MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqfn Structured version   Unicode version

Theorem seqfn 11327
Description: The sequence builder function is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
seqfn  |-  ( M  e.  ZZ  ->  seq  M (  .+  ,  F
)  Fn  ( ZZ>= `  M ) )

Proof of Theorem seqfn
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqeq1 11318 . . 3  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  ->  seq  M (  .+  ,  F )  =  seq  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
) )
2 fveq2 5720 . . 3  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( ZZ>= `  M )  =  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) )
31, 2fneq12d 5530 . 2  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  F )  Fn  ( ZZ>= `  M )  <->  seq 
if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) (  .+  ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) ) )
4 0z 10285 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
54elimel 3783 . . 3  |-  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  e.  ZZ
6 eqid 2435 . . 3  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) )  |`  om )  =  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) )  |`  om )
7 fvex 5734 . . 3  |-  ( F `
 if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  e.  _V
8 eqid 2435 . . 3  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( x ( z  e. 
_V ,  w  e. 
_V  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y )
>. ) ,  <. if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ,  ( F `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) >. )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  <. ( x  +  1 ) ,  ( x ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w  .+  ( F `
 ( z  +  1 ) ) ) ) y ) >.
) ,  <. if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ,  ( F `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) >. )  |`  om )
98seqval 11326 . . 3  |-  seq  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
)  =  ran  ( rec ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( x ( z  e. 
_V ,  w  e. 
_V  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y )
>. ) ,  <. if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ,  ( F `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) >. )  |`  om )
105, 6, 7, 8, 9uzrdgfni 11290 . 2  |-  seq  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
)  Fn  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )
113, 10dedth 3772 1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  seq  M (  .+  ,  F
)  Fn  ( ZZ>= `  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948   ifcif 3731   <.cop 3809    e. cmpt 4258   omcom 4837    |` cres 4872    Fn wfn 5441   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    e. cmpt2 6075   reccrdg 6659   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480    seq cseq 11315
This theorem is referenced by:  seqf2  11334  seqfeq2  11338  seqfeq  11340  seqfeq3  11365  ser0f  11368  facnn  11560  fac0  11561  seqshft  11892  efcvgfsum  12680  seq1st  13054  prmrec  13282  ovolunlem1  19385  ovoliunlem1  19390  volsup  19442  mtest  20312  mtestbdd  20313  pserulm  20330  pserdvlem2  20336  emcllem5  20830  gsumpropd2lem  24212  esumfsup  24452  esumpcvgval  24460  esumcvg  24468  lgamgulm2  24812  lgamcvglem  24816  gamcvg2lem  24835  prodf1f  25212  faclimlem1  25354  mblfinlem  26234  ovoliunnfl  26238  voliunnfl  26240
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-seq 11316
  Copyright terms: Public domain W3C validator