .+  ( G `
 K ) )  <-> 
( ( ( G `
 K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
) )  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 n )  .+  ( G `  K ) )  .+  ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) )
8741, 86syl5ibr 212 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( ( G `  K ) 
.+  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  n )
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  K ) )  -> 
( ( G `  K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 ( n  + 
1 ) )  .+  ( G `  K ) ) ) )
8887expcom 424 . . . 4  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ph  ->  ( ( ( G `
 K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 n )  .+  ( G `  K ) )  ->  ( ( G `  K )  .+  (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  ( (  seq 
M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) )  .+  ( G `
 K ) ) ) ) )
8988a2d 23 . . 3  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ( ph  ->  ( ( G `
 K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  n
) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 n )  .+  ( G `  K ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( G `
 K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 ( n  + 
1 ) )  .+  ( G `  K ) ) ) ) )
908, 13, 18, 23, 40, 89fzind2 10923 . 2  |-  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( ph  ->  ( ( G `
 K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  N
) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 N )  .+  ( G `  K ) ) ) )
913, 90mpcom 32 1  |-  ( ph  ->  ( ( G `  K )  .+  (  seq  M (  .+  ,  G ) `  N
) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 N )  .+  ( G `  K ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1c1 8738    + caddc 8740   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782  ..^cfzo 10870    seq cseq 11046
This theorem is referenced by:  seqf1olem2  11086
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047
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